数学课例题功能的解析及其教学实施

刘静

例题教学是数学教学的重要组成部分。对例题的功能解析和例题的教学进行了深刻的阐述，认为可以通过“研读教学内容，确定目标指向；明确例题功能，助力目标落实；实施例题教学，凸显例题功能”等步骤具体从应用示范、深化理解、解题分析示范、数学表达示范、数学精神体验等方面解析例题功能，经历“理解题意、拟定计划、实施计划、回顾反思”等过程实施例题教学。

数学例题例题功能例题教学一、数学课例题功能解析中的问题

数学教学离不开例题教学。例题作为数学教学的重要内容，它蕴含的功能不可忽视。然而目前关于例题教学还存在着许多问题：

1.快餐。课堂容量过大，不讲究细嚼慢咽，大口大口吞食“例题”。教师急于知识的灌输，仅以学生“知道”为目的，对例题的答案过分追求，忽视过程，寄希望于重复的机械操练。因此学生在“知道”后又被迫于大量做题，凭借自己有限的解题经验进行简单重复的解题实践，超量训练让学生也学会了“快餐式”学习，恶性循环，致使学生学习负担很重且学习效率低。

2.割裂。忽视数学内容、方法的联系性。教师在进行例题教学设计时，只顾眼前，有意或无意地割裂了数学知识，致使学生头脑中的数学知识或方法失去生命力，体系紊乱。

3.包办。忽视学生的主体地位。在例题教学时，教师以自己的经验替代学生的经验，将自己对例题的认识强加与学生，在过程中，以例题分析时替代学生理解、概括，使例题教学无效。

如何发挥例题教学的最大效能，已成为当今促进数学课堂教学改革的一个至关重要的问题。笔者对数学例题教学试图寻求一种操作可行、有效的例题教育功能解析和教学方法。

二、例题的功能解析概念界定

例题的功能具有“学术”和“教育”双重性。就“学术形态”的数学本身而言，它具有本体的数学功能，就“教育形态”的数学教学而言，它具有介质的教育功能，是帮助学生认识数学，帮助学生体验数学的过程和帮助学生提升学习数学的情感、态度和价值观的介质。学生通过例题学习，学会举一反三，联系或深化知识，推广方法，感悟数学思想，积累数学化的经验。例题功能的解析就是具体分析例题及其教学在相应教学内容中的知识、方法、经验，情感上对教学目标达成所起到的作用。通过相对准确的“例题的功能解析”，利于指导例题教学，提高教学效益。

三、例题的功能解析及教学的实践

例题教学从例题的功能解析开始。下面以浙教版教材七年级上册《6.8余角和补角》节例1为例具体说明如何解析例题的功能、如何开展例题教学。

（一）研读教学内容，确定目标指向

首先，从教材看。本章内容是初中几何的开始，也是从图形简单认识到深入研究的一次飞跃，是后续知识的基础；本章从现实世界抽象出几何图形开始，再具体地呈现线段、直线、射线和角的概念、表示法和画法以及线段和差、角的和差、直线关系等，本节内容涉及余角和补角的概念和性质。就数学体系而言，（1）概念体系：角的概念是通过射线来建立的，余角、补角则在角的和差概念基础上生成，而角的和差涉及数与形的统一，后续教材中大量存在数形统一转化的方法来进行计算证明的内容。（2）公理化体系：本章是演绎表述的开始。

其次，分析本节课期望达到的广度和深度。通过上述对这节课的内容进行分析，可以认识到平面几何知识板块之间的相互联系，进一步可以明确：余角、补角的学习，需要让学生体会到数与形的统一，通过数形转化可以进行说理计算，得到让人信服的结果；同时要让学生体验到“怎样说明，才让人信服”。也就是后续的演绎证明。

再次，确定教学目标。根据课程标准中关于注重课程目标整体实现的要求，每节课的教学目标都可以具体化，有些隐性有些显性，有些则是长期教学过程中的一个点，但这些目标往往互相关联。因此在确定目标时重点应明确，忌本末倒置。可以综合课程标准，内容分析，以及学生情况最终确定教学目标。本章是初中阶段的几何起始内容，学生对几何概念学习和性质探索比较陌生，尤其是说理的分析和表述。因此确定重点目标是：（1）经历补角和余角概念的发生过程，认识余角补角；（2）经历余角补角性质的探索过程，理解并会应用性质；（3）体验说理的过程，积累说理表达的经验。感悟数形结合思想。

（二）明确例题功能，助力目标落实

七下教材第164页《6.8余角和补角》例1：

如图1，已知∠AOC=∠BOD=Rt∠指出图中还有哪些角相等，并说明理由。

根据所在例题章节内容，围绕教学目标，结合具体的例题内容从例题的应用示范、深化理解、解题分析示范、数学表达示范、数学精神体验等方面功能进行解析。

1.知识应用示范。教材编排时将这一例题在两条性质“同角或等角的余角相等”“同角或等角的补角相等”之后呈现。因此该例是对性质“同角或等角的余角相等”的及时应用。这里找到的角相等正是以“同角的余角相等”为依据的，通过在具体的问题中运用这一性质，使学生对知识的理解更具体、更深刻，达到落实本节课关于性质的理解和应用目标的目的。

2.知识深化理解。该例还涉及本节课互余的概念，在新的情境中辨认互余，巩固对互余的认识。条件中没有直接给出互余的条件，而是以等价条件“∠AOC=∠BOD=Rt∠”间接告知，学生在审题时需要对条件进行加工，这个过程是对本节课目标“互余的认识”的深化。

3.解题分析示范。例题要求寻找相等的角，并且说明理由，对于初学者来说并不简单，这是几何计算和证明初级阶段，根据之前的分析可以知道，后面涉及了大量的问题需要学生有“如何分析一个问题”的经验。综合法和分析法是常用的分析方法，这里通过例题就可以给学生以“分析问题，形成思路”的过程性示范，以达到提升分析和解决问题能力、发展合情推理和演绎推理能力、积累数学活动经验等目的。

4.数学表达示范。在学习分析，形成思路后，为了方便交流，需要有让人看得明白并值得信赖的说理表达。这一例正是说理表达学习的开始，学生通过经历口头说理，书面表达，示范参考等过程，不断完善说理表达，为演绎证明打下基础。因此该例可助力于学会数学推理、清晰表达等目标的落实。

5.数学精神体验。说理需要步步有据，通过找到相等的角后，再说说理由，体现了数学的严谨性。学生经历了例题从分析到解决的过程，就能体会到数学的这一特点，长期的体验，最终能促使他们形成科学的态度。通过对例题学习的回顾反思，让学生体验反思的好处，示范“可以如何反思”，以落实关于“初步形成评价与反思意识”的课程目标。

例题的功能解析形成需要教师先宏观把握整体教学内容，确定教学的具体目标，再围绕教学目标从例题的应用示范、深化理解、解题分析示范、数学表达示范、数学精神体验等方面功能进行解析。

（三）实施例题教学，凸显例题功能

对例题功能的解析目的在于更好的实施例题教学。笔者在实践中进行了一些尝试，认为例题教学可以围绕波利亚《怎样解题》的四个步骤展开。下面以上述例题作具体说明。在两条性质之后呈现例题的题目：

如图1，已知∠AOC=∠BOD=Rt∠指出图中还有那些角相等，并说明理由。

1.理解题目：①学生审题，在图形中标注直角符号。②回溯（回到已有的知识方法或经验）：问题是什么，对找相等的角，你有什么经验？条件是什么？由条件可以获得哪些结论？

数学学习是一个再创造的过程，学生需要从他头脑中调取已有的知识方法，进行加工创造。因此在例题教学时，需要先唤醒那部分已有的知识方法或经验，即例题回溯。在这个例题回溯中，教师是跳出例题本身，引导学生回忆以往找相等角的经验（角平分线），以及从条件“∠AOC=∠BOD=Rt∠”获得的结论回忆直角、互余等知识，使该例在“深化互余概念认识”上的功能得以发挥。

2.拟定计划：①说说回溯中的问题，同时教师板书学生说的“找角相等的经验”“由条件得到的结论”。②你觉得你的经验能帮助你在这里找到相等的角吗？在由条件得到的结论中你对找相等的角有用吗？

这里将回溯环节获得的已有知识方法或经验进行删选加工，以缩小条件和结论的距离。在这个过程中学生需要激活刚刚获得的性质“同角的余角相等”，这正是条件和结论的连接点。通过上述引导自然地用“同角的余角相等”来连接例题的条件和结论，本例题在“知识应用示范”和“解题分析示范”上的功能就得以发挥了。

3.执行计划：①你找到相等的角了吗？你能说明理由吗？说给同学听一听。②请学生口述，教师进行规范的解题板书。

该例作为几何说理的开始，通过学生自己说说，和同学说说，教师矫正并进行仔细规范的板书示范，不断完善学生的说理表达，发展数学表达能力，同时也体验到了数学的严谨性。这一过程充分发挥了该例题在“数学表达示范”上的功能。

4.回顾反思。回顾整个例题解决的过程，这里用到了哪些知识？是怎么分析的？你对你的结论确信吗？

解出例题不是教学的目的，例题作为现成的数学，教材中更给出了答案。因此在解完一个题之后及时的回顾反思是非常必要的。上述对例题“用到了哪些知识”是对所学知识的一次回顾；“是怎么分析的？”是通过对解题过程的回顾再一次学习“如何解题”，积累分析问题的经验；“你对你的结论确信吗？”又是对演绎的一次认识，对“怎么说理？”的更清晰的认识。提升反思意识是本学段教学的目标之一，该例题的教学在“数学精神体验”之“学习反思”上的功能就由上述环节体现，同时该回顾反思的过程还是例题“应用示范、深化理解、解题分析示范、数学表达示范、数学精神体验”等方面功能的升华。值得说明的是反思的形式可以多样化，如反思表、交流形式、教师点拨等，同时反思意识的培养需要一个长期持续的指导，因此在例题教学的反思环节应该根据例题的功能结合不同的阶段循序渐进地进行。

四、结束语

综上所述，例题是教学内容的重要组成部分。作为数学教育的一线教师只有理解例题配置的目的，解析例题的功能才能有方向地进行例题教学。在例题教学中可以从“研读教学内容，确定目标指向”、“明确例题功能，助力目标落实”、“实施例题教学，凸显例题功能”三个步骤完成例题在“应用示范、深化理解、解题分析示范、数学表达示范、数学精神体验”等方面的功能解析，经历“理解题意、拟定计划、实施计划、回顾反思”等过程实施例题教学。例题的功能解析不仅可以帮助理解教材设置该例的目的，指导例题教学，也是例题改编或替换的依据。

参考文献：

[1]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学.上海教育出版社.

[2]教育部.数学课程标准.北京师范大学出版社，2011.

[3]波利亚.怎样解题.上海科技教育出版社.