基于经典Von Mises应力的多轴等效应力修正方法研究

白春玉，齐丕骞，牟让科，曹明红

(中航工业飞机强度研究所，陕西西安710065)

基于经典Von Mises应力的多轴等效应力修正方法研究

白春玉，齐丕骞，牟让科，曹明红

(中航工业飞机强度研究所，陕西西安710065)

基于经典Von Mises应力的等效准则在静力学中具有较好的适用性，但推广到动力学中会出现新的问题，机械的应用该经典等效方法进行多轴振动疲劳损伤计算可能会导致错误的结果。总结给出了几种经典Von Mises应力等效的修正方法，使之适用于噪声载荷产生的多轴振动疲劳问题。算例表明，修正后的Von Mises应力响应功率谱的峰值和各应力分量响应功率谱的峰值均在同一频段范围，且均位于结构基频附近，这和结构自身动特性及实际受载情况是相符的，使得修正后的等效应力具有实际的物理意义，且修正后的等效应力满足高斯分布，可在频域范围内应用现有模型解决多轴应力状态下的振动疲劳寿命预估问题。

多轴疲劳，Von Mises应力，寿命预估，功率谱密度函数

工程实际中，结构件的疲劳失效较多的表现为多轴疲劳失效，这是由于结构件本身常常承受多轴复杂载荷，即使结构件承受单轴载荷，但由于结构件的几何突变或缺口导致局部区域的多轴应力应变状态，而使结构呈现出多轴疲劳破坏，如飞机的机身及发动机的某些薄壁结构在噪声载荷下一般表现出多轴应力应变状态。工程实际中多轴疲劳问题普遍存在，如何减少零构件发生多轴疲劳失效具有很大的价值［1］。

对于多轴疲劳的损伤评定和寿命预估问题，常用的解决方法有能量法、临界平面法和等效应力(应变)法。在多轴应力状态下，针对比例加载的工况，采用等效应力准则将多轴应力响应转变为单轴应力是一条简单而有效的途径。Gough等［2］通过对圆管试件进行同相位的弯曲扭转疲劳试验后，提出对于脆性材料应采用最大拉应力等效理论，对于韧性材料应用Von Mises等效准则，该等效应力方法描述损伤的参量不像临界面法那样考虑了材料的多轴疲劳损伤机理，但对于随机加载情形下的多轴振动疲劳问题依然具有很强的适用性，因此很有必要继续开展相关的研究工作。经典的Von Mises应力是应力张量的函数，在平面应力状态下，其表达式如下:

为正应力分量，Sxy为剪应力分量。该等效准则在静强度理论中具有较好的适用性，因而得到广泛的应用，学者们希望在动强度理论中同样应用该等效准则，以期解决多轴应力应变的疲劳损伤评估问题。然而，经典的Von Mises应力等效准则却是一个能量的概念，其值总为正，在等效应力－时间历程中，出现了负的载荷符号丢失的情况，将负的应力循环都折返到正的循环上，即将一个实际的拉－压应力循环等效成拉－拉应力循环，导致等效后出现了一个虚假的正应力均值，并使应力循环的幅值和周期均减小≈1/2，然而，这种等效应力循环周期的减小意味着等效应力响应的频率被人为的放大，从而使该响应频率失去实际的物理意义。在拉－压动载荷作用的多轴应力应变状态下，机械的应用该经典Von Mises等效方法进行疲劳损伤计算可能会导致错误的结果。

1 经典Von Mises应力计算方法

考虑四边简支的薄壁板结构，施加频率范围0～500 Hz，声压功率谱为180 Pa2/Hz的白噪声载荷。薄壁板的尺寸为510 mm×270 mm×1.3 mm，密度ρ= 8 230 kg/m3，弹性模量E为177 GPa，建立了薄壁板的有限元分析模型，其第一阶模态频率为50.3 Hz，进行薄壁板结构在噪声载荷作用下的动响应求解［3］，求解流程见图1，薄壁板中心应力响应结果见图2。

图1 噪声载荷作用下薄壁板结构动响应求解流程Fig.1 Thin－wall structure dynamic response analysis subjected to acoustic loading

图2 薄壁板中心各应力分量响应时域历程Fig.2 The components of stress response of thin－wall structure center in time domain

对于多轴应力响应，如果主应力的幅值随时间变化，而其方向不随时间改变，此时结构承受的载荷为比例加载工况［4］。图3为平板中点最大主应力方向，由图3可知，仅有少数时刻的主应力所在平面偏离90°，可认为该噪声激励为等比例加载。

图3 最大主应力方向Fig.3 The direction ofmaximum principal stress

应用式(1)进行经典Von Mises应力等效计算，结果见图4，应力分量功率谱和经典Von Mises应力功率谱的比较结果见图5，应力分量在结构的第一阶模态处响应达到最大，而经典Von Mises应力等效后的最大响应谱明显偏离结构的固有频率位置。由此可见，经典Von Mises应力等效后其响应谱没有体现结构自身的动态特性，由静强度理论发展而来的该等效方法进行动态循环载荷作用下的损伤预估是值得商榷的，还需说明的是，由于Von Mises应力是经非线性运算得到的一个恒正结果，不再是高斯过程，因此无法应用现有针对高斯过程的损伤预估方法(如Drilik法、Bendat法)。

2 修正的Von Mises应力计算方法

图4 经典Von Mises应力时域历程Fig.4 classical Von Mises stress in time domain

图5 经典Von Mises应力和应力分量的功率谱Fig.5 The PSD of classical Von Mises stress and stress component

在时域范围内，应用经典的Von Mises应力等效计算方法得到的等效应力－时间历程出现了负的载荷符号丢失的情况，将实际的拉－压应力循环等效成拉－拉应力循环，这与结构的实际受载情况是不符的。由此，学者们尝试对经典的Von Mises应力进行修正计算，以期得到具有实际物理意义的等效应力。

2.1 符号修正法

F.Cosmi提出等效应力的符号与绝对值最大主应力的符号相一致，由此巧妙的实现了对经典Von Mises等效应力的修正，见式(2)。但该修正方法在小应力幅值范围内会出现跳跃现象［5－6］，图6为应用该修正方法计算的Von Mises应力。

式中:σvm(t)为经典的Von Mises等效应力，σi(t)为主应力，i=1、2、3，sign(x)为符号函数。

图6 F.Cosmi符号修正法计算的修正Von Mises应力Fig.6 Amendment Von Mises stress based on F.Cosmi symbolic method

本文提出一种新的符号修正方法，取修正符号为下式:

则经符号修正的Von Mises应力为式(5)，该方法优点在于不需计算主应力的大小及绝对值最大主应力的符号，其修正符号仅由各应力分量时域历程进行简单的数学运算即可得到，相较于F.Cosmi方法本文计算修正符号的流程更加简单。计算结果表明，两种符号修正方法得到的结果较为一致，图7为本文符号修正法计算得到的Von Mises应力。

图7 本文提出的符号修正法计算的修正Von Mises应力Fig.7 Amendment Von Mises stress based on this papermethod

2.2 经验式修正法

为尽可能保证等效应力的实际物理意义，Pioli基于变幅等周期加载情形提出了一种基于经验式的Von Mises修正算法［7］，其实施途径是对某一应力分量加上一个足够大的数值，应用经典Von Mises应力等效计算公式得到一个虚拟的应力，这样的目的是使其他未加大数的应力分量在参与等效应力计算过程中的影响可忽略，继而将该虚拟等效应力减去之前增加的大数，并进行系数转换即可得到修正的Von Mises应力。本文将该方法推广至随机加载情形，发现同样具有较好的适用性。具体求解步骤如下:

步骤1:将各应力分量的时域历程中峰值和谷值差值的最大值查找出来，作为一个间隔(gap);

图8为放大系数k分别取10和100时应用经验式法计算得到的Von Mises应力，图9为选取不同放大系数k计算得到等效应力均方值偏差，可见，放大倍数越大，其等效后的应力均方值偏差越小。

图8 经验式法计算的修正Von Mises应力Fig.8 Amendment Von Mises stress based on the empiricalmethod

图9 k值对应力均方值影响Fig.9 Influence of k on stressmean squaremean square

图10 频谱域的等效应力求解流程Fig.10 The solution process of Von Mises stress based on frequency domain

图11 频谱域计算的Von Mises应力Fig.11 The Von Mises stress based on frequency domain

3 基于Von Mises应力的频谱域计算方法

在进行动力学分析或处理振动疲劳试验数据的过程中，在时间域或频率域里均可实现有效的数据分析，两个度量域可通过傅里叶变换和逆傅里叶变换的形式相互转换，一个时间历程p(t)可以完全通过频谱p(f)表达［8］。对于确定的应力分量历程，无论在时域或频谱域范围，均保留有应力的幅度(大小)信息以及相位信息。时域范围内进行等效应力计算得到的幅值和相位是各时刻的瞬时值，经典Von Mises应力等效运算为非线性运算过程，在部分时刻使得实际的拉－压循环等效为拉－拉循环，在这些时刻计算的相位信息和实际是不相符的。且在多轴振动响应分析中，最先得到的是各应力分量的频域响应(见图1)，因此可直接由频域应力分量计算Von Mises应力。

在频谱范围内应用经典计算方法方法进行Von Mises应力等效的求解过程中，由于频谱是以复向量的形式表达各频段范围内的应力分布。因此，在进行应力等效的计算时不会出现时域内部分相位信息和实际不相符的问题。在频域内的Von Mises应力等效求解流程见图10，计算得到的Von Mises应力见图11。

图12给出了频谱域计算法、符号修正法、经验式修正法及经典计算方法分别得到的Von Mises应力功率分布，其中纵坐标为对数坐标。由图12可知，前三种计算方法较经典的计算方法相比，等效应力功率谱和各应力分量功率谱的最大响应在同一频段范围，且在结构基频(50.3 Hz)附近响应幅度几乎一致，而经典Von Mises应力响应功率谱明显偏离结构的基频位置。另外，该薄壁板结构在宽频噪声载荷作用下激起的部分高频响应(如第三阶模态频率138.5 Hz)同样不可忽略，由于经验式修正法需人为设定放大系数的数值，高频响应的求解结果会出现一定的误差，求解结果还验证了符号修正方法在低应力幅值出现跳跃的情况，综合而言，频谱域计算方法为一种最优的等效Von Mises应力修正计算方法。

图12 各计算方法得到的等效应力功率谱分布Fig.12 The distribution of Von Mises stress PSD based on such methods

在多轴应力应变状态下，进行等效应力求解的另一个重要目的是将多轴状态转化为单轴，应用已有针对单轴应力的寿命预估模型进行多轴振动疲劳寿命计算。然而，工程实际广泛应用的针对单轴振动疲劳寿命预估的Bendat法和Dirlik法均是基于平稳高斯过程为假设前提的［9］，即忽略应力循环均值的影响，由应力分量进行非线性运算得到的经典Von Mises应力为双参数Weibull分布［10］，其等效均值应力为恒正值，无法应用现有模型进行寿命预估。对修正后的等效Von Mises应力进行概率统计发现近似服从高斯分布，见图13，为说明问题图中仅给出频谱域修正法计算的等效应力分布，因此，对修正后的等效应力可在频域范围内应用现有模型进行寿命预估。

图13 应力分量和修正后等效应力分布图Fig.13 The distribution diagrams of stress component and amendment Von Mises stress

4 结论

本文总结给出了几种对经典Von Mises应力等效的修正方法，使得修正后的等效应力能更好的反映施加载荷和结构自身动特性的实际意义，可指导噪声载荷作用下结构的多轴振动疲劳寿命预估和声疲劳试验研究。为得到更能反映外部循环载荷和结构自身动特性特征的等效应力，有两类解决办法:

(1)对经典的Von Mises应力进行符号修正，本文总结给出了两种基于符号修正的等效应力求解方法及一种基于经验式的等效应力求解方法;

(2)完全在频谱域范围内计算等效应力。

通过薄壁板的宽频噪声激励算例表明，几种等效应力的修正方法在结构基频处的响应具有较好的一致性，考虑到在部分高频分量处的响应求解误差，频谱域计算方法为一种最优的等效Von Mises应力修正方法。

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M ultiaxial equivalent stress amendment algorithm based on classical von m ises stress

BAIChun－yu，QIPi－qian，MU Rang－ke，CAOMing－hong
(AVIC Aircraft Strength Research Institute，Xian 710065，China)

The classical Von Mises stress equivalent crtion was builtwith the concept of static equivalent stress and extended to deal with dynamic stress.But some problems appear，even a wrong result occurs if using this equivalent criterion frigidly.Here，some amendmentalgorithmswere proposed based on classical Von Mises stress.Itwas shown that aftermodification the Von Mises equivalent stress response power spectral density has the same distribution as that of each stress component，their peak magnitudes are located near the structure's fundamental frequency，this agreeswellwith the structural dynamic features under the actual load，and themodified equivalent stress satisfies Gaussian distribution，so the fatigue life of a structure undermulti－axial stress state can be estimated based on existingmodels in frequency domain.

vibration fatigue;Von Mises stress;life prediction;power spectral density

O346.2

A

10.13465/j.cnki.jvs.2015.23.029

航空基金项目(20121523007)

2014－07－16修改稿收到日期:2014－11－19

白春玉男，硕士，工程师，1984年生

齐丕骞男，研究员，1945年生