小学数学“问题解决”策略的教学思考与实践

邵陈标

（宁波市江北区第二实验小学，浙江 宁波 315021）

一、“问题解决”与“问题解决策略”

“问题解决”是20世纪80年代以来国际数学教育发展的核心，是数学教育改革的重要趋势。英国Cockcroft报告指出：那种把数学用之各种情况的能力，我们叫作问题解决能力。郑毓信教授认为，“问题解决”即是指如何综合地、创造性地运用各种已有的数学知识和方法去解决那种非单纯练习题式的问题（包括实际问题和源于数学内部的问题）。主张以“问题解决”作为学校数学教育的中心，提倡让学生通过“问题解决”来学习数学。[1]

《义务教育数学课程标准（2011年版）》对“问题解决”目标提出了“获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识”的要求。[2]这一目标的实质是形成问题解决的策略意识。“问题解决策略”基本含义是指解决数学问题的全过程中，借以思考和假设，选择和采取的解决方法与步骤，是对解决数学问题途径的概括性认识。

策略的选择在问题解决过程中起着极为重要的作用，策略应用的好坏直接影响着问题的解决。小学生的数学问题解决策略，是在长期的数学学习中，通过不断地进行解题练习而逐渐发展起来的。数学问题解决策略的作用在于减少数学问题解决中尝试与错误的任意性、盲目性，节约解决问题所需要的时间，提高解决问题的成功概率。

数学教育家波利亚(G.Polya)在《怎样解题》中将数学问题解决过程分为四个阶段，即弄清问题、拟订计划、实现计划和回顾与反思。在问题解决的过程中，学生应逐步发展各种数学思考的基本方法，如归纳、类比、猜想与论证等。问题解决的过程也是学生思维发展的过程，不仅能发展学生的策略性知识，还有助于发展学生思维的新颖性和独创性。因此，教师应根据学生的思维特点，对学生进行问题解决策略的传授和训练，使学生掌握常见的问题解决的策略，引导学生从数学的角度看问题,以数学的眼光分析问题,经历对信息的收集、整理、处理的过程,对解题思路的猜想、尝试、推理的过程,对解题方法的比较、反思、验证的过程,帮助学生提高问题解决能力，发展数学思维能力。

二、形成基本的问题解决策略

1.画图的策略

画图是一项具体化的策略，包括画线段图、实物图、示意图、韦恩图等。画图作为解决问题的有效策略，借助几何直观地把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果，从而促进学生数学问题的解决。画图又是一个“去情景化”的过程，有利于提炼关系并直观表达，符合小学生思维特点。教师应重视引导学生经常运用“示意图、线段图”等直观手段，逐步学习“韦恩图、长方形图”等，帮助学生理解问题、分析数量关系，逐步形成图示表征的策略。

首先，说说示意图的教学。示意图的教学从一年级开始就应渗透，小学阶段几乎都可以用示意图表示数量关系。如引导学生画图表示数，画图说明计算结果等，在解决实际问题时，可以让学生用自己喜欢的方式把“应用题”画出来。例如：三年级“用连除解决问题”时，为更清晰地呈现实际情境，凸显数量关系，我们改编了教材集体舞的情境图，采用上海世博会的情境，在情境图基础上出示完整问题：

一共有32个海宝机器人参加巡游，排成2队，每队有4行。平均每行有几个海宝机器人？

学生独立解答后用图交流反馈：

生1：用32÷2=16(个)，先求出每队有16个，再根据每队有4行，用16÷4=4(个)求出每行有4个。

生2：32÷4÷2=4（个），先算出一大行有8个，再根据有2队，用8÷2=4(个)算出每行有4个。

生3：32÷（2×4）=4（个），先算出一共有几行，再求出每行有几个。

结合学生反馈，课件演示：

方法一：32÷2÷4=4（个）（参见图1）

方法二：32÷4÷2=4（个）（参见图2）

方法三：32÷（2×4）=4（个）（参见图3）

上述教学案例中，“数形结合”无疑是帮助学生理解题意、理清思路的好方法。教学时先采用长方形直观图与算式相结合，学生在图中圈一圈，沟通数与图的关系，清晰表达解题思路。再通过课件演示，逐步从直观图抽象到矩形图，至此，在学生头脑中初步建立“连除就是连续两次平均分”的清晰数学模型。学生经历从独立解题到厘清语言表述思路，再到提炼数量关系，最后归纳解题策略的三个过程，从而掌握连除解决问题的基本思路。可见，直观示意图帮助学生搭建起解决问题的脚手架，降低了学生建构新知的难度。

其次，理一理线段图的教学。线段图是小学数学教学中经常采用的解决问题的有效手段。把握线段图的尺度是个焦点问题，主要是何时教？怎样教？这里会有种种误区：有的教师认为线段图太重要了，应该从一年级开始就教，而且要补充课时；有的认为从中年级开始，教材有就教，没有就不教；有的则认为低年级数学问题过于简单，无须线段图，可从高年级开始教。笔者认为，问题不在于何时教，而是如何根据学生的心理特点，在遵循学生认知规律的基础上逐步渗透。实践表明，从三年级“求一个数的几倍是多少”开始教线段图，优势比较明显。人教版教材从三年级上册“倍的认识”单元首次出现正式的线段图（教材图略）。笔者在教学本单元时，采用逐步渗透的方法教学：在第一课时“倍的认识”教学时，在桌上摆出与教材“做一做”类似的实物图，到纸上画出简单的示意图；第二课时在解决例2“求一个数是另一个数的几倍”时，引导学生先画出示意图，不少学生觉得画出一个个人太麻烦，于是有用画圆代替的，有用小棒表示的，也有用线段表示的，自然地引出线段图表示法；到例3教学时，无法再用示意图来表示数量关系了，于是线段图正式登场，真正成为学生的内在需要。因此，首先要激发学生画图的需要；其次要从低年级开始逐步渗透，从简单题型开始，从画简单示意图开始，指导学生画线段图表征数量关系。这样从示意图，再到线段图，最后要让线段图成为学生自觉构造的直观手段，逐步形成画线段图的意识与习惯。

2.列表的策略

新修订的人教版教材十分重视以列表的策略解决问题。（列表策略在新教材中的安排大致情况参见表1）

列表作为小学数学问题解决的重要策略，不再拘泥于刻板的解题形式，有利于释放学生的思维活力，提高学生解决问题的兴趣。列表策略的作用主要体现在两个方面：第一，学生通过列表枚举出符合条件的一些结果，然后通过验证从中选择最佳的答案；第二，将问题中的信息用表格的形式加以整理，既起到整理信息的作用，也有助于通过推理探索出解决问题的思路。

有些数学问题的解答，需要根据条件和结论之间的逻辑关系，通过推理找到答案。逻辑推理要求以正确的判断为前提，从正确的前提出发，才能推出正确的结论。例如：在二下“数学广角”中引入了简单逻辑推理问题，通过列表推理解答，既能体现推理过程，又能呈现推理结果，丰富学生问题解决的方法。

3.枚举的策略

图1

图2

图3

枚举即一一列举，又称穷举法。用枚举法解决问题，最简单的是将问题的所有答案依次列举出来，更简单的是将问题可能的答案一一列举，并根据约束条件判断、筛选答案。枚举是最原始、有时也是最管用的一种方法，就是列举所有的可能性，然后在这些可能答案中，找出一个或几个符合题意的答案。小学阶段问题解决中的“枚举法”的特点是由浅入深，由易到难，逐步优化，通常辅以列表或图示来列举。以下是对教材运用枚举策略的简单梳理：一下第五单元例7，“13元正好买哪两种杂志？”采用的就是尝试、有序列举的方法，初步渗透枚举法；二上数学广角搭配（一），则用列表法将组成两位数的各种情况列举出来；三上第三单元出现列表一一列举所有答案，正式训练运用列表法解决问题；三下第八单元数学广角中，进一步用图示有序列举解决搭配问题，“有多少种不同的穿法？”这一案例已成为公开课的经典案例；到了四上数学广角单元，用列表法解决“田忌赛马”问题，初步形成优化意识；四下“鸡兔同笼”问题解决中，进一步尝试列表找到问题答案，形成优化意识；到五年级学习最大公因数和最小公倍数时，再次运用枚举法解决问题，并且在“打电话”“找次品”中进一步通过图示列表清晰地呈现解决问题的思路，形成优化策略。可见，小学阶段问题解决中枚举法是常用的策略，需要加以重视。

4.假设的策略

假设法是解决数学问题的有效方法。在小学通常假设某一未知数量取一个可能的值，从而化抽象为具体，以方便列式；或者假设某一种情况（结论成立），作为推理的起点。这里主要介绍比较适合小学生的两种方法。

（1）赋值计算

即根据条件，选择某个未知数量，假设它为某个已知的具体数，通过列式计算，得到正确答案。例如：人教版六上（P42）工程问题。这条道路有多长未知，可以假设18米、30米……甚至1米，逐步抽象成单位“1”，用不同方法得到的结果相同：36÷（36÷12＋36÷18）；18÷（18÷12＋18÷18）；1÷（＋）。为什么“工作总量”不相同，而计算所得的“合作时间”却相等呢？引导学生比较这几个算式，假设的数据虽然不同，之所以结果相同，是商不变的规律在起作用，这种变化实际上就是一种正比例关系。一般地，设全长为a，由题意列出算式a÷（a÷12＋a÷18），假设的参数在运算过程中被消去，同样说明它与答案无关。上例假设赋值的实质是将代数运算转化为算术运算。

通过这样的验证过程，对一个具体的数学问题做了抽象化处理，建立起数学模型，在这样充满探索的过程中，让学生充分经历知识生成过程，真正理解一个数学结论是怎样获得的。

表1

（2）假设——比较——调整

即根据条件，假设一个数，通过计算、比较，发现不符合其他某个条件，然后加以调整，直到得出答案。

例如：人教版四下“鸡兔同笼”，由原六年级内容调整到四年级后，删去了方程法。教材由《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题引入，先后呈现了猜测列表法、假设法、抬腿法等，注重体现不同思路和方法，使学生体会解题策略的多样性，其核心思想是假设。教师应如何渗透假设思想，沟通各种方法之间的内在联系，体会解决问题策略的多样化和内在联系？

笔者对例题进行了调整，教学过程呈现如下：

出示例题：五年级有34个同学去游乐园划船，共租了8条船，每条船都坐满了。大船每条坐5人，小船每条坐3人。大小船各租了几条？请选择画图、列表、推算等方法解答。

通过小组交流，汇报反馈不同方法：

方法1.列表法

第一步：收集学生中无序列举的情况，学生尝试调整。

第二步：通过一一列举，把列举的情况计算出来。发现用列表法不仅可以不重复、不遗漏，而且很方便记录计算的数据。

第三步：引导观察表格中（参见表2）人数的变化规律，发现“每次将1条小船调整为1条大船，都增加2人。反之，1条大船换成了1条小船，人数就减少2人”。这样，可以省略部分枚举过程，直接得到最终结果。当然，也有学生想到从中间尝试。

方法2.画图法（参见图4）

方法3.假设法

第一步，假设8条都是小船，只能坐24（8×3＝24）人；第二步，与实际人数比较，还剩10（34-24＝10）人不能上船；第三步，把部分小船调整为大船，每调整1条，增加2（5-3=2）人，共要调整5次，即把5（10÷2＝5）条小船调整为大船。当然，受此启发，也可以让学生尝试假设8条全是大船，结合图说明推算过程。

在展示上面三种方法的基础上，沟通不同方法之间的联系。列表法其实也是假设，在序排列中最大和最小的情况其实就是假设的两个极端。图示法实质是与列表法相似的探索过程：假设——比较——调整（置换）。

这样，从猜测列表到直观画图再到假设解题，在不断调整尝试中理解假设法的真正含义，经历观察、尝试、比较、验证和推理的过程，突出学生的思维过程，获得数学活动经验，体会假设思想。

5.转化的策略

“转化”常常作为“化归”的代名词，转化在数学解题中无处不在，遇到未知或难以解决的新问题时，可通过转化，使新问题化未知为已知、化难为易、化繁为简，从而顺利解决问题。善于使用化归是数学思维的一个重要特点，也是解决数学问题的基本思路和途径之一。

（1）条件的转化

例如：商店8箱水果重量相同，如果每箱卖出25千克，剩下的水果重量相当于原来3箱水果的重量，问原来每箱水果重多少千克？

本题的难度处于小学中年级学生的最近发展区内，教学时可让学生先复述题意，追问“剩下的水果的重量相当于原来3箱水果的重量是什么意思？”，再让学生画图表示题意。这样学生通过小组讨论能得到最后一个条件的转化过程：剩下水果的重量相当于原来3箱水果的重量→卖出水果的重量相当于原来5箱水果的重量。

（2）问题的转化

例如：有18支足球队要参加比赛，比赛采用单场淘汰制（即每场比赛淘汰一支队伍）进行，一共要进行多少场比赛才能产生冠军？如果从正向去分析，采用枚举的方法学生会觉得很麻烦。但是，从问题出发，因为每比赛一场淘汰一支队伍，最后留下的一支就是冠军，所以把问题转化为“一共要淘汰多少支队伍”，问题就迎刃而解了，即一共要淘汰17（18-1=17）支队伍。

表2

图4

（3）思路的转化

例如：小明把一张正方形纸对折，剪去一半，再对折，剪去一半。对折剪去7次，一共剪去这张纸的几分之几？把原题的异分母分数加法计算题改编为应用题，引导学生主动画图。在画图过程中发现规律，转化思路，找到解决问题的不同办法。

把问题转化为怎样求解分式：

1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128的值。

生1：画图法。画正方形图，因为1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128表示前面n次分割图形的面积的和，这个面积就等于整个面积减去最后一次剩下图形的面积，而第n次分割的图形面积又是1/27,所以原式=1-1/128=127/128。

生2：补数法。（过程略）

生3：找规律法。

因为1/2+1/4=3/4；

1/2+1/4+1/8=7/8；

1/2+1/4+1/8+1/16=15/16；……

所以原式=127/128。

生4：拆分法。

原式=（1-1/2）+（1/2-1/4）+（1/4-1/8）+ …… +（1/64-1/128）

=1-1/2+1/2-1/4+1/4-1/8+……-1/64+1/64-1/128

=1-1/128=127/128

6.估算的策略

《数学课程标准（2011年版）》对估算教学目标做了调整，明确提出：“在解决问题的过程中，能选择合适的方法进行估算。”可见，新教材更加重视估算教学的必要性，更注重把估算作为一种解决问题的策略。新教材估算策略的选择以能不能解决问题为原则，以体现估算“无需准确”“追求简洁”“达成意愿”的本质。

例如：在人教版五上（P15）例8用估算解决问题，教学时引导学生用不同的方式去分析问题。

首先，创设超市购物情境，通过合适问题背景，体会估算在解决问题中的应用。教给学生阅读理解的方法，当信息数据较多时，借助表格整理使信息数据更加清晰直观，以更好地分析数量关系。

其次，培养学生的估算意识，体会估算的不同策略，让学生根据数据和问题灵活选择算法，体会像“够不够”这类问题用估算解决。估算时，要根据实际数据选择适当的估算策略。

在解决第一问时，引导学生反馈交流：

生1：一袋米不到31元，两袋不到62元，肉不到27元，再买一盒10元的鸡蛋，总共不超过99元。所以100元够了。

生2：31×2+27+10=99，用符号来表示就是“实际 〈99”。

解决第二问，学生展示：

生1：一袋米超过30元，两袋米超过60元，一千克肉超过25元，那么0.8千克就超过20元，再买一盒20元的鸡蛋，总共就超过100元，所以100元肯定不够。

生2：30×2+20+20=100，我都估小了，刚好100元，那实际更不够了。用符号表示就是“实际〉100”。

以上教学案例展示了如下具有逻辑意义的推论：“如果估大了也够了，那么实际一定够了。反过来，如果估小了也不够，那么实际一定不够。”这样的推论完全符合逻辑，估算得到的结果就是一定的，不需要再用精确计算来验证。事实上学生在估算之前还要有个大体的判断，是够还是不够，并且在具体情境中通过渗透不等式的性质来解决问题，这样就很好地体现了新教材估算教学的应用价值。由此看来，解决问题时，不能仅仅停留在会估算上，更要积极引导学生去探索估算中的预测、调整、反思策略。当学生想出不同方法时，教师要给予针对性的评价，引导学生比较估算策略的合理性，从而优化估算策略。

综上所述，问题解决策略的教学是整个数学课程中不可缺少的一部分，它应伴随数学学习的全过程。围绕“问题解决”的目标，采取有效的教学策略，让学生真正学会用数学的眼光、数学的思维、数学的方法去认识世界，主动解决现实问题，有效培养学生运用数学解决实际问题的能力，从而使教学活动更富生机和活力。▲

[1]郑毓信，梁贯成.认知科学建构主义与数学教育[M].上海：上海教育出版社，2002.

[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.