线段与角相关问题中的数学思想应用

仇日锋

[摘 要]数学思想是解决线段和角相关问题的常用思想，主要通过例题对数学思想中的方程思想、分类讨论思想、整体思想、类比思想进行了阐述，以此说明数学思想在解决线段和角问题过程中的重要作用.

[关键词]线段 角 数学思想 应用

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2015）230036

在解决有关线段与角的问题中，常用到一些数学思想，现针对方程思想、分类讨论思想、整体思想、类比思想，列举这几个数学思想在有关线段与角的问题中的应用.

一、方程思想

方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程），然后通过解方程来使问题获解.在解决有关线段与角的问题中常用到这种思想.

图1

【例1】 如图1，在直线上，AB∶BC∶CD=2∶3∶4，点M、N分别是AB、CD的中点，已知MN=60cm，求AD的长.

分析：根据条件AB∶BC∶CD=2∶3∶4这一特点，

设AB=2x，则BC=3x，CD=4x，由点M、N分别是AB、CD的中点，

可将MN用含x的式子表示.根据MN=60cm，建立方程，求出x，从而求得AD的长.

解：设AB=2xcm，则BC=3xcm，CD=4xcm.

∵M、N分别是AB、CD的中点，

∴MB=12AB，CN=12CD，

∴MN=MB+BC+CN=12AB+BC+12CD=12×2x+3x+12×4x=6x.

∵MN=60cm，

∴6x=60，得x=10.

∴AD=AB+BC+CD=2x+3x+4x=9x=9×10=90cm.

点评：当已知线段被分成几条线段的长度比时，可根据比例设未知数x，用含x的式子表示相关线段的长度，然后列方程，求出x的值，进而求出线段的长.

【例2】 一个角的补角比它的余角的4倍还多15°，求这个角的度数.

分析：设出这个角为x°，则这个角的余角为（90-x）°，这个角的补角为（180-x）°，根据这个角的补角比它的余角的4倍还多15°，可列出方程求出x的值.

解：设这个角为x°，则这个角的余角为（90-x）°，这个角的补角为（180-x）°.

根据题意，得180-x=4×（90-x）+15，解这个方程得x=65.

故这个角是65°.

点评：求解此类问题的关键是正确理解互为余角和互为补角的概念.对于较为复杂的数量关系，可设其中的一个未知角为未知数，利用方程思想找出相关角之间的关系，列出方程，求出未知数，解决问题.

二、分类讨论的思想

分类讨论思想在解决有关线段与角的问题中经常用到.当题目中的条件不确定时，一般解题时必须分情况进行讨论.

【例3】 已知线段AB=7cm，在直线AB上画线段BC=3cm，求线段AC的长.

分析：本题中没有给出图形，画出符合题意的图形是解题的关键，点C既可以在线段AB上，也可以在线段AB的延长线上，故要分两种情况讨论.

解：分两种情况：

图2图3

（1）当点C在线段AB上时，如图2，AC=AB-BC=7-3=4（cm）；

（2）当点C在线段AB的延长线上时，如图3，AC=AB+BC=7+3=10（cm）.

所以线段AC的长为4cm或10cm.

点评：本题没有指明图形的位置，且题目中没有图形，因此图形位置具有不确定性，所以解题时要分类讨论.

【例4】 已知∠AOB=100°，∠BOC=60°，OD平分∠AOB，OE平分∠BOC，求∠DOE的度数.

分析：根据已知条件不能确定OC的位置，OC可能在∠AOB的内部，也可能在∠AOB的外部，所以要分两种情况讨论.

图4

解：（1）当OC在∠AOB的内部时，如图4所示.

因为OD平分∠AOB，OE平分∠BOC，

所以∠BOD=12∠AOB=50°，∠BOE=12∠BOC=30°，

所以∠DOE=∠BOD-∠BOE=50°-30°=20°.

图5

（2）当OC在∠AOB的内部时，如图5所示.

因为OD平分∠AOB，OE平分∠BOC，

所以∠BOD=12∠AOB=50°，∠BOE=12∠BOC=30°，

所以∠DOE=∠BOD+∠BOE=50°+30°=80°.

综上所述，∠DOE的度数为20°或80°.

点评：在解决没给出图形的几何题时，若已知条件中图形的位置

关系不明确，往往要进行分类讨论，注意多解.

三、整体思想

整体思想就是从整体的角度思考问题，将局部放在整体中去解决问题.

图6

【例5】 如图6，已知C、D是线段AB上的两点，点E、F分别为AC、BD的中点，AB=15，CD=6，求线段EF的长度.

分析：由于EF=EC+CD+DF，但无法求出线段AC、BD的长度，也就无法求出线段EC、DF的长度，只能把线段EC+DF看作一个整体.

解：因为点E、F分别为AC、BD的中点，

所以EC=12AC，DF=12BD，

所以EF=EC+CD+DF=12AC+CD+12BD=12（AC+BD）+CD=12（AB-CD）+CD=12×（15-6）+6

=10.5.

故线段EF的长度是10.5.

点评：本题利用了整体方法求解线段的长度，体现了整体思想的应用.

图7

【例6】 如图7，∠AOB=110°，∠COD=70°，OA平分∠EOC，

OB平分∠DOF，求∠EOF的大小.

分析：由于∠EOF=∠AOE+∠AOB+∠BOF，但无法求出

∠AOE、∠BOF的度数，只能把∠AOE+∠BOF看作一个整体.

解：因为OA平分∠EOC，OB平分∠DOF，

所以∠AOE=∠AOC，∠BOF=∠BOD，

所以∠EOF=∠AOE+∠AOB+∠BOF=∠AOC+∠AOB+∠BOD

=∠AOC+∠BOD+∠AOB=∠AOB-∠COD+∠AOB=110°-70°+110°=150°.

点评：本题体现了整体思想在求角的度数问题上的应用.

四、类比思想

类比是由两个对象在某些方面的相同或相似，推测它们在其他方面也可能存在着相同或相似的地方.

图8

【例7】 （1）如图8，线段AD上有两点B、C，图中共有几条线段？

（2）在直线a上共有n个点，以这些点为端点的线段共有多少条？

（3）n个小朋友两两握手，共需握几次手？

图9

（4）如图9，以O为顶点，以射线OA1，OA2，OA3，…，OAn

为边且小于平角的角共有多少个？

（5）在同一平面内，n条直线相交，最多有多少个交点？

分析：上面几个问题都是有一些元素，每两个元素之间构成一次联系，需分析共有多少次联系.

解：（1）每一个点与其他3个点构成3条线段，4个点共构成4×3条线段.由于每条线段都重复计算了一次，所以在这个图中共有4×32=6条线段.

（2）每一个点与其他（n-1）个点可以构成（n-1）条线段.n个点共构成n（n-1）条线段.由于每条线段都重复计算了一次，所以共有n（n-1）2条线段.

（3）每一个小朋友与其他（n-1）个小朋友握手（n-1）次.n个小朋友共握手n（n-1）次.由于每个小朋友都重复计算了一次，所以共握手n（n-1）2次.

（4）每一条直线与其他（n-1）条直线可以构成（n-1）个角.n条直线共构成n（n-1）个角.由于每个角都重复计算了一次，所以共有n（n-1）2个角.

（5）每一条直线与其他（n-1）条直线相交最多有（n-1）个交点.n条直线最多构成n（n-1）个交点，由于每个交点都重复计算了一次，所以共有n（n-1）2个交点.

点评：用同样的方法解决了类似的问题，用已知的知识类比地学习未知的内容.

数学思想方法是数学的灵魂，它是知识转化为能力的桥梁，是培养学生数学思维的关键，对数学学习有着重要的促进和指导作用.学生在平时的学习过程中要认真体会、思考、总结数学思想方法.

（责任编辑 钟伟芳）