学生数学活动经验积累的教学探析

张优幼 陈灵荣

【摘要】丰富学生的数学活动经验，教师的引导作用不可忽视。数学活动经验具有抽象性，需要教师引导学生在操作前进行猜想和思考，在操作后进行反思和比较;数学活动经验的形成具有再生性，这需要教师能借助不同的形式引导学生经历表征反复和自我迂回的过程。

【关键词】数学活动经验;抽象性;再生性;操作性反思;反思性操作

【中图分类号】G623.5【文献标识码】A【文章编号】1005-6009（2015）17-0042-02

【作者简介】1.张优幼，浙江省台州市椒江区人民小学（浙江台州，318000）副校长，高级教师，浙江省数学特级教师，浙江省小学数学专业委员会理事，浙江省教坛新秀，台州市名教师;2.陈灵荣，浙江省台州市椒江区海门小学（浙江台州，318000）校长，台州市名校长。

经验，即由实践得来的知识和技能，它既是一个结果又是一种经历和体验。数学活动经验，也基于此。它是一种缄默知识，在数学活动过程中经历和感悟，又在感悟中迸发出创造性思维的火花。如何将数学活动经验融于课堂教学中，使其成为可操作、可触摸的教学过程呢？本文试图从学生认知的视角来阐释数学课堂中学生活动经验的积累方法和过程。

一、数学活动经验具有抽象性，需要让学生经历操作性反思和反思性操作的过程

杜威认为：教育就是经验的改造或改组。这种改造或改组，既能增加经验的意义，又能提高指导后来经验进程的能力。他认为经验有两重含义，一是经验的事物，二是经验的过程，强调经验是人与环境主动互动的过程，这一过程融合了情感、意志、思维、实验等理性和非理性因素。与数学概念、技能等显性知识相比，数学活动经验具有抽象性，它类似于水面下的冰山，有时能悟而不能言。

1.在操作活动前有目的地进行猜想和思考，有利于抽象操作性活动经验。

通常认为，操作性活动经验即通过眼、耳、口、手等感官操作现实素材获得的直接经验，如由堆积木、折纸等获得的经验。操作性活动经验是形象思维经验的基础，通过操作加强感悟，这是低年级学生以直观形象思维为主导、以直观经验为起点的年龄特征所决定的，也是学生参与知识形成过程的关键。但纯粹的操作不利于数学的抽象和概括，需要学生在操作前进行思考，在操作后进行总结，思考性操作的过程可以在脑中完成，然后只要通过实验去验证一下就可以了。有目标、有思维深度的操作有利于培养学生的抽象思维能力。

一位教师教学“数与形的变换”时，就出现了让学生从猜想到操作这样精彩的一幕：

师出示4个一模一样的等腰直角三角形。

师：2个这样的三角形可以拼成什么图形？

生：三角形、正方形、平行四边形……

师：猜一猜，4个能拼成什么？在表格中做上记录。

学生独立思考后反馈：能拼成长方形，不能拼成圆形。当想象不能确定能否拼成正方形、三角形、平行四边形或梯形，通过辩论也无法解决他们的疑惑时，实物操作就成了学生验证猜想的必需工具。这时，教师宣布上课前发给学生的信封里有这样4个小三角形，学生可以借助它们验证自己的猜想，可想而知，此时的学生，反应是强烈的，行动是迫切的，情绪是高涨的，思维是积极投入的。

操作活动探究目的明确，有操作需求，是理解数学内涵所需要的。伴随着思维活动的深入，学生尝试解决问题的策略和方法给他们带来的体验是强烈的。

2.在操作活动后不断进行反思和比较，有利于抽象反思性活动经验。

积累活动经验的过程始终需要思维的参与。通过思考思维材料获得的经验就是反思性活动经验，如推理的经验、抽象的经验等。在实际情境中进行操作活动是低年级学生积累数学活动经验的主要方式。但这并不意味着低年级的操作活动就不需要抽象，相反，通过分析和思考活动过程，可以让问题解决的过程给学生留下更深刻的体验。比如，为了帮助学生理解长方形“对边相等”，可以设计如下操作活动：

学具准备：同桌两人一份，每份8根小棒（长12cm、10cm、8cm、6cm的小棒各两根）。

活动要求：同桌合作，每人4根，首尾相连搭成一个长方形。

学生活动生成：（1）同桌平均分，每人分到的是长12cm、10cm、8cm、6cm的小棒各一根，搭不成;（2）先是平均分，见搭不成长方形，交换后，搭成了长方形;（3）一次搭成长方形。

反思比较和抽象：（1）搭成长方形的学生谈经验;（2）搭不成长方形的学生谈问题。

上述几种生成，分别反映出处于不同思维层次的学生所经历的思考过程。能一次搭成长方形的学生脑子里本身就有长方形特征的基本经验;交换小棒后才搭成的学生对“对边相等”的体验相对深刻;对于搭不成长方形的学生来说，倾听他人的经验会让他在自觉和不自觉中跟自己的经验相比较，从而通过言语表达自我的内化过程。通过思考进行操作，通过操作促进思考，这操作后的反思，更有助于学生积累反思性活动经验。

二、数学活动经验具有再生性，需要让学生经历反复和迂回的过程

活动经验的抽象、形成会有一定的反复和迂回过程。在这个过程中，学生不断地经历认知冲突，不断地将新的经验纳入旧的经验中，通过不同的形式逐渐内化为概括性的活动经验图式。

1.在不同的表征形式中经历反复。

心理学家莱什提出了数学学习的五种表征：实物操作、图像、文字符号、口头语言、现实情境。在这些不同的表征形式中，任意两种之间都可以相互转化，对于同一种知识，学生可以体验显性的言语表达、欲言又止的缄默知识、形象的实物以及抽象的文字符号，在多种形式的表达中反复感知相关的内容，借助多元化的表征，让相同的数学概念在不同的情境中反复，从而迁移运用先前的经验，反思抽象，内化提升。如“乘法口诀”的理解和教学，就可以通过读、写、画等数学活动表达口诀的意义。当我们说学生理解了乘法口诀时，在一定程度上就是指他们能够理解与应用乘法口诀的不同表征。

2.在迂回的辨析中丰厚自我。

导致学生学习困难的内容通常有两个特点：一是学生不熟悉，也就是学习内容与学生熟悉的知识和经验缺少联系;二是学习的内容比较复杂，也就是与之相关联的因素较多。因此，基于学生的原有经验进行的教学，更需要学生在经验的迂回中自我感悟，在辨析中明晰数学知识的内涵。如教学“因数和倍数”，课尾，教师问道：“对这节课，大家还有哪些不明白的地方吗？”有的学生举手问：“以前我们可以说3是2的1.5倍，为什么今天练习时却不能说3是2的倍数？”这位学生把原先的学习经验与新的知识建立联系并进行比较，积极地去理解新的知识——这里的“几倍”与“倍数”是不同的概念，学生在自我迂回，不妨让学生说说自己的想法，并引导其他学生来帮助他纠正错误。

总之，学生数学活动经验的积累需要一个逐渐感知的过程，在此过程中萌发创造性思维，链接各个知识节点，促进知识迁移、方法提炼和能力的发展。