品味“创新型”集合问题

蔡勇全

“创新型”集合问题是近几年高考命题的热点，此类试题常常以“新交汇”“新定义”为背景，较好地考查了考生的创新能力和运用数学知识综合解决问题的能力，因而备受命题者的青睐。在总结近几年全国各地高考试题或模拟试题的基础上，现介绍几种主要的“创新型”集合问题，旨在探索题型规律，揭示解题方法，供大家参考。

类型一：集合与合情推理

集合与合情推理“联姻”能命制出精彩的考题，而且多以元素与集合的关系、合情推理为交汇点，意在考查考生处理交汇性问题的能力、逻辑推理能力，此类题目的难度一般为中等或中等偏上。

例1（2014年高考福建理科第15题）若集合{a，b，c，d}={l，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠l；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是

。

解：若①正确，则②也正确，所以只有①正确是不可能的。

若只有②正确，①③④都不正确，则符合条件的有序数组为（2，3，l，4）、（3，2，1，4）。

若只有③正确，①②④都不正确，则符合条件的有序数组为（3，1，2，4）。

若只有④正确，①②③都不正确，则符合条件的有序数组为（2，1，4，3）、（3，1，4，2）、（4，1，3，2）。

综上所述，符合条件的有序数组的个数是6。

评析：解决此类题的易错点为：一是分类不严谨；二是审题不认真。解答本题时，若对“有且只有”这四个字不敏感，那么就不容易找到解题的突破口。因此，解题时，一定要认真审题，分类时要做到不重、不漏，这样才不会陷入命题人设计的陷阱。

变式：已知元素为实数的集合S满足下列条件：①；②若a∈s，则

（l）若集合（2，-2）是S的真子集，求使元素个数最少的集合S。

（2）若非空集合S为有限集，则你对集合的元素的个数有何猜想？证明你的猜想正确。

解：（1）由题意易知使元素个数最少的集合S为

（2）非空有限集S的元素的个数是3的倍数。证明如下。

设a∈s，且a≠O、I，则

若，则。由于无实数根，所以

同理，

故

若存在b∈s，而且。这说明：若有一个元素属于s，则必还有两个元素属于s；若中有元素属于，则利用前述的（*）式可知得到的另两个元素也属于，这种情况不增加S中元素的个数。上述推理还可继续，由于S为有限集，故上述推理经过有限步后可终止，所以S中元素的个数是3的倍数。

评析：破解此类问题的突破口是：正确理解集合的有关概念，注意集合中元素的互异性，会用完全归纳推理方法判断集合中元素的所有可能取值，并注意分类与整合思想的运用。

类型二：集合与新定义

集合与新定义“交融”的考题，具有浓厚的时代气息，是一类难得一见的好题。此类试题常常以平面点集或数集、新定义为交汇点，意在考查考生处理交汇性问题的能力、数形结合能力及运算求解能力，此类试题的难度一般为中等偏上，而且在客观题或主观题中均可能出现。

例2（2013年高考福建理科第10题）设S、T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（i）T=（f（x）|x∈S）；（ii）对任意x1、x2∈S，当x1解：对于选项A，取f（x）=x-1，则集合A=N*与B=N“保序同构”，应排除A。

对于选项B，取，则集合与或O

I）.“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是必要条件

解：A∪B=C，且B不是A的子集，则集合C≠A。

由，得集合

由，得集合A的元素都在集合C中，但集合（1中的元素至少有一个不在集合A中，故应选B。

评析：解决本题的难点主要是对集合之间关系的分析，通过两个集合的运算产生的集合同这两个集合之间存在着必然的包含关系，如A与B均为A∪B的子集，A∩B既是A的子集，也是B的子集等，这些常识是分析判断参与运算的两个集合中的元素与由运算所得的集合中的元素之间的关系的依据，也是解决这类问题的关键。

变式1：（2013年高考四川理科第4题）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集，若命题p：，2x∈B，则（）。

解：命题p的含义是：对任意x∈A，一定有2x∈B，则其否定或否定形式┐p的含义应是：并非对任意x∈A，都有2x∈B，即存在z∈A，使B，故应选D。

变式2：（2011年高考天津文科第4题）设集合A={x∈R|x-2>0），集合B={x∈R|x<0}，集合C={x∈R|x（x-2）>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的（）。

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

解：因为A∪B={x∈R|x<0或x>2），C={x∈R|x<0或x>2}，所以A∪B=C，所以x∈A∪B是x∈C的充分必要条件，应选C。

评析：破解此类问题的突破口是：既能对集合之间的包含关系熟练应用，又能用特殊值法来判断特称命题的真假，还能准确理解充分条件、必要条件及充要条件的含义，这样才能对其关系进行准确判断。

类型四：集合与其他知识

这里的其他知识是指向量、复数或三角函数等，集合与这些知识“相约”，往往能产生不可多得的佳题，此类试题常常以集合为背景，注重考查向量、复数或三角函数的应用性功能，较好地体现了高考“在知识网络交汇处设计试题，注重学科的内在联系和知识的综合性”，这也是近几年高考命题的新特点和大方向，此类题目的难度一般为中等。

例4 已知i为虚数单位，则集合为纯虚数）中元素的个数是_____。

解：

欲使为纯虚数，则且-2a≠O，解得a=±1，故M={-1，1}，所以集合M中元素的个数为2。

评析：解答本题的关键是对集合M中的元素是“谁”及纯虚数这一概念的理解。

变式：集合O，x∈R，y∈[0，2π]}中元素的个数是_____。

解：显然x≠o，所以

由或得或

又y∈[0，2π]，故k、m分别只能取4个值，从而集合A中元素的个数为8。

评析：以集合的形式包装本题，关键是解方程。观察sin（xy），自然联想到它的有界性。解决本题用到了一种极其重要的思想方法，也就是夹逼思想，即m≤x≤m=>x=m。