数学联结学习：提供数学学习“原动力”

朱 琦

（常州市白云小学,江苏 常州 213000）

培养学生的数学观念，是数学课程理念之一。影响学生数学观念的要素是多方面的。“学生的知识、思维和观念的纵向联结如同科学结构的演进，相当于是一个从知识的笼统综合到思维分化再到观念整合的过程。”[1]随着数学课改的深入，知识、思维和观念的联结越来越受到数学教师的重视。“基于数学学科特点的联结学习”，即教师帮助学生“发现知识、思维和观念间的联结”；以知识网络状的结构存在于学生头脑中；从而获得知识、更新知识、精确知识，形成技能，逐步实现数学观念的培养和对数学思想方法的感悟。但由于指导方法的缺失、教学策略的单一等原因，在数学概念教学中，割裂知识、思维和观念之间联系的现象还是屡见不鲜，学生的数学学习呈现被动状态较为常见。如何恢复学生主动学习的“内在动力”，一个重要的策略就是让学生尝试“数学联结学习”。

一、数学联结学习的基本要素

数学的联结学习是将数学看作是知识内部相互联结的统一学科，如：数与形是紧密相连的；通过转换数学知识的表征形式，发现相互联系的数学主题；数学是一种与生活情境密切相关的知识体，只有将数学与学习者所体验的具体情境联结起来，数学学习才更有效。数学联结包括：陈述性与程序式知识的联结；日常中的生活数学；与其他学科融合中的数学应用，要用数学的思维模式解决其他学科中出现的问题。

数学联结学习的四个基本要素：问题情境、概念、整合、应用。

1.问题情境。良好的问题情境不仅要能促成学生的深度理解，“为吸收或同化其他学习材料提供理想的框架”[2]，有利于学生逐渐从记住事实性知识走向把握数学的本质和核心意义；而且应当具有“变式”性，通过改变问题情境的表征形式，基本知识点的中心性保持不变，使学生在对各种问题进行思考的同时，加强对知识点本质的认识。

2.概念。概念是反映客观事物本质属性的思维形式。数学概念是反映现实世界空间形式和数量关系本质属性的思维形式。概念不同于感知，感知是具体的、直接的，概念却是抽象的、概括的。抽象性和概括性是概念不同于感知的重要特征。概念所反映的对象本质属性的总和（即概念所反映的对象的质的方面）是概念的内涵；概念所反映的对象的全体（即概念所指的对象的范围或集合）是概念的外延。概念形式抽象，内容丰富，概念与概念间又有着多种错综复杂的关系，通过数学联结学习，可以达到建构概念的效果。

3.整合。在数学联结学习中，陈述性知识与程序式知识的联结，知识与思维联结，思维与观念联结，数学与其他学科联结，各种零散的知识可以进行整合，生成新的意义。

4.应用。数学知识只有在应用的过程中才能体现它的价值。学生能有效运用数学知识综合解决问题的过程，其本质是将知识以结构化的方式贮存和提取，实现“知识”与“技能”的联结。

二、数学联结学习的基本类型

（一）问题情境下的“三段式”横向数学联结学习

问题情境下的横向数学联结学习从实践操作层面上分为三个阶段。

第一阶段：由构建认知冲突引入新课的问题情境，激活知识点之间的相互联结。教师在充分了解学生已有知识水平的基础上，提出富有挑战性的问题情境，使得学生在未知知识与已知知识、生活中的数学知识与数学学科内部知识之间产生认知冲突，从而初步形成知识与知识的联结，调动学生的好奇心和求知欲。

案例1就是一个利用问题情境的提出进行知识与知识之间联结的案例，聚焦于周长与面积教学的引入，体现知识与知识的联结。

[案例1]张大爷要用36米的栅栏围花圃，要请同学们帮助设计面积最大的花圃。同学们，你能用自己所学的知识帮助解决张大爷设计花圃吗？为此，同学们的任务是：（1）画出该情境的草图；（2）清晰地描述出你怎样利用所学知识来解决这个问题；（3）利用你所想到的方法解决这个问题。

在引入问题情境并提出任务的过程中，知识与知识间的联结有：数学学科内部知识的联结——周长和面积知识的联结；数学概念与几何问题的联结；日常生活中的知识与数学知识的联结——周长、面积知识在图形设计中的应用。在这些知识联结过程中，学生的好奇心、求知欲被激发，自主探究的动力系统得到加强，利于第二层次思维间的联结。

第二阶段：任务驱动的问题情境，促使思维与思维间的灵活联结，调动学生独立思考的积极性。

教师在学生“最近发展区”内提出问题，让学生积极思维，进行思维与思维间的联结。在这个过程中，教学强调学生对数学抽象知识或结合具体情境进行独立探索。

案例2是一个利用问题情境的提出进行思维与思维之间联结的案例。

[案例2]教师出示一幅图（参见图1），有4个相同的圆，半径都是2厘米，你能提出什么问题？又该怎样解决？

图1

这个案例在学生提出问题后，首先提出自己的猜想，根据所有的已知信息对猜想进行检验。在提出简单的问题被证实其正确性后，学生会对问题进行改进、完善和加工，从而提出更复杂的猜想。但复杂的猜想是否正确，就需要学生就所有的已知信息对新的猜想再次进行检验……如此周而复始，直到问题得到全部解决。在联结学习中，这个完成自己提出的问题的过程首先是学生独立思考的过程，更强调了学生的独立探索。在学生进行猜想、证明猜想、推翻猜想、明确结果的过程中，联结权重不断发生着改变，学生的思维一直是处于积极联结的状态中。

第三阶段：以更新观念构建反思的问题情境，提升观念与观念间的更新联结。这一阶段主要是属于生生、师生之间交流的阶段，对问题的交流实质上包括了知识与知识的交流，思维与思维的交流。对于学生个体来讲，或许是经历发现问题、提出问题并探究问题后的观念建构，也可能是在其他同学或教师的提示下获得新知识或转变新视角。

需要说明的是横向联结的三个阶段是一个良性循环系统，不是相互孤立的。各种联结都可能蕴涵在每一个阶段中；每一个阶段里，也不会只单纯地发生一种联结。

（二）创新意识下的纵向数学联结学习

“思维到观念的联结本质上是量与质的联结”，教师要引导学生对已习得的知识进行总结和评价，注重创新意识的有序性和阶梯性的培养，只有在知识、思维和观念相互联结的过程中，才会使学生从思维的创新意识顺利过渡到对观念的创新意识。

1.以数学本质为基点，构造本源性问题，加强知识与思维联结的紧密度，为学生提供思维创新的空间

本源性问题不仅应当是“追根溯源”的，为吸收或同化其他学习材料提供理想的框架，有利于学生进行知识的上位学习，而且应当具有“变式”性，可以是标准属性变式，也可以是非标准属性变式。本源性问题情境主要具有这样一些功能：（1）建构知识的功能：即利用本源性问题能加深学生对相应数学本质的“问题群”进行深入理解和解释。在知识和思维进行联结时，本源性问题的提出有助于思维的发散，因而为思维的创新提供了更大的空间。（2）应用功能：“在知识与思维联结的过程中，同时揭示了知识应用的条件。”[3]当学生体会到数学知识能成功地解决现实问题，应用于现实中，那么学生在探索数学与现实的联结过程中便会产生更加积极的情感。

2.以问题的程序性为基础，构造“大问题”情境，加强思维与观念联结的相通度，为学生提供观念创新的阶梯

构建“大问题”情境，就是将若干个相互联结的子问题（或步骤）或解决某个问题的完整思维过程整合成一个复杂的、难度较大的开发性问题。

下面是两位教师对于《圆的认识》同课异构的教学案例：

[案例1]

教师A：在学习圆内直径和半径的相关联系时，教师替各小组准备了圆片、直尺、圆规等研究材料，让学生自己动手折一折，画一画，量一量，比一比，如果在研究中有问题的，可拿出信封里的“友情提示”参考。小组研究后，全班交流。教师根据学生给出的结论进行有条理的板书，并结合发现让其他学生一起来体会。

[案例2]

教师B：在学习圆内直径和半径的相关联系时，教师替各小组准备了圆片、直尺、圆规等研究材料并立即提出了3个研究问题：1.在同一个圆内，半径和直径是什么关系？2.在同一个圆内，有多少条直径？有多少条半径？3.圆是轴对称图形吗？有多少条对称轴？

这两位教师都为学生学习圆的特点给予了帮助，前者提出“大问题”，采取大胆放手让学生自己独立探索，合作交流的教学方法，后者采用小步走的教学方法，教师设计好了学生研究的问题，让学生围着教师给的问题去研究。显然，不够开放的教学空间势必给学生的发展产生制约。笔者对这两节课感兴趣的就是关于这个问题的开放处理，学生是否能根据自己的动手操作发现第二位教师所提出的所有问题，第一位教师给出的答案是肯定的，同时还有学生能发现超出教师预设范围的其他问题或者还有其他体会。如在交流中就有学生提出“不论多大的圆，它都是有圆心的”这么富有个性化的理解和表达，这是学生灵感和智慧的外显，是对数学学习的一种超越和真正的创造。课堂的生命力来自于对事件或事实的感受、体验，来自于对问题的敏感、好奇，来自于情不自禁的、丰富活跃的猜想、假设、直觉，来自于不同观点的碰撞、争辩、启迪、认同，更来自于探究体验中时而山穷水尽，时而柳暗花明的惊喜和喜悦，这就是“大问题”引领下的开放课堂所呈现出的“不可预约的生成”。在思维与观念联结过程中，“大问题”的情境可以使学生在独立思考、交流过程中，一步步由思维意识的创新提高到观念意识的创新。

3.以问题的反思性为动力，引导学生对已获取的知识进行总结、反思及应用，加强观念与知识联结的吻合度，为学生提供知识创新的契机

当学生掌握了一定的知识内容后，会因为知识的增多导致观念的结构重组。此时教师应及时引导学生对已获取的知识进行总结、反思及应用，可以采取学生个人总结并进行自评，再在小组内进行讨论，进行组内成员评价。在此过程中，学生的知识结构会更清晰，更完善，为日后知识的创新提供保障。

数学联结学习遵循数学知识的内在联结方式，遵循学生数学学习的内在规律，提供给学生“学习动力”，促进学生的思维向更深处发展，从而提升数学素养。▲

[1][3]刘娟娟.联结学习对培养初中学生数学创新意识的影响[D]：[硕士学位论文].桂林：广西师范大学,2004.

[2]贾林祥.认知心理学的联结主义理论研究[D]：[硕士学位论文].南京：南京师范大学,2002.