基于预设与生成理性思考的数学教学

康万学

内容摘要：高中数学教学中预设与生成的合理处理能提高课堂效率、实施有效教学。本案例就是针对归纳推理教学，对数学本质的挖掘，对教学进行大胆尝试预设与生成处理的一个很好构思、实践及反思。

关键词： 预设与生成 数学课堂 深层思维

【中图分类号】G633.6

随着新课程改革的不断深入，预设和生成的理念也越来越多地融入我们的课堂教学。华东师范大学叶澜教授指出：“要从生命的高度、动态生成的观点看课堂教学”；崔允滸教授则认为：“预期的学习结果表明是教学设计时关注的重点，是课堂教学过程的决定因素，也是教学效益中可评价的那一部分。” 目前理论界对教学中预设和生成的处理依然有争议，在数学课堂教学实践中某些看起来开放和活跃的课堂教学，大多有盲目生成之嫌，如未能围绕课程的教学目标进行，或未能注意生成时间的制约性等，从而出现不负责任的课堂或缺乏生成的不精彩的课堂。因而如何设计教学预设促使数学课堂恰当精彩生成、在课堂中处理好生成，充分发挥师生的能动性和创造性，成为提高课堂效率、实施有效教学的重要问题。本案例就是对数学教学的预设和生成的一个粗浅探讨。

案例背景：我校高二数学备课组围绕本学期校本活动《教研主题：数学课堂教学预设和生成的研究》展示了一节《归纳推理》探究课，探索校本教研活动的有效方式。这节课上的成功之处主要在于有了比较多的不同声音，得到所期待的讨论。

在准备前期，备课组内部也有过争论。焦点为：因为本课内容校内示范课的课题，也是准备参加优质课的课题，是否以其中优秀的教学设计或其教学设计中的优秀片段进行截取整合。

传统过程：通过一或二个引例，就提出本课的主题：归纳推理，然后在通过几个例题加以深化与落实。归纳推理是学生在小学几何中就开始接触的解决问题的思考方法，G波利亚的《数学的发现》第二卷《它的内容，方法和意义》中讲解了这种思考方法、思维路线等；合情推理这个概念最早是G波利亚在《怎样解题》中得到总结，随后又在他的《合情推理》上下册中广泛而深刻地阐述。因此，可以说G波利亚的理论已深刻展示了数学的本质。

为充分体现学生自己的归纳推理体验，立足于“数学教学是数学本质的教学”理念，对教学课堂的预设与生成尤为重要。我们作了如下尝试：在教学中安排几个典型生活与游戏的问题来探究，最后得出概念。这长长的前奏，让学生经历从隐性被动到显性主动，从而达到自主探索、实践创新的效果。其中明线是：感觉到最后才给出了归纳推理的概念及由此方法得到的重大发现，实际上的暗线是：在解决数学问题中，不断地渗透过程与方法（实验、观察、概括、推广、猜测）、情感态度价值观（大胆猜想，小心求证）。

探索问题的预设：

选择典型生活与游戏的问题，创设情境，让学生饶有兴趣地、自觉地去试验、观察，得到猜想，分析其发现动机和合情推理，让学生得到充分的归纳推理体验。

爬楼梯问题：现有10级楼梯，每次只能走一级或二级，问有多少种走法？

谢宾斯基三角形问题：上世纪初，波兰的数学家谢宾斯基想要找到一个图形，当它的面积无限减小时，它的周长则无限增大（用几何画板进行迭代演示）。将上述迭代过程逐一展示，问谢宾斯基三角形的第n个图形中，灰色三角形的个数为多少？灰色、黑色三角形的总个数又为多少呢？

……

汉诺塔问题：

规则：把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起“过渡”的作用。（1）每次只能移动1个圆环；

（2）较大的圆环不能放在较小的圆环上面.

请你试着推测：把n个圆环从1号针移到3号针，最少需要移动多少次？（最后借助小软件直观的验证学生的思维过程）

区域数问题：平面被n 条直线最多分成几个区域？

要达到数学教学预设与生成的适配，老师就要能“跳出教材”，从“教材外”看教材。大胆地处理教材，把教材作为可利用的资源中的一种来使用，引导学生自主探究、自主发展。而从学生发展层面看，既要预设性发展，也要生成性发展。因此，准确把握教材、学生，抓牢生成的基点：学生的现有发展水平；把握预设的要点：足够的预留弹性空间如教学目标和教学方式的弹性化，是预设与生成成功教学的基础。这几个问题的选择是集高二备课组所有老师在教学中的尝试和收获所得，既能促进学生积极思考，又能恰到好处地开放，很好地实践了课堂的预设与生成。

教学过程的生成：

教师课堂教学之前须了解学生的个体差异，课堂上了解学生的真实学习水平；教学后反思学生的种种表现，以准确把握学生的现有发展水平。对教学过程进行假设：学生会怎么说？我该怎么引导？学生说的与预想的不一致，我该怎么办？如何根据学生的当场反馈，调整问题的难易程度？以下就孔老师执教的两堂试验课与一节展示课加以说明：

1、 爬楼梯问题

学生尝试用分类列举、数数…

[问题]：你是怎么想的，结论是多少？

学生得到1，2，3，5，…， 89

[问题]：你是如何得到？你是根据哪点得出的？

学生得到 由此可以得到

[问题]：这个规律怎么发现的，这样走楼梯的内在规律是怎样的？开始这种方法也可以吗？错在哪？

师：比较两种方法，前者麻烦，不清晰。后者先考虑简单的走1级、2级、3级分别会有几种走法，然后找出规律，得到n级的情况。这种方法挺好。

因为起点高，学生可能暂时解决不了这个问题，则教师处理成：这个问题我们一下了还无法解决，那先放一放吧，说不定过一会，我们就有了灵感了。先来看下一个问题。

生成有：1、在理科班的实验课上学生中出现结果为25的答案。这是属于理解角度与认知起点不同引起的非常生成，学生的回答让孔老师有点措手不及，因为学生的回答她在课前尚未想到，而学生又不能畅述清楚自己的思路，当时解决得不是很好。2、展示课班级为文科学生，一位学生尝试列举出方法的总数，但是又因为思维的无序性、分类思想的不成熟，没办法整理出最后的结果。这是自然流露的正常生成，孔老师在在倾听中发现学生困惑的焦点，并引导采用分类的方法成功解决问题。3、因为这个问题对文科生来说起点较高，在文科班的实验课中学生暂时解决不了，教师采用了提示：10级太多了，不好考虑？怎么办？为了更好的生成，在讨论后我们处理成：暂时委婉避过，先对后面的问题作思考，再回过头由学生自行解决。

当课堂中出现不稳定性的生长