圆的视角下对圆锥曲线定义的解读

☉安徽省宣城中学 叶 强

圆的视角下对圆锥曲线定义的解读

☉安徽省宣城中学 叶 强

圆是我们最熟悉的平面几何图形之一，它与椭圆、双曲线、抛物线同属于解析几何，它们之间必然存在着千丝万缕的联系.圆锥曲线的定义是高考重要考查形式之一，本文以2013年全国新课标卷中圆锥曲线问题为例，站在圆的视角下对圆锥曲线的定义进行再次解读，请同行指导.y

图1

题目 （2013年新课标1）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x-1）2+y2= 9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程；

（2）略.

解析：（1）由已知得圆M的圆心为（-1，0），半径r1=1；圆N的圆心为（1，0），半径r2=3.

设圆P的圆心为P（x，y），半径为R.

如图1所示，因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|+|PN|=（R+r1）+（r2-R）=r1+r2=4.

由椭圆的定义可知：曲线C是以M、N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆（左顶点除外），其方程为=1（x≠-2）.

评析：本题主要考查圆的标准方程、圆与圆的位置关系，椭圆的定义、标准方程，直线与椭圆的位置关系等知识，意在考查考生综合运用所学知识解答问题的能力和运算求解能力.

一、改变相切的方式——由椭圆到双曲线

变式1：与圆C1：（x-3）2+y2=1及C2：（x+3）2+y2=9都外切的动圆M的轨迹方程为_________.

解析：由已知得圆C1的圆心为（3，0），半径为1；圆C2的圆心为（-3，0），半径为3.

设圆M的圆心为（x，y），半径为R.如图2所示，因为圆M与圆C1、C2外切，所以|MC2|=R+3，|MC1|=R+1，所以|MC2|-|MC1|=2.

图2

由双曲线的定义可知：曲线M是以C2、C1为左、右焦点，实轴长为2的双曲线的右支，其方程为=1（x≥1）.

评析：本题将题目条件中动圆与两定圆一内切、一外切，改为与两定圆均外切，从而引出了双曲线的定义.

二、变换两定圆的关系——由一解到多解

变式2：已知圆C1：（x-2）2+y2=16及C2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与两圆都相切，动圆的圆心M的轨迹是两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值为（ ）.

解析：由已知得圆C1的圆心为（2，0），半径为4；圆C2的圆心为（0，0），半径为r.设圆M的圆心为（x，y），半径为R.（1）当动圆M与两定圆均内切时，如图3所示.

此时有|MC2|=R-r，|MC1|=4-R，所以|MC2|+|MC1|=4-r.

图3

由椭圆的定义可知：曲线M是以C2、C1为左、右焦点，长轴为4-r的椭圆，其离心率为e1=

（2）当动圆M与两定圆一内切、一外切时，如图4所示.

此时有|MC2|=R+r，|MC1|=4-R，所以|MC2|+|MC1|=4+r.

由椭圆的定义可知：曲线M是以C2、C1为左、右焦点，长轴为4+r的椭圆，其离心率为e2=

图4

由（1）和（2）得e1+2e2=

令24-2r=t，因为0＜r＜2，所以t＞0，则r=12-

e1+2e2=，当且仅当即t=，即24-2r=16，即r=12-8时，等号成立.答案为A.

评析：本题与题目的不同之处在于两定圆的位置关系发生了变动，动圆与两圆均相切，但并没有明确说明是内切还是外切，故应分不同情况讨论.

三、变定圆为定直线——引出抛物线

变式3：已知动圆C经过点F（0，1），且与直线y=-1相切，若直线3x-4y+20=0与圆C有公共点，则圆C的面积（ ）.

A.有最大值为π B.有最小值为π

C.有最大值为4π D.有最小值为4π

解析：由抛物线的定义知点C的轨迹方程为x2=4y，设C点的坐标为因为圆C过点F，所以半径r=|CF|=直线3x-4y+20=0与圆C有公共点，可转化为点到直线3x-4y+20=0的距离d=解得x≥或x≤-2.圆C的半径+1，故圆的最小面积为4π，答案为D.

评析：本题将题目条件中的两个定圆之一改为定直线，进而得出抛物线的轨迹方程.

四、由位置的变动——圆锥曲线由分到合

变式4：点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是（ ）.

A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.直线

解析：设圆C的半径为r.

当定点A在圆C的内部，且恰好为圆心时，如图5所示，则P点的轨迹为圆，故选项A正确；

当定点A在圆C的内部，但不与圆心重合时，如图6所示，因为|PA|=|PD|，所以|PC|+|PA|=r为定值，则P点的轨迹可能为椭圆，故选项B正确；

当点A在圆外时，如图7所示，已知|PD|=|PA|，所以|PC|-|PA|=r，根据双曲线的定义，P的轨迹可能为双曲线的一支，故选项C正确.

故答案为D.

图5

图6

图7

评析：本题因定点与定圆位置关系的不确定，使题目与圆、椭圆、双曲线的定义均建立了联系，考查了学生对知识的综合应用能力.

五、由圆的伸缩——实现圆与椭圆的互换

图8

解析：若是判断直线与圆的公共点的个数，问题会变得简单很多，容易很多.因此，我们一个直观的想法是能否先将椭圆C“变为”圆，直线l也做相应的变化，转化为判断直线与圆的公共点的个数呢？特别是上述问题给我们的启发是：圆按一定方向压缩就是椭圆，那么椭圆按一定方向拉伸应该就是圆了，因此有下面的解法.

评析：对于本题，若从判断直线与椭圆的位置关系入手判断，则计算会比较麻烦，且难度比较大，此处，我们巧妙地把椭圆“拉伸”为圆，利用圆的特殊性很简单地解决问题.

综上所述，在平时的解题中，若能抓住圆与椭圆两者图形的特殊关系、抓住问题的本质，可以把看似很复杂的问题巧妙地解答，达到事半功倍的效果.