永不言“负”的二次根式

张彩明

《二次根式》一章的主要内容，有二次根式的概念，二次根式的性质，二次根式的加、减、乘、除的运算法则等，二次根式的题目往往在填空题、选择题或者简单的计算题中出现，考查的重点为二次根式的概念、性质、化简以及计算，题目难度一般为中低档.

一 知识要点

1.二次根式的性质：

（1） （3）积的算术平方根：

（4）商的算术平方根：

2.二次根式的运算法则：

（1）乘法运算：

（2）除法运算：

（3）二次根式的加减：先将各二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.

二 解题技巧

1.对于二次根式的概念及其性质的复习，要抓住两个关键点：一是二次根式的概念，在理解二次根式意义的时候，应注意被开方数非负的条件，并会确定其中字母的取值范围：二是弄清二次根式的性质：（1）、

2.与整式的乘除类似，二次根式的乘除也可以运用运算律、乘法公式等来化简运算，解题时要抓住三个关键点：

（1）最简二次根式应满足两个条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

（2）二次根式的乘法法则，即.运用法则进行二次根式的乘法运算时，要结合两个公式进行：①

（3）二次根式的除法法则，即运用法则化简二次根式时，要结合公式

3.与整式的加减类似，二次根式的加减中，化简后被开方数相同的根式类似于同类项.加法的运算律也同样适用，合并被开方数相同的二次根式，类似于合并同类项.

三 典型题赏析

解析：2x-5与5-2x应同时为非负数，即2x-5≥o且5-2x≥o，故代人已知式求得y=-3，所以应选A.

反思：二次根式中的被开方数是非负数，由此可以解出x的值，进而求出y的值.

例2 已知a为实数，求代数式的值，

简析：由，所以a=0，从而可求，

例3 实数a在数轴上的位置如图1所示，则化简后为（）.

解析：从数轴可知30，所以故选D.

解析：原式

反思：化去分母中的根号时，若分母仅有一项，则分子分母同时乘以分母中的根式：若分母有两项，则分子和分母同时乘以分母中根式的有理化因式（以便使分母能运用平方差公式将根号化去）.

例5 先化简，再求值：其中x=

解析：略.

反思：与二次根式有关的条件求值，一直是中考的热点之一，常与整式、分式的化简结合在一起.这类问题往往要求先化简求值式，再将数值代入求值：有时还需要将所给的条件式进行化简或变形.这类题目解法灵活多变，技巧性较强，

反思：把被开方式通分并把分子写成完全平方式的形式，是解题的关键.

例7 图2是一辆自行车的侧面示意图.已知车架中AC的长为42cm，座杆AE的长为18cm.点E，A，C在同一条直线上，后轴轴心B与中轴轴心C所在的直线BC与地面平行，且BC=50cm.ED⊥BC于D.BD=32cm.ED的延长线交地面于F，求车座E到地面的距离EF

简析：欲求EF的长，只需求DE的长，因为DF已知.可在Rt△EDC中利用勾股定理求出ED.再利用EF=ED+DF即可，具体计算略.

例8（2014年·镇江）读取下面表格中的信息，然后解决后面的问题.

因，故n可以取得的最小整数是7.

反思：通过求和，找出与n的关系，是解题的关键.

四 易错点析

1.概念理解不透彻

例9 如果是二次根式，那么x的取值范围是______.

错解：由题意可知，所以2-x≤0，即x≥2.

剖析：本题忽视了分母2-x≠0的情况.正确的答案是x>2.

2.忽视二次根式的非负性

例l0 已知xy<0，則化简的结果是（）.

错解：故选A.

剖析：上解忽略了隐含条件.而由xy<0，知x≠0且y≠0，所以，y>0，x<0.上面化简的结果显然是个负数.

正解：由二次根式的意义可知.结合xy