国学经典中的数学思想方法赏析

刘胜月　刘戌昕

【摘 要】本文主要挖掘揭示了一些国学经典中的数学思想方法，从数学视角研究国学内涵，通过典型例题具体分析说明成语典故的哲理在数学命题、解题中的应用，旨在引导学生学数学、用数学、欣赏数学，使数学进一步贴近大众。

【关键词】国学经典 数学思想方法 命题 解题 赏析

【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2015）08-0120-02

一 国学经典中的数学思想方法

后发制人，出自《孙子·军争》：“后之发，先之至，此用兵之要术也”，意为等对方先动手，再抓住有利时机反击，制服对方。蕴涵极限定义思想方法。在函数极限的ε-δ定义中，对任意ε>0，总存在δ>0，使得当0﹤∣x-x0∣﹤δ时，都有∣f（x）-A∣﹤ε，则称f（x）在x趋向于x0时的极限为A。这里δ后制ε。同样在数列极限的ε-N定义中，N后制ε。

愚公移山，这个故事记载在战国·列子《列子·汤问篇》中。故事的主人公愚公曰：“子子孙孙无穷匮也”，意为子子孙孙无穷无尽。蕴涵数学归纳法中的递推思想（由命题对k成立推出命题对k+1成立）。

欲擒故纵，兵法《三十六计》第十六计，意为故意先放对方一马，使敌人放松戒备，充分暴露，然后再将其捉住。其中蕴涵反证法思想：先假设命题结论不成立，即命题结论的否定成立（故纵），再经过推理论证得出矛盾，从而证明结论成立（欲擒）。

田忌赛马，记载在西汉·司马迁《史记·卷六十五·孙子吴起列传第五》中。齐国大将田忌和齐威王赛马。他们把马分成上、中、下三等，上等马对上等马，以此类推。田忌每个等次的马都比齐威王的慢，因此三个回合下来，田忌皆败。一旁观战的朋友孙膑给他支着儿，于是新一轮赛马开始了，田忌先用下等马对齐威王的上等马，再用上等马对齐威王的中等马，又用自己的中等马对齐威王的下等马。田忌以两胜一败的成绩赢了齐威王。同样的马匹，只是调换了比赛的出场顺序，就得到反败为胜的结果。这里蕴涵运筹学中的最优化思想。

曹冲称象，出自晋·陈寿《三国志·魏书·武文世王公传》。有一次，孙权送来了一头巨象，太祖（曹操）想知道这象的重量，询问属下，都不能说出称象的办法。曹操的小儿子曹冲说：“把象放到大船上，在水面所达到的地方做上记号，再让船装载石头，当水面达到该记号的时候称量这些石头的总重量，大象的重量就等于石頭的总重量。”曹冲把大象的重量转化为石头的重量，使问题得到解决。此典故蕴涵转化与化归思想。《吕氏春秋·察今》曰：“故审堂下之阴，而知日月之行，阴阳之变。”意思是说，观察堂屋影子的变化就能知道日月运行的情况，反映了象与原象的变化关系。蕴涵映射与函数思想。

二 巧悖数学思想，成就千古名篇

佛教把众生世界分为“三界”，孙悟空乃三界之外灵物，吴承恩巧妙违背数学分类思想的不重不漏原则，成功地塑造了我国古代四大名著之一《西游记》中的孙悟空人物形象。

刻舟求剑，出自战国·吕不韦《吕氏春秋·察今》。楚国有个人乘船渡江，剑从船上掉进了水里。他急忙在船沿刻上记号，说：“这儿是我的剑掉下去的地方。”船靠岸后，这个人顺着船沿上刻的记号下水去找剑。船已经走（行驶）了很远，而剑还在原来的地方不会随船而前进。用这样的办法来找剑，不是很糊涂吗？我们从现代数学映射观点来看，原象只有船沿上刻的记号一个，船行驶以后出现了无数个象（记号对应的水下位置），这个楚国人违背了函数与映射思想，误解了象与原象（事物自身）的对应关系。

三 成语典故的哲理在数学命题、解题中的应用

擒贼先擒王，出自唐·杜甫《前出塞》诗之六：“射人先射马，擒贼先擒王”，指作战要先抓主要敌手，也比喻做事要抓关键。在恒成立问题的解题中，常利用最值（最大值或最小值）解决问题。

例1，（2013新课标全国Ⅰ卷理21）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2。（1）求a，b，c，d的值；（2）若x≥-2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围。

解析：（1）（略）。（2）由（1）知f（x）=x2+4x+2，g（x）=ex（2x+2）。当x≥-2时，f（x）≤kg（x），即x≥-2时，kg（x）-f（x）≥0恒成立。令F（x）=kg（x）-f（x），则x≥-2时，F（x）的最小值（擒王）非负即可。F′（x）=（kex-1）（2x+4），由题设可得F（0）≥0，故k≥1，令F′（x）=0，得x1=-ln k，x2=-2。

（1）若1≤k0，即F（x）在[-2，+∞）上最小值为F（x1）=2x1+2- -4x1-2=-x1（x1+2）≥0，此时f（x）≤kg（x）恒成立。（2）若k=e2，F′（x）=（ex+2-1）（2x+4），故F（x）在[-2，+∞）上单调递增，F（x）在[-2，+∞）上最小值为F（-2）=0，所以f（x）≤kg（x）恒成立。（3）若k>e2，则F（-2）=-2ke-2+2=-2e-2（k-e2）<0，从而当x∈[-2，+∞]时，f（x）≤kg（x）不可能恒成立。

综上所述，k的取值范围为[1，e2]。

以逸待劳，出自《孙子·军争》：“以近待远，以佚待劳，以饱待饥，此治力者也”，意指我方养精蓄锐（以逸即以静），坐等疲乏的敌人来犯时给以迎头痛击（待劳即制动）。在求解含两个以上动点的最值时，常依据这一策略以静制动地解决问题。

例2，（2013重庆卷理7）已知圆C1：（x-2）2+（y-3）2=1，圆C2：（x-3）2+（y-4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（ ）。

A.5 -4 B. -1 C.6-2 D.

答案：A。

解析：将P点到圆上动点的距离转化为到定点圆心的距离（以静制动）。

|PM|min=|PC1|-R1，|PN|min=|PC2|-R2（R1，R2分别为两圆的半径）

（|PM|+|PN|）min=（|PC1|+|PC2|）min-R1-R2

两圆心坐标分别为C1（2，3），C2（3，4）。C1关于x轴对称的点C1′的坐标为（2，-3），连接C2C1′，线段C2C1′与x轴的交点即为P点（如图1）。

（|PM|+|PN|）min=（|PC1|+|PC2|）min-R1-R2=|C2C1′|-

R1-R2

= -1-3= -4= -4

借尸还魂，兵法《三十六计》第十四计，原意是指使已经死亡的东西，借用另一种形式出现。其实质是利用没有作为或不能有作为的加以控制。受借尸还魂策略的启发，我们常常利用某些公式的结构形式解题、命题。待定系数法也可看作借尸还魂策略在数学解题中的应用。

例3，（2013安徽卷理8）函数y=f（x）的图象如图2所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，

x2，…，xn，使得 ，则n的取值范

围为（ ）。

A.{3，4} B.{2，3，4} C.{3，4，5} D.{2，3}

答案：B。

解析：利用过两点直线的斜率公式结构形式，将条件

看作 ，

问题转化为过原点作直线与函数y=f（x）的图象可以有几个不同的交点，观察可得n的取值范围是{2，3，4}。

例4，（2013湖北卷理13）设x，y，z∈R，且满足：x2+y2+z2=1，x+2y+3z= ，则x+y+z=________。

答案： 。

解析：利用向量數量积的坐标公式结构形式，设向量a=（x，y，z），b=（1，2，3），把x+2y+3z看作是a·b，即a·b=x+2y+3z= ，又| a |=1，| b |= ，

∴向量a，b方向相同，∴z=3x，y=2x，

代入已知得 ，

∴x+y+z=6x= 。

例5，[2013福建卷理21（1）（选修4-2：矩阵与变换）]

①已知直线l：ax+y=1在矩阵 对应的变换作用

下变为直线l′：x+by=1。求实数a，b的值。

解：（1）①设直线l：ax+y=1上任意点M（x，y）在矩阵A对应的变换作用下的像是M′（x′，y′）。

由 ，得 。

又点M′（x′，y′）在l′上，所以x′+by′=1，即x+（b+2）

y=1，利用直线l方程的形式，通过待定系数法得 ，

从而 。

倒行逆施，出自西汉·司马迁《史记·卷六十六·伍子胥列传第六》：“吾日莫途远，吾故倒行而逆施之”，意为做事违反常理，不择手段。参考倒行逆施这一思维方式，数学命题时常给出结果而求过程中的参数。分析法、逆向思维解题、逆用公式等也可看作这一思维方式在数学解题中的应用。

例6，（2013浙江卷理13）设z=kx+y，其中实数x，y

满足 。若z的最大值为12，则实数k=_______。

答案：2。

解析：根据约束条件画出可行

域如图3。因为z的最大值为12。

所以直线kx+y=12必过（4，4）

点，∴k=2。

一般线性规划问题是已知可行

域求目标函数的最值，本题是已知目标函数的最大值求目标函数中的待定系数。

反客为主，出自明·罗贯中《三国演义》第七十一回：“拔寨前进，步步为营，诱渊来战而擒之，此乃反客为主之法。”意为客人反过来成为主人，比喻变被动为主动。将常量视为变量、变量视为常量是反客为主在数学解题中的具体体现。

例7，设不等式2x-1>m（x2-1）对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立，求x的取值范围。

四 后记

“体现数学的文化价值”是高中数学课程基本理念之一。挖掘国学经典中的数学思想方法，是从数学视角研究国学内涵，把数学文化从纵向用数学、看数学拓展为横向用数学看文化，丰富了数学的美学内涵，提升了数学的文化价值。教学中适当剖析国学经典中的数学思想方法，可以激发学生学习数学的兴趣，陶冶学生情操；可以帮助学生从学数学、用数学逐步学会欣赏数学，使数学进一步贴近大众。

〔责任编辑：庞远燕〕