别让一题多解淹没数学文化

梅磊

研究高考数学试题是高中数学教师的日常工作之一.2012年和2013年湖北卷有两道类似的高考题，试题如下：

试题1（2012年高考湖北卷理科第6题）设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则=

A. B. C. D.

试题2（2013年高考湖北卷理科第13题）设x，y，z∈R，且满足：x2+y2+z2=1，x+2y+3z=，则x+y+z=_______.

两道试题主要考查柯西不等式，考生也很容易想到要用柯西不等式.但是文“一道高考题的几种思考视角”[1]却给出试题1的5种解法，文“题不在大 有魂则灵”[2]却给出试题2的8种解法，美其名曰“一题多解”.

这两道试题，有没有必要一题多解呢？

众所周知，一题多解是指对一道试题从多种不同角度进行分析与探究，进而得到多种解法，一题多解的目的在于从多种解法中，探寻最自然的解法和最简单的解法.读完文献[1][2]给出的多种解法，我们不难发现柯西不等式法既是解答这两道试题最自然的解法，又是解答这两道试题最简单的解法，是名副其实的最佳解法，所以对这两道试题完全没有必要一题多解.特别是文[1]的解法4和文[2]的解法8，就像“魔术师的帽子突然变出了兔子”一样，高中生很不容易想到；文[2]的解法6很复杂，高中生很难完成，有点无病呻吟，故弄玄虚之嫌.

既然这两道试题完全没有必要一题多解，那么湖北命题组为什么会连续两年考查同一问题呢？

我们一起来探寻这两道试题的价值.柯西不等式是新课程新增加的教学内容，因为“高考支持课程改革”，所以考查.此外，《普通高中数学课程标准（实验）》已经将“体现数学的文化价值”作为高中数学课程的基本理念之一，而柯西不等式有着重要的文化价值.

柯西不等式虽然形式上比较简单，但在数学各个分支里都有着极其广泛的应用.它在不同的领域有着不同的表现形式，充分体现了数学各领域的內通性、渗透性和统一性.

柯西不等式在各领域中常见的表现形式如下：

命题1 ∀ai，bi∈R，i=1，2，…，n，有

aibi≤[a2][i][bi][2] . 当且仅当存在不全为零的常数k1，k2，使得k1ai+k2bi=0，i=1，2，…，n时，等号成立.

命题2 ∀f（x），g（x）∈C[a，b]，有

f（x）g（x）dx≤f2（x）dx·g2（x）dx. 当且仅当存在不全为零的常数k1，k2，使得k1f（x）+k2g（x）=0时，等号成立.

命题3 ∀向量α，β，有（α，β）≤αβ.当且仅当存在不全为零的常数k1，k2，使得k1α+k2 β=0时，等号成立.

命题4 ∀随机变量ξ，η，若Eξ2，Eη2存在，则有[Eξη]2≤Eξ2·Eη2.当且仅当存在不全为零的常数k1，k2，使得P（k1ξ+k2η=0）=1时，等号成立.

命题1是高中数学形式，命题2是大学数学分析形式，命题3是大学高等代数形式，命题4是大学概率论形式，虽然问题的涉及角度不同，但表现形式极其相似，命题1～4的左右两边结构及各变量之间涉及的运算是多么地对偶、和谐、统一.

命题1～4虽涉及的数学对象不同，但其本质都反映了不同变量间的某种不等关系，且等式成立都体现了它们之间的线性关系.在不同领域，证明方式纷呈多样，但其证明均与b2-4ac≤0有着类似的地方，故构造一个非负的二次函数，利用判别式法是证明的通法.

命题1～4不仅形式对称，证法统一，而且相互之间渗透着内在联系.命题1和命题2只不过是命题3在不同向量空间中的具体表述，也只不过是命题4在不同测度空间中的具体表述，命题3和命题4更具有一般性和抽象性.它体现了代数与分析，概率与分析，高等数学与初等数学之间相互渗透，相互促进的内在联系.正如希尔伯特所说：“数学是一有机整体，它的生命力依赖于各部分的联系.”

数学家的故事是数学文化的一种重要展示形式，人教A版课本选修4-5特别安排了“阅读与思考”《法国科学家柯西》.柯西最重要的贡献在微积分、复变函数和微分方程等方面.在微积分方面，他率先定义了级数的收敛性，数列和函数的极限，并给出了级数收敛准则和一些判别法；提出关于极限理论的ε-δ（ε-N）方法，给出了函数连续性的概念、定积分的第一个确切定义，以及广义积分的定义等等.在复变函数方面，他系统地总结了复数理论，探讨了柯西—黎曼条件，建立了柯西积分定理和公式；定义了留数，建立了留数定理.在微分方程方面，他研究了微分方程解的存在唯一性定理，开创了微分方程研究的新领域.柯西一生共出版7部著作和800多篇论文，数学中许多公式和定理都以他的名字命名.

综上所述，上述两道试题是我们进行关于柯西不等式研究性学习的极好素材，对于我们领悟数学思想方法，认识数学文化价值有着重要意义.试题的文化价值是试题的灵魂，我们在研究高考试题时，千万不能片面追求一题多解，而忽视了试题的文化价值，否则，就会舍本逐末，得不偿失.

参考文献：

[1] 黄清波.一道高考题的几种思考视角[J].中学数学（高中版），2012（11）：84.

[2] 查正开.题不在大 有魂则灵——2013年湖北高考理科第13题的解法赏析[J]. 中学数学（高中版），2013（10）：52-54.