平均变化率教学案例

陈碧云

摘 要：平均变化率” 是导数概念的第一节课，虽然是个辅助性概念，但它是研究瞬时变化率及导数概念的基础，是“进军”导数的必经之路。对变化率概念的建构将直接影响导数概念的学习。平均变化率蕴含了丰富的生活背景，体现了数学的实用价值，缩短了数学与生活的距离，是培养学生学习数学兴趣，认识数学价值不可多得的好材料。

关键词：平均变化率；教学案例

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）07-174-02

一、内容与内容解析

“平均变化率” 是导数概念的第一节课，虽然是个辅助性概念，但它是研究瞬时变化率及导数概念的基础，是“进军”导数的必经之路。对变化率概念的建构将直接影响导数概念的学习。平均变化率蕴含了丰富的生活背景，体现了数学的实用价值，缩短了数学与生活的距离，是培养学生学习数学兴趣，认识数学价值不可多得的好材料。学生亲自经历将生活原形概括抽象为数学模型的过程，隐含了特殊到一般、类比、数形结合等数学思想方法，在概念的构建过程中通过对生活现象和物理问题如何作出合理的数学阐释发展了学生数学语言表达能力，同时培养了学生的抽象意识、推理意识、数学审美意识等，促使学生用数学的眼光去观察、分析和表示各种事物的数量关系，能主动地用数学思想、方法来思考问题。

二、教学实录

教师：有些同学认为数学很抽象，离我们的生活很远。其实只要大家能常常戴上“数学”的眼镜观察生活中的一些现象，你一定会发现原来生活离我们这么近。下面我们来看几个例子。

近几年房价成为全社会关注的焦点，下图是某小区的房价曲线图（幻灯出示图片），大家观察图像后有什么发现？

学生：房价一直在增长而且增长得越来越快。

教师：同学们观察得很仔细，那么2008至2010年度房价的增长速度有没有比1997至2008的增长速度快呢？你怎么得出该结论的？

学生：有，2008至2010年度对应的曲线比1997至2008年对应的曲线陡峭。

教师：大家从曲线的陡峭程度直接观察出来了，那么能不能用准确的数值来刻画房价增长得越来越快？

学生：可以用平均每年的增长量

教师：大家一起来计算1997至2008平均每年的增长量和2008至2010年度平均每年的增长量。

学生计算回答，教师板书： 元 年； 元 年

教师：这个例子用平均增长量刻画了房价增长得越来越快。

教师：小时候大家可能都有过吹气球的回忆。在吹气球的过程中，会发现气球会越来越难吹。那么，请同学们思考一下气球为什么会越来越难吹？从数学角度如何描述这种现象呢？学生有些茫然。

教师：看来大家碰到了一点小困难，接下来先请两位同学上来做一个吹气球的实验，大家仔细观察，看能不能从数学角度解释气球为什么会越来越难吹？

数学小实验：学生甲拿着打气筒，学生乙拿着气球（气球内没有空气，打气筒的出气嘴与气球的气嘴事先连接好）.同学甲先向气球内打10下气，同学乙测得此时气球的半径为0.5dm 经全班同学计算得气球的容积约0.52升 ；同学甲接着再向气球内打10下气，同学乙测得此时气球的半径约为0.63dm，计算得气球的容积为1.04升。

教师：观察实验数据，大家有什么发现？

学生：当吹进去的气体相同时，气球膨胀越来越慢。

学生：当吹进去的气体相同时，气球膨胀越來越慢也就是气球半径的增加量越来越小。

教师：如果我们把气球看做一个球，当吹进去的气体相同时，气球膨胀越来越慢，也就是气球半径的增加量越来越小。我们能不能用数值来准确刻划该现象呢？有哪位同学能说一下？

学生：可以用半径的差除以气球容积的差。

学生进行计算回答，教师板书： ；

教师：我们用半径的差除以空气容积的差这样的比值刻画了气球膨胀的快慢，这个比值我们也称为气球的平均膨胀率。当空气容量从 增加到 时，气球的平均膨胀率是多少？

学生回答，教师板书：

教师播放多媒体课件（我国运动员郭晶晶、吴敏霞在2008年北京奥运会上跳水比赛视频）

多媒体展示：在高台跳水运动中， 运动员相对于水面的高度 （单位：m）与起跳后的时间 （单位：s）存在函数关系 ，如果用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态， 那么：（1）在 这段时间里，运动员的平均速度为多少？（2）在 这段时间里， 运动员的平均速度为多少？

学生进行计算回答，教师板书

教师：平均速度可以描述运动员在某段时间内运动变化的快慢。当运动员起跳后的时间从 增加到 时，运动员的平均速度是多少？

学生回答，教师板书

教师：我们再来回忆一下上面的三个情景，他们有哪些共同点？

学生讨论交流，教师提问学生后共同归纳出：都有两个变量，而且两个变量一个变量随另一变量变化而变化。都是用差值的比来刻画变化的快慢。

教师：一个变量随另一变量变化而变化即两变量存在对应关系，可以用哪个数学模型来刻画这种对应关系？

学生：函数。

教师：那么如何刻画函数f（x）在区间 上随x变化（增加或减少）的“快”与“慢”？ 学生：函数值的差与自变量的差的比值。

教师：我们把这些比值称为函数在某一区间上的平均变化率，能归纳出函数在给定区间的平均变化率的定义吗？（提问）

学生：一般地，函数y=f（x）中，式子 称为函数f（x）从x1到x2的平均变化率。

教师：习惯上用 表示 ，即 ，类似地 ，则平均变化率可表示为 。把 看作相对于 的一个“增量”，于是可用 代替 ，平均变化率公式还可改写成

教师：如图观察函数f（x）的图象，由平均变化率公式 你能联想哪个公式？平均变化率表示什么？

让学生独立思考，自己动手画图，教师进行个别指导交流，然后教师结合多媒体展示下面的图像进行总结归纳。

教师：通过探讨我们知道了，平均变化率表示函数图像上两点所在直线的斜率。

教师：同学们能举出一些用函数的平均变化率刻画因变量随自变量变化“快慢”的例子吗？同学们讨论交流回答。

教师：同学们，只要我们经常戴上数学的眼镜看生活，在生活中去“寻找”数学，去“用”数学。你一定会发现数学离我们是那么近，数学不仅有趣而且有用。

三、感悟与反思

《普通高中数学课程标准》中指出：“发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴含的一些数学模式进行思考和作出判断应提供基本内容的实际背景，反映数学的应用价值，开展数学建模的学习活动”。本课例我以学生为中心，以问题为载体，体会数学概念如何从背景到数学化的全过程，从而水到渠成的构建了平均变化率这个数学概念。同时培养学生处理信息能力和将实际问题抽象为数学问题的能力。在教学中注重知识的形成过程，提供观察、探索、交流的机会，引导学生独立思考，有效地调动学生思维，渗透特殊到一般、类比、数形结合等数学思想方法，使学生学到知识的同时又学会方法。在教学过程中有意识的引导学生学会利用数学知识解释生活现象，培养学生数学语言表达能力。