考虑多故障模式的新型装备更新保修费用预测

贾云献，李欣玥，王 鹏，邹 效

（1.军械工程学院装备指挥与管理系，河北石家庄050003；2.Pratt ＆Whitney可靠性部门，加利福尼亚圣地亚哥92130）

考虑多故障模式的新型装备更新保修费用预测

贾云献1，李欣玥1，王 鹏2，邹 效1

（1.军械工程学院装备指挥与管理系，河北石家庄050003；2.Pratt ＆Whitney可靠性部门，加利福尼亚圣地亚哥92130）

立足我军装备维修保障实际需求，设计了保修策略体系。然后，在此基础上，针对装备更新保修策略费用难预测问题，结合新型装备多故障模式实际，建立考虑多故障模式的一维更新保修策略费用模型。建立了串联系统、并联系统、混联系统和冷储备系统的多部件多故障模式费用预测模型。最后，以冷储备系统为例进行了案例分析，验证了模型的有效性和实用性，为我军开展军民融合式装备维修保障建设提供理论指导和技术支持。

多故障模式；多部件；更新保修；费用模型

0 引 言

大批新型装备陆续列装部队，显著提高了部队的作战能力，同时也向部队装备维修保障能力提出了更新更高要求。经过多年建设，我军装备维修保障能力虽然得到了提升，但要完全依靠建制力量完成新型装备的深度修理、重大任务专项保障等工作仍有较大难度。保修作为引入承制方技术力量的重要途径，可将承制单位这一地方保障力量最大程度“嵌入”到装备维修保障系统中，以满足部队在平时训练和实际作战中对装备战备完好性的需求。装备保修服务一般分为两类［1］：一类是初始保修服务，也称质保服务，初始保修费用一般涵盖在装备一次性采购费用中［2］；另一类是延伸保修服务，属于装备技术服务范畴，延伸保修费用一般需要军方额外支付［3］。

目前我军对保修的管理较为薄弱，实际运作过程中缺乏适合我军军情的具体决策技术支持，致使保修效果不理想、军地责任划分不清、双方利益冲突明显、军地力量无法有效融合，严重影响了保修服务在我军装备保障中的有效开展。可见，积极开展保修服务研究有助于深入推进军民融合式装备维修保障深度发展。保修费用预测是保修服务研究的重点之一，也是难点之一。合理的保修费用，可使军方和承制方快速达成价格共识，加快军民融合速度。由于保修费用受很多因素（装备可靠性、保修策略等）影响，所以准确预测保修费用并非易事。鉴于此，本文以系统工程理论为指导，结合我军装备保障实际，着眼于装备保修服务内在属性和规律，系统设计保修服务策略体系，并重点研究多故障模式产品更新保修策略费用预测问题。

1 装备保修策略体系

保修策略是保修费用重要影响因素，不同的保修策略，费用差异也较大。有多种因素可能影响到保修策略的选择，如保修对象数量、保修更新机制、保修维度等。保修服务在国外受到较多关注，系统性的研究成果也较多［4－7］，但国内对保修策略研究成果较少［8］。本文在文献［9］对保修分类体系的基础上，考虑我军装备保障的实际需求，设计装备保障策略体系如图1所示。

图1 保修策略体系

首先从保修对象数量上进行分类，分为单部件保修和多部件保修。单部件保修一般针对一个系统或单元［10－11］，而多部件保修是涉及多个系统或单元之间的联合保修［12］。然后保修策略可继续分为两类：更新保修策略和非更新保修策略。更新保修策略是指在保修期w内某时刻t进行维修后保修期重新开始直至w＋t［13－14］。更新保修适合于可靠性指标要求较高的单元，例如一些飞机上的辅助动力单元（auxiliary power unit，APU）、发动机、起落架、导航系统、飞控计算机等子系统。这些子系统能从飞机上拆换，并且拆换时不损伤飞机结构完整性，可以使用更新保修策略。非更新保修策略则是无论保修期W内进行多少次维修活动，到w时保修终止［15－16］。简单策略是指在保修期w内仅使用一种保修策略［17］，而组合保修策略是指在保修期w不同阶段里采用不同的保修策略［18］。针对不同的保修策略，可以进一步根据保修期限计量单位数量分为一维保修、二维保修到n维保修。一维保修期限由日历时间确定［19］，二维保修期限一般由日历时间和使用度（如行驶里程，转数等）共同确定［20－22］。针对一些使用程度要求严格的单元，可能需要利用多个使用程度指标约束保修期限，保修策略就可能从一维、二维扩展到n维。保修策略与维修策略的最大区别在于，保修策略的制定是制造商和使用者双方博弈的结果。其费用分摊机制会很大程度上影响到保修决策和保修效果。因此，还需根据费用分摊方法将不同维的更新或非更新简单保修策略分为：免费保修、按比例收费保修和折扣保修。其中，免费保修是指保修期内活动的所有费用由承制方负责。按比例收费或折扣保修都是将保修期间内维修活动产生的费用根据一定计算方法由军方和装备承制单位共同承担［23］。分摊费用对激励承制单位在保修期内引入预防性维修具有积极作用［24］。

在装备保修实践过程中，对故障单元进行维修时，可能会采取新品更换策略，这就属于更新保修策略的范畴。更新保修策略所产生的费用较难计算［14，17］，目前，相关文献都是针对单一故障模式的费用计算。然而在工程实际中，对复杂装备进行更新保修时经常会面临多部件多故障模式的情况［25］，这使得更新保修费用预测更加困难。因此，本文重点对多故障模式产品更新保修策略费用预测开展研究。

2 问题描述和模型假设

下面对考虑多故障模式的一维更新免费保修策略进行建模研究。首先针对单部件的多故障模式保修费用模型进行推导，然后以此为基础，扩展到多部件的更新保修费用模型。

2.1 单部件系统的更新保修策略费用模型

研究单部件更新保修是研究多部件更新保修的基础，故先建立单部件多故障模式的更新保修费用模型。假设对单元进行保修，故障后进行更换，单元修复如新。更换后保修期重新开始计时，直到保修期内不发生故障为止。设定的更新保修期长度为w，根据更新机制，其实际保修期长度T为：T＝t1＋t2＋…＋tNs＋w。

系统的故障次数为Ns，ti（i＝1，2，…，Ns）为发生第i次故障的时间间隔。Ns为离散型随机变量，根据保修更新机制内涵，可得Ns的概率分布列［13］为

式中，Fs（w）和Rs（w）为单元w时刻的累积故障概率和可靠度。假设单部件有k个故障模式，每个故障模式的修理费用为Ci（i＝1，2，…，k）。则保修费用的期望值和方差值为

式中，Ni为第i个故障模式在T内的故障次数。第i个故障模式引发单元故障的概率pi（w）为

式中，λi（t）为第i个故障模式的故障率函数；λ（t）为单元的故障率函数，λ（t）＝；fs（t）为单元故障概率密度函数。当单元故障次数为Ns＝ns时，各故障模式的发生故障次数的条件联合概率函数符合多项式分布：

其中，累积故障分布函数：

式中，Ri（w）表示第i个故障模式w时刻的可靠度。由多项分布特性可知：

其中，利用矩母函数和条件期望可得：

可见，Ni符合几何分布，表达式为

根据几何分布特性，Ni的期望和方差为

不妨设ns＝ni＋nj＋nq，根据式（4）和条件概率函数性质可知：

由式（8）和式（9）可知：

因此，单部件更新保修费用的期望和方差为

2.2 多部件系统的更新保修策略费用模型

系统一般由多个单元组成，每个单元具有多个故障模式，如图2所示。下面以第2.1节为基础，对几种常见的系统结构进行更新保修费用建模，建立多部件更新保修策略费用模型。

图2 系统构成图

2.2.1 串联系统

假设多部件系统由J个相互独立的单元串联，每个单元包含ki（i＝1，2，…，J）个相互独立的故障模式，对不同的单元不同的故障模式，维修费用Cij不同。串联系统中任一单元的任一故障模式均会导致整个系统故障。因此，类似单部件的费用模型，串联系统的费用模型为

其中

式中，pij（w）为串联系统第i个单元的第j个故障模式w时刻引发单元故障的概率；λij（t）为系统第i个单元的第j个故障模式的故障率函数；Rij（w）表示串联系统第i个单元的第j个故障模式w时刻的可靠度；Rs（w）为单元w时刻的可靠度；fs（t）为单元故障概率密度函数。

2.2.2 并联系统

假设多部件系统由J个相互独立的单元并联，每个单元包含ki（i＝1，2，…，J）个相互独立的故障模式，对不同的单元不同的故障模式，维修费用Cij不同。并联系统所有单元故障时系统才会发生故障，由此故障特性可知Ns（i＝1，2，…，J）。并联系统的费用模型为

其中

式中，pij（w）为并联系统第i个单元的第j个故障模式w时刻引发单元故障的概率；Rij（w）表示第i个单元的第j个故障模式w时刻的可靠度；Rs（w）和Fs（w）为单元w时刻的可靠度和累积故障概率；fi（t）为并联系统第i个单元的故障概率密度函数；λij（t）为系统第i个单元的第j个故障模式的故障率函数。

2.2.3 混联系统

由串联系统和并联系统混合而成的系统为混联系统，不同的组合模式形成不同的混联系统。由于其组成的复杂性，下面仅以并串联系统为例进行费用预测研究。并串联系统是一种特殊的混联系统，单元先串联后并联，可靠性框图如图3所示，ri（i＝1，…，q）表示第i行有ri个单元。

图3 并串联系统可靠性框图

可见，系统在w时刻的可靠度为

式中，Rijk（w）表示第i行第j个单元的第k个故障模式（一共有lij个故障模式）w时刻的可靠度，该系统费用的期望和方差为

其中

式中，Pijk（w）表示第i行第j个单元的第k个故障模式w时刻引发单元故障的概率；λijk（t）为第i行第j个单元的第k个故障模式的故障率函数；fi（t）为串并联系统第i行子系统的故障概率密度函数；Fs（w）为单元w时刻的累积故障概率。

2.2.4 冷储备系统

对于冷储备系统，储备单元可以使用同型同故障模式的单元，也可能是不同型的单元。采用不同型冷储备系统的原因是避免同一故障原因引发储备单元连续故障，该类系统常见于航天可回收重复使用系统，例如备用供电系统可能采用柴油发电机和燃料电池等作为冷储备系统中单元。有J个单元，每个单元有ki个故障模式所组成的冷储备系统的可靠性为

式中，＊为卷积符号。假设其转换开关可靠时，费用模型为

其中

式中，pij（w）为冷储备系统第i个单元的第j个故障模式w时刻引发单元故障的概率；Rij（w）表示第i个单元的第j个故障模式w时刻的可靠度；Rs（w）和Fs（w）为单元w时刻的可靠度和累积故障概率；fi（t）为第i个单元的故障概率密度函数；λij（t）为系统第i个单元的第j个故障模式的故障率函数。

3 算例分析

以冷储备系统为例，进行算例分析。假设系统中包含两个故障单元，系统可靠性框图如图4所示。单元1和单元2各包括两个故障模式。假设转换开关可靠且各故障模式对应的概率密度函数和维修费用如表1所示。

图4 冷储备系统可靠性框图

表1 系统各单元参数

图5 不同保修期更新保修期望费用和费用标准差

图6 基于蒙特卡罗法的更新保修费用仿真流程

图6中，C为保修费用，n为仿真次数，设为100次。t11、t12、t21和t22为通过仿真得到故障模式FM11、FM12、FM21和FM22发生时间。模型数据和仿真数据对比如图7所示。

图7 保修期望费用和保修仿真费用

从图7中可以看出，仿真值和计算值拟合程度较好，验证了模型的有效性。其中，保修费用期望、费用标准差、变异系数和仿真数值部分数据比较如表2所示。变异系数为，用来衡量计算值随着时间推移变异程度的变化情况。费用变异系数和系统可靠性如图8所示。由图8中费用的变异系数的变化趋势可以看出，随着保修期W 增加，保修费用变化不太明显，这是因为当保修期达到一定数值后，保修终止的可能性变小。

图8 CV和系统可靠性Rs

利用仿真值，对模型费用计算效果进行绝对误差分析和相对误差分析。绝对误差指标采用均方根误差（root mean square error，RMSE）、平均绝对误差（mean absolute error，MAE）和方差绝对误差（absolute error of absolute，VAE），而相对误差指标选用平均相对误差（mean average relative error，MARE）和方差相对误差（variance relative error，VRE）。各指标具体计算公式如下，具体数值结果如表3所示。

式中，xw表示更新保修费用仿真值表示更新保修期望费用。指标值越小，表示预测的精度越高。下面以单元1的故障模式FM11和单元2的故障模式FM21为代表，对模型进行敏感性分析，如图9和图10所示。从图中可以看出，E（CR）随着故障模式的故障率增加而增加。比较图9和图10可以发现，该系统第二个单元故障率的变化对费用的影响较大。因此，在储备过程中，适当提高储备单元的可靠性可以有效降低系统的更新保修费用。本案例的研究结果，可以辅助承制单位计算更新保修费用，也可以帮助军方衡量保修费用是否合理。当承制单位根据自身战略方案选择合理保修年限时，可以通过权衡保修费用确定合理的装备价格，与军方快速达到价格共识，加快军民融合速度。

图9 E（CR）随λ11变化趋势

图10 E（CR）随λ21变化趋势

表2 保修费用期望、费用标准差、变异系数和仿真数值部分数据

表3 保修期望费用误差分析

4 结 论

为推进军民融合维修保障深度发展，本文以系统工程理论为指导，首先设计了保修策略体系。然后在此基础上，结合军方装备维修保障实际需求，针对更新保修费用难以预测问题，从单部件和多部件的角度建立了一维多故障模式的更新保修策略费用模型。最后以某冷储备系统为例，对模型进行了求解计算，并利用蒙特卡罗仿真结果对比模型计算结果，进行了误差分析和敏感性分析，验证了模型的有效性和实用性。研究成果为更新保修策略在具体装备中的应用提供了理论基础，为深入推进军民融合发展提供了理论支持。虽然笔者对更新保修建模进行了探索，但在未来的研究中还需对模型进行进一步的扩展研究：①考虑不完善维修；②考虑各故障模式相关时费用预测问题；③针对冷储备系统的维修，不是在系统坏了之后统一更换故障单元，而是在系统切换到使用备用单元时就对故障单元进行更换。

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李欣玥（1987－），通信作者，女，博士研究生，主要研究方向为装备保障理论与应用、装备维修工程。

E-mail：oeclxy＠hotmail.com

王 鹏（1968－），男，工程师，博士，主要研究方向为可维修系统建模、失效预测、基于退化的系统可靠性分析。

E-mail：pengwang2005＠yahoo.com

邹 效（1987－），男，助理工程师，硕士研究生，主要研究方向为装备保障理论与应用、装备维修工程。

E-mail：zouxiao1987zx＠163.com

Cost prediction of the renewing warranty policy considering multiple failure modes for new equipment

JIA Yun-xian1，LI Xin-yue1，WANG Peng2，ZOU Xiao1
（1.Department of Equipment Command and Management，Ordnance Engineering College，Shijiazhuang 050003，China；2.Reliability department，Pratt ＆Whitney，San Diego 92130，USA）

According to the actual requirements of the army maintenance support，a warranty policy system was formulated.Then，aiming at the difficulty of predicting the renewing warranty cost，a cost model for the one-dimensional renewing free-repair warranty policy is proposed considering the reality of the equipment’s multiple failure modes.Multiple failure modes cost models for series，parallel，compound，and cold-standby systems are developed.Finally，a case study，taking certain cold standby system for example，is shown to prove that the proposed models are effective and practical.The results of this method could provide theoretic guidance and technical support to construct the equipment maintenance support under the condition of military-civil integration.

multiple failure mode；multi-component；renewing warranty；cost model

E 92；F 403.8

A

10.3969／j.issn.1001-506X.2015.08.15

贾云献（1963－），男，教授，博士，主要研究方向为装备保障理论与应用、装备维修工程。

E-mail：yunxian＿jia＠hotmail.com

1001－506X201508－1810－08

网址：www.sys－ele.com

2014－10－10；

2015－03－18；网络优先出版日期：2015－04－27。

网络优先出版地址：http：／／www.cnki.net／kcms／detail／11.2422.TN.20150427.1635.002.html

国家自然科学基金（71401173）；国家社科基金军事学项目（12GJ003－135）资助课题