高中物理教材中微元法的体现和应用

周笑春

高中物理新教材中有多处涉及微元极限的思想和用微元法解题的知识，微元法，就是将研究对象（物体或物理过程）进行无限细分，从其中选取某一微小单元（称为“微元”， 通常选取时间微元、空间微元）进行分析和讨论，从而找出研究对象变化规律的一种解题方法。

在使用微元法处理问题时，需将研究过程分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”遵循的规律，然后再将其进行必要的数学方法（累加求和）或物理思想的处理，就可以使问题得以解决。

一、用取微元极限方法研究变化的物理过程中的瞬时状态

例如：瞬时速度的定义，平均速度（v=—）只能粗略地描述物体运动快慢，要准确地描述物体运动快慢，可以把Δt取得小一些。物体在从t到t+Δt这样一个非常小的时间间隔内，运动快慢的差异也就非常小，Δt越小，运动的描述就越精确。如果Δt非常非常小，即（Δt→0），就可以认为这非常小时间内的平均速度表示的是物体在时刻t的瞬时速度。

又例如瞬时加速度的定义，加速度（a=—）表示的一段时间内的平均加速度，当Δt非常小（Δt→0），—表示的就可以看成是时刻t的瞬时加速度。

这两种情况都是用变化率来描述物理量的变化快慢，用物体在某一时刻之后极短时间内的变化率来描述物体在该时刻的瞬时状态，这里的“Δt”非常小，实际上就渗入了时间微元的理念。Δt→0是用极限思想来描述变化的物理过程中的瞬时状态。

二、用取微元再求和来解决物理过程中的变量积累问题

例如：推导匀加速直线运动位移公式。课本在研究匀变速直线运动位移时，把时间划分为许多小的时间间隔Δt（时间微元），当Δt取的很小时，速度的变化就会很小，可以近似地认为速度不变，为每一段时间微元Δt起始时刻的速度，这样就可以“化变速为匀速”，它的速度图线由图中的一些平行于时间轴的间断线段组成。由于匀速直线运动的位移可以用v-t图像中图线与时间轴之间所包围的面积来表示，因此物体运动在时间t内的位移，可用图中的一个个小矩形面积之和（即阶梯状折线与时间轴之间的面积）来表示，即：x=v0×Δt+v1×Δt+v2×Δt+ v3×Δt+…

如果时间的分割再细些，它的速度图像就更接近于物体的真实运动的图像，阶梯状折线与时间轴之间的面积就更接近于倾斜直线与时间轴之间所围的面积。当时间间隔无限细分时，间断的阶梯线段就趋向于倾斜直线，阶梯状折线与时间轴之间的面积就趋向于倾斜直线与时间轴之间的面积。这样，我们就可以得出结论：匀变速直线运动的位移也可以用速度图像中图线与时间轴之间所包围的面积来表示，从而推导出匀变速运动的位移公式。

课本在研究重力做功时，也运用了微元的思想，假设物体沿任意一路径由高度是h1的起点A，运动到高度是h2的终点B，如图所示。把整个路径分成许多很短的间隔AA1 ，A1A2，A2A3，… 由于每一段都很小，因而都可以近似地看做一段倾斜的直线，“化曲为直”，设每段小斜线的高度差分别是△h1，△h2，△h3…则物体通过每段小斜线时重力所做的功分别为mg△h1，mg△h2，mg△h3，…物体通过整个路径时重力所做的功，等于重力在每小段上所做的功的代数和，即

WG=mgΔh1+mgΔh2+mgΔh3+… =mg（Δh1+Δh2+Δh3+…）

WG=mgh=mgh1-mgh2

课本内容的处理将微元思想体现得淋漓尽致，这里用到取微元的一个处理方法，可以“化变为恒”，“化曲为直”，在课堂教学时最好配合微元越取越小的动画课件，让学生从生动形象的课件上看到变化的过程，更易于理解，为以后电磁学部分微元法的学习打下了良好的基础。

要熟练地掌握了微元法解题的基本方法，高三专题复习时，还要引导学生进行相应的巩固练习，将题目进行变化，拓展训练。经过训练，绝大部分高三学生能够学会运用微元法来分析典型的物理问题。

总之，微元法是我们研究解决物理问题的重要方法之一，它贯穿于高中阶段的物理知识体系中，渗透于一些物理概念、公式、非匀变问题的解题中，“微元法”丰富了我们处理问题的手段，拓展了我们的思维，加强了我们对已知规律的再思考，从而起到巩固知识、加深认识和提高能力的作用。高中学生特别是高三的学生，应当熟练掌握。

（作者单位：江苏省淮安市清江中学）