2014年高考数学客观题中的创新题型赏析

☉湖北省襄阳市第一中学 王 勇

2014年高考数学客观题中的创新题型赏析

☉湖北省襄阳市第一中学 王 勇

近几年随着新课程标准的不断推进与深入，对考生的创新意识和创新能力的要求逐渐提高.每年的高考试题都会推出一些背景新颖、构思精巧、情境别致，具有相当深度和明确导向的创新题，使高考数学卷充满活力和魅力.它要求考生“对新颖的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段，灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题”.我们要坚信一个原则：千变万变，方法不变.创新题只是对以前的问题稍加“化妆”，以一个“新面孔”出现在我们面前，乍看其超凡脱俗，但只要我们努力揭开题目的神秘“面纱”，便可识别其“真面目”.本文采撷2014年高考数学客观题中的创新题型并予以分类赏析，旨在探索题型规律，揭示解题方法.

一、合情推理型

合情推理型创新题要求根据一些特殊的数据、特殊的情况去归纳出一般的规律，或者给出一个数学情景或一个数学命题，要求用发散思维去联想、类比、推广、转化，找出类似的命题.这是新课程较为重视的归纳推理、类比推理.主要考查考生的观察、分析、归纳、类比的能力，从不变中找变化，从不变中找规律.

1.归纳推理

解析：由已知得f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=由归纳推理得

点评：本题考查考生的理解能力、计算能力与归纳推理能力.与陕西卷往年不同，不是等式或不等式的归纳，而是复合函数解析式的归纳.

2.类比推理

例2 （2014年福建卷理10）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球.由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取，“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（ ）.

A.（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5

B.（1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c）5

C.（1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c5）

D.（1+a5）（1+b）5（1+c+c2+c3+c4+c5）

解析：由题意可知：5个无区别的红球取出若干个球可表示为1+a+a2+a3+a4+a5；5个无区别的蓝球都取出或都不取出可表示为1+b5；5个有区别的黑球取出若干个球可表示为（1+c）（1+c）（1+c）（1+c）（1+c）=（1+c）5.

由乘法原理可得所有取法可表示为（1+a+a2+a3+a4+ a5）（1+b5）（1+c）5.故选A.

点评：本题考查排列组合的两个基本原理与枚举法，考查考生综合运用排列组合知识分析问题、解决问题的应用能力、类比推理能力及阅读理解能力.对于本题，若能读懂题目的含义，盯住关键字眼（题眼），就可以快速破解，如5个无区别的蓝球都取出或都不取出，有（1+b5）种不同的取法，看选项，表达式中没有因式（1+b5）的直接排除，可排除B、C、D.故选A.

二、逻辑推理型

逻辑推理型创新题是指运用逻辑知识进行推理即可获解的一类问题，该类试题回避冗繁的运算，主要凭借逻辑推理，是2014年高考试题中的一大“亮点”，彰显了“多考一点想、少考一点算”的高考命题理念.

例3 （2014年北京卷理8）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（ ）.

A.2人 B.3人 C.4人 D.5人

解析：设学生人数为n，因为成绩评定只有“优秀”“合格”“不合格”三种情况，所以当n≥4时，语文成绩至少有两人相同，若此两人数学成绩也相同，与“不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生”相矛盾；若此两人数学成绩不相同，则此两人有一人数学成绩比另一人高，进而可知此两人有一人比另一人成绩好，与“一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好”相矛盾.因此n＜4，即n≤3.当n=3时，评定结果分别为“语文优秀，数学不合格”、“语文合格，数学合格”、“语文不合格，数学优秀”，符合题意.故选B.

点评：本题比较抽象，主要考查推理与逻辑知识的应用，考查阅读理解能力及信息迁移能力.

三、信息迁移型

信息迁移型创新题是指以学生已有的知识为基础，并给出一定容量的新信息，通过阅读，从中获取有关信息，捕捉解题资料，发现问题的规律，找出解决问题的方法，并应用于新问题的解答.它既能有效地考查考生的思维品质和学习潜力，又能考查考生的综合能力和创新能力.

1.定义新的概念

例4 （2014年山东卷理15）已知函数y=f（x）（x∈R）.对函数y=g（x）（x∈I），定义g（x）关于f（x）的“对称函数”为函数y=h（x）（x∈I），y=h（x）满足：对任意x∈I，两个点（x，h（x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称.若h（x）是g（x）=关于f（x）=3x+b的“对称函数”，且h（x）＞g（x）恒成立，则实数b的取值范围是_________.

解析：函数g（x）的定义域是［-2，2］，根据已知得，所以h（x）=2f（x）-g（x）=6x+2bh（x）＞g（x）恒成立，即6x+2b-恒成立，即3x+b＞恒成立，就是f（x）＞g（x）恒成立，则只要直线f（x）= 3x+b在半圆g（x）=的上方即可，如图1所示，由＞2，解得b＞2或b＜-2（不合题意，舍去），故实数b的取值范围是（2，+∞）.

图1

点评：本题考查新定义问题及直线与圆的位置关系的应用.本题的易错点有两处：①不能正确理解“对称函数”的定义，造成题目无法求解；②不会将h（x）＞g（x）恒成立等价转化为直线y=3x+b与半圆x2+y2=4（y≥0）相离，且直线y=3x+b在y轴上的截距b＞0.

2.约定新的运算

例5 （2014年广东卷文10）对任意复数ω1，ω2，定义其中是ω2的共轭复数，对任意复数z1，z2， z3，有如下四个命题：

①（z1+z2）*z3=（z1*z3）+（z2*z3）；

②z1*（z2+z3）=（z1*z2）+（z1*z3）；

③（z1*z2）*z3=z1*（z2*z3）；

④z1*z2=z2*z1.

则真命题的个数是（ ）.

A.1 B.2 C.3 D.4

点评：求解本题的关键是准确理解新定义，紧扣新定义并结合复数与共轭复数的性质进行推理、分析.

3.引入新的记号

例6 （2014年福建卷文12）在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L——距离”定义为||P1P2||=|x1-x2|+|y1-y2|，则平面内与x轴上两个不同的定点F1、F2的“L——距离”之和等于定值（大于||F1F2||）的点的轨迹可以是图2中的（ ）.

图2

解析：设P（x，y），F1（-c，0），F2（c，0），c＞0，则||F1F2||= 2c，依题意，得||PF1||+||PF2||=2d（d为常数且d＞c），所以|x+ c|+|y-0|+|x-c|+|y-0|=2d，即|x+c|+|x-c|+2|y|=2d.

①当-c≤x≤c时，（x+c）+（c-x）+2|y|=2d，即y=±（dc）；

②当x＜-c时，-（x+c）+（c-x）+2|y|=2d，即x±y+d=0；

③当x＞c时，（x+c）+（x-c）+2|y|=2d，即x±y-d=0.

画出以上三种情形的图像，即可知选项A正确.故选A.

点评：求解新定义问题的关键：首先，读懂新定义的含义；其次，适时利用分类讨论.如本题，在去绝对值符号时就需要运用分类讨论的思想.

4.给出新的性质

例7 （2014年四川卷理15文15）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间［-M，M］.例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B.现有如下命题：

①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；

②若函数f（x）∈B，则f（x）有最大值和最小值；

③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B；

其中为真命题的是_________.（写出所有真命题的序号）

解析：对于①，根据题中定义，f（x）∈A⇔函数y=f（x），x∈D的值域为R，由函数值域的概念知，函数y=f（x），x∈D的值域为R⇔∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b，所以①正确.对于②，举反例：函数f（x）=的值域为（0，1］，包含于区间［-1，1］（相当于存在M=1），所以f（x）∈B，但f（x）有最大值1，没有最小值，所以②错误.对于③，用反证法：假设f（x）+g（x）∈B，则存在一个正数M1，使得函数f（x）+g（x）的值域包含于区间［-M1，M1］，所以-M1≤f（x）+g（x）≤M1，由g（x）∈B知，存在一个正数M2，使得函数g（x）的值域包含于区间［-M2，M2］，所以-M2≤g（x）≤M2，亦有-M2≤-g（x）≤M2，两式相加得-（M1+M2）≤f（x）≤M1+M2，于是f（x）∈B，这与已知“f（x）∈A”矛盾，故f（x）+g（x）∉B，即③正确.对于④，如果a＞0，那么x→+∞，f（x）→+∞；如果a＜0，那么x→-2，f（x）→+∞，所以f（x）有最大值，必须a= 0，此时f（x）=，在区间（-2，+∞）上，|f（x）|=，当x= 0时，f（x）=0；当x≠0时，|f（x）|=≤，当且仅当x=±1时取等号，所以-，即f（x）的值域为从而f（x）∈B，即④正确.综上所述，所有真命题的序号为①③④.

点评：本题考查集合、逻辑与函数语言的理解与表达，考查抽象的数学语言的阅读理解与推理论证能力，其中还考查了极限法的巧妙应用.

四、实际应用型

实际应用型创新题是指有实际背景或有实际意义的数学问题.一般来说，数学应用性问题的情境较新、现实意义较强、设问的方式灵活，对考生的能力和数学素养要求较高，是高考中考查综合能力和数学素养的热点题型之一.解答这类应用题需在理解题意的基础上把文字语言转化为相应的数学语言，建立恰当的数学模型，再根据要求求解.

例8 （2014年全国新课标卷Ⅰ文16）如图3，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°，以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC= 100m，则山高MN=_________m.

解析：在Rt△ABC中，∠CAB=45°，BC=100m，所以AC=100

图3

在△AMC中，∠MAC=75°，∠MCA=60°，从而∠AMC= 45°，由正弦定理，得，因此AM=100

点评：本题考查解三角形的知识，意在考查考生运用正弦定理解决实际问题的能力.

五、综合探究型

综合探究型创新题形式多、难度大，在解答时要通过分析、探究，抓住有限的或隐含的条件，通过联想综合性的知识设计出解决问题的方式或探究出解决问题的数学思想，是考查考生数学灵气和应用能力的重要题型.

例9 （2014年全国新课标卷Ⅱ理12）设函数f（x）=，若存在f（x）的极值点x0满足则m的取值范围是（ ）.

A.（-∞，-6）∪（6，+∞） B.（-∞，-4）∪（4，+∞）

C.（-∞，-2）∪（2，+∞） D.（-∞，-1）∪（1，+∞）

因为f（x）的极值点为x0，所以f′（x0）=0，所以所以，k∈Z，所以x0=mk+，k∈ Z.

又存在x0满足即存在k∈Z满足上式，所以

点评：本题考查了函数的极值问题、三角函数的有关知识，不等式能成立等问题，充分考查考生分析问题、解决问题的能力及运算求解能力.

例10 （2014年重庆卷理10）已知△ABC的内角A， B，C满足sin2A+sin（A-B+C）=sin（C-A-B）+，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ）.

C.6≤abc≤12 D.12≤abc≤24

解析：先对给出的等式进行化简，用三角形的面积公式表示出1≤S≤2，两个条件联合，可求出△ABC的外接圆半径的取值范围，再对各选项逐个分析判断.

由sin2A+sin（A-B+C）=sin（C-A-B）+，得sin2A+ sin（A-B+C）-sin（C-A-B）=，即sin2A+sin［A+（C-B）］+ sin［A+（B-C）］=，即2sinAcosA+2sinAcos（B-C）=，即sinA［cosA+cos（B-C）］=，即sinA［-cos（B+C）+cos（BC）］=，化简，得sinAsinBsinC=

此时，abc=2RsinA×2RsinB×2RsinC=R3∈即8≤abc≤16，从而可以排除选项C和D.对于选项A：bc（b+c）＞bc·a=abc≥8，即bc（b+c）＞8，故A正确；对于选项B：ab（a+b）＞ab·c=abc≥8，即ab（a+b）＞8，故B错误.

综上可知，本题应选A.

点评：本题综合性较强，综合考查了三角恒等变换公式（两角和与差的正弦、余弦公式）、正弦定理、三角形内角和定理、两边之和大于第三边和三角形面积公式.本题在化简条件等式的过程中，运算量较大，在对有关选项的排除过程中，需要综合应用所学知识进行推理论证，故本题考查了数据处理能力、运算求解能力和推理论证能力.F