橡胶材料的一种5参数分数导数模型

赵永玲，侯之超，黄友剑，刘建勋，

(1.清华大学汽车安全与节能国家重点实验室，北京100084;2.株洲时代新材料科技股份有限公司，湖南株洲412007)

橡胶材料的一种5参数分数导数模型

赵永玲1，侯之超1，黄友剑2，刘建勋1，2

(1.清华大学汽车安全与节能国家重点实验室，北京100084;2.株洲时代新材料科技股份有限公司，湖南株洲412007)

通过在分数导数Zener模型中增加Scott－Blair黏壶，建立了一种新的5参数分数导数模型。分析了分数导数算子参数对Cole－Cole曲线形状的影响;基于某隔振橡胶材料的DMA实验，应用温—频等效原理获得了该材料的动态模量和损耗因子的主曲线，并识别了新建模型的全部参数。结果表明，该模型能够比较准确地反映具有对称或非对称Cole－Cole曲线的橡胶材料的动态特性。

Cole－Cole曲线;黏弹性;分数导数模型;动态力学实验;参数识别

减振橡胶，作为一种黏弹性材料，具有缓冲减振等作用，在汽车运输、轨道交通、国防工业、民用建筑、医疗器械等领域均具有广泛的应用。随着各行业对结构可靠性和舒适性要求的提高，对橡胶元件进行精细的结构设计日益普及。为此，迫切需要对橡胶元件动态特性进行准确表征与仿真分析。

橡胶材料的动态特性一般采用储能模量E'、损耗模量E″和损耗因子tanδ(=E'/E″)描述。其中，E'和E″二者之间的关系，可用Cole－Cole曲线［1］表示。作为一种描述橡胶材料动态特性的一种有效方式，与其它参数一样，黏弹性材料的Cole－Cole曲线与材料的分子结构、加工成型条件、温度和频率等密切相关，其中温度和频率等因素至关重要。随着温度的改变，若材料内部分子链只存在主转变(玻璃化转变)时，可以根据不同温度下的E'和E″绘制一条光滑的Cole－Cole曲线:当分子结构为均一体系时，曲线具有对称特性;当分子结构为共混体系时，曲线为非对称［2］。

建立合适的黏弹性材料动力学本构模型是准确预测橡胶元件动态特性的前提。由于分数导数模型在较宽的温度和频率范围内能够很好地描述黏弹性材料的动态特性，因此广泛应用于建立黏弹性材料的本构模型。Pritz等［3－4］采用分数导数Zener模型讨论了黏弹性材料在较宽频率范围内的力学特性。詹小丽等［5］采用分数导数Maxwell模型研究了改性沥青材料的动态黏弹特性。赵永玲等［6］采用高阶分数导数模型对橡胶材料动态力学性能进行评估。其中分数导数Zener模型被证明比较适合预测黏弹性材料在宽频范围内的动态特性，并且模型中的参数都具有明确的物理意义。但是这种模型只能描述具有对称Cole－Cole曲线的黏弹性材料的动态特性。

为描述具有非对称Cole－Cole曲线的黏弹性材料的动态特性，需要增加模型参数的数量。唐振寰等［7］采用应力和应变的分数算子阶次不相等的方法建立了一种五参数分数导数模型。但是该模型不满足热力学定律。Pritz［8］、侯宏等［9］分别通过增加关于应变的分数导数项而构建了一种5参数分数导数模型，其中部分参数的物理意义还有待明确。

鉴于上述现状，本文以分数导数Zener模型为基础，增加一个Scott－Blair(SB)黏壶［10］而建立了一种五参数分数导数模型，并分析了分数导数算子常数对Cole－Cole曲线形状的影响。针对只存在主转变(玻璃化转变)的某橡胶材料，在不同温度下进行DMA频率扫描实验，获得了材料的储能模量、损耗模量和损耗因子等实验数据，并利用温—频等效原理，得到宽频范围内的主曲线［11］。进而应用试验数据，识别得到了所建立的5参数分数导数模型的全部模型参数。通过对比分析，证明所提出模型可以描述具有对称或非对称Cole－Cole曲线的橡胶材料的动态特性。

1 5参数分数导数模型

分数导数模型中，分数导数算子的阶次和项数反映材料黏弹性的强弱。依据Scott－Blair黏壶单元的应力应变关系，在频域中导出对应的存储模量与损耗模量表达式。由此可以看出，当频率不变时，Scott－Blair黏壶单元的微分阶算子阶次决定其Cole－Cole曲线的斜率。显然，对于非对称的Cole－Cole曲线，材料模型中至少需要两个Scott－Blair黏壶单元。因此，本文首先借鉴文献［7－9］增加分数导数项的作法，在分数导数Zener模型中增加一个Scott－Blair黏壶，构建出一个新的5参数分数导数模型，以描述具有非对称性Cole－Cole曲线的黏弹性特性。然后分析各分数导数阶次对动态特性的影响，并通过模型退化阐述模型的适应性。

1.2 5参数本构方程与模量

在分数导数Zener模型中增加一个Scott－Blair黏壶，即构成一个新的模型(见图1)。模型中含有5个参数α、β、E0、E∞和τ。其中α和β分别为两个黏壶的分数导数阶次，E0为静态模量，E∞为高频动态模量的极限值，τ为松弛时间。两个黏壶对应的应变分别为ε3和ε2，两个弹簧对应的应变分别为ε1和ε4。

5参数分数导数模型(见图1)，依据应力应变关系，得到本构方程:

图1 5参数分数导数模型Fig.1 A fractional derivativemodel with five parameters

为满足热力学定律，应该满足0＜β≤α＜1。由于方程中可能包含导数阶次大于1的项，因此该模型可称为高阶分数导数模型。Dα为第α阶分数导数，可以定义如下:

式中:Γ为Gamma函数。

对式(1)作Fourier变换，可得到该模型所描述材料的复模量表达式:

式中:ωn=ωτ，ω=2πf。由此可以求得材料的储能模量、损耗模量和损耗因子:

上述方程反映了材料各性能参数随频率f的变化关系。由式(4)可知，E'(ω→0)=E0，E'(ω→∞)= E∞。由于温度和频率对于黏弹性材料特性的影响可以通过温度－频率等效原理来转化，因此式(4)～式(6)也可用于揭示E'、E″和tanδ随温度的变化规律。

1.3 分数导数阶次与Cole-Cole曲线

根据式(4)和式(5)可以计算出不同频率时的储能模量E'和损耗模量E″。以E'为横坐标E″为纵坐标绘制曲线，即得到Cole－Cole曲线(见图2)。由图2可知，α≠β时，Cole－Cole曲线均为非对称曲线。图2(a)为α变化β不变时的Cole－Cole曲线。随着α的变化，低频时Cole－Cole曲线的斜率变化较大，高频时其斜率均趋于一定值。这意味着参数α与低频时的动态特性有关，亦即α反映低频时Cole－Cole曲线的变化率。图2(b)为α不变β变化时的Cole－Cole曲线。随着β的变化，低频时Cole－Cole曲线的斜率变化不大，高频时储能模量和损耗因子的斜率随β值的变化比较明显，即β反映高频时Cole－Cole曲线的变化率。这样，5参数分数导数模型中各参数的物理意义比较明确。

图2 Cole－Cole曲线Fig.2 Cole－Cole curve

1.4 退化模型

对于所建立的5参数分数导数模型，如果分数阶算子满足α=β，式(1)就简化为:

另一方面，分数导数Zener模型的本构方程可表示为:

式(7)和式(8)二者的差别仅在于σ与ε一次项的常系数不同。换言之，当α=β时，本文构建的5参数分数导数模型可以退化为与分数导数Zener类似的模型。这说明新建立的模型也适合于Cole－Cole曲线为对称时的黏弹性材料，如图2(a)中α=β=0.4和图2 (b)中α=β=0.7两种情况。

因此，当材料具有对称Cole－Cole曲线时，可应用式(6)计算材料的储能模量、损耗模量和损耗因子:

2 橡胶材料DMA实验

为了验证前文所建立的5参数分数导数模型，对某减振橡胶进行动态机械分析(Dynamic Mechanical Analytic，DMA)实验。首先进行恒定频率下的温度扫描实验，确定材料的玻璃化转变区域;再通过不同恒定温度下的频率扫描实验，获取材料的储能模量、损耗模量和损耗因子随频率的变化曲线;然后利用温－频等效原理将这些曲线进行平移，绘制出参考温度下的主曲线。

2.1 DMA实验

采用德国GABO公司制造的EPLEXOR 500N型动态热力学分析仪(见图3)，测定橡胶材料在不同温度的一组频率谱。橡胶试样尺寸为20 mm×6 mm× 2 mm，加载方式采用轴向拉伸模式。

图3 EPLEXOR 500N型动态热力学分析仪Fig.3 EPLEXOR 500N dynamic thermal analyzer

下面分别从温度扫描和频率扫描两个方面对测试数据进行分析，以阐述材料的力学性能。

2.1.1 温度扫描

温度扫描实验中选取的温度范围越宽，则通过温－频等效原理得到的主曲线跨越的频率范围就越宽。温度范围的选取可以通过温度扫描实验来确定。图4为频率为2 Hz时的温度扫描曲线，由图4可知，此橡胶材料在－80～60℃范围内只存在主转变(也称玻璃化转变);而在－60～－40℃之间E'、E″和tanδ变化均较大，此温度范围称为玻璃化转变区域。玻璃化转变温度Tg可以采用储能模量转折点对应的温度来定义，也可以采用损耗模量和损耗因子峰值对应的温度作为玻璃化转变温度。这三种方法得到的玻璃化温度稍有不同，本文研究中以损耗因子峰值对应的温度定义为所研究橡胶材料的玻璃化转变温度，由图4可知为－50℃。

图4 温度扫描曲线Fig.4 Curves from temperature scanning

2.1.2频率扫描

由图4可知，＜－60℃和＞20℃时E'、E″和tanδ曲线均趋于稳定。因此选取－60～20℃之间的温度分别作为实验温度，进行频率扫描，频率扫描范围为0.5～15 Hz。图5为在恒定温度分别为－60℃、－55℃、－50℃、－45℃、－40℃、－30℃、－20℃、－10℃、0℃、10℃、20℃时频率扫描实验得到的E'、E″和tanδ曲线。从图5(a)可知，储能模量随着频率的升高而增大、随着温度的升高而减小。由图5(b)可知，－60℃时损耗模量随着频率的升高而减小，T＞－55℃时，损耗模量随着频率的升高而增大，说明在－60～－55℃时损耗模量具有最大值。从图5(c)可知，当T＜－55℃时，损耗因子随着频率的升高而减小;当T＞－45℃时，损耗因子随着频率的升高而增大，说明在－55～－45℃时损耗因子具有最大值，与温度扫描得到的玻璃化转变温度是一致的。

图5 频率扫描实验结果Fig.5 Curves from frequency scanning

2.2 绘制主曲线

为准确描述橡胶材料在宽频率范围内的动态特性，将经由DMA实验得到的不同温度下的频率扫描数据转换为参考温度下的黏弹性函数主曲线。为此，需要应用合适的温－频等效模型。目前最常用的温－频等效模型是WLF模型，其具体形式为:

式中:αT为温－频转换因子，T0为参考温度，C1和C2是经验常数。选择不同温度作为参考温度，该式的形式不变，只是参数C1和C2不同。

选玻璃化转变温度－50℃作为参考温度，利用非线性最小二乘法拟合获得相对该参考温度的温频转换因子和经验常数。其中，材料常数C1=7.2，C2=37.5，而不同温度下的温－频转换因子见图6。

根据温－频转换因子绘制橡胶材料主曲线(见图7)。由图7可知，不同温度下的储能模量、损耗模量和损耗因子经过平移后，得到参考温度下的光滑主曲线，且频率跨越接近10个数量级。

图6 不同温度下的温－频转换因子Fig.6 Temperature－frequency conversion factor under different temperatures

图7 主曲线Fig.7 Themaster curve

图8 Cole－Cole曲线Fig.8 The Cole－Cole curve

3 模型参数识别

根据图7所示主曲线中的储能模量E'和损耗模量E″的数值，可绘制出Cole－Cole曲线(见图8)。

从图8可知，Cole－Cole曲线具有明显的非对称性。采用前文构建的5参数分数导数模型进行参数识别:将11组不同温度下的频率扫描试验数据代入式(4)～式(6)，采用非线性最小二乘法拟合得到全部模型参数(见表1)。

表1 分数导数模型拟合参数Tab.1 The fitting param etersof fractional derivativemodel

应用识别获得的模型参数，根据式(4)～式(6)计算所研究橡胶材料的储能模量、损耗模量和损耗因子。预测精度应用下式定义的相对误差进行评价:

式中:EiE和EiP分别为第i个实验值和拟合值，n为拟合点数。计算显示，储能模量、损耗模量和损耗因子的拟合误差分别为2.27%、8.72%、7.51%，均不超过10%，满足工程精度要求。

绘制E'－lg f、E″－lg f、tanδ－lg f曲线和Cole－Cole曲线，并与试验曲线对比(见图9)。由图9可知，5参数分数导数模型计算得到的储能模量、损耗模量和损耗因子，与试验数据吻合良好。这验证了模型的合理性。

图9 模型预测结果与试验数据的对比Fig.9 Comparison between model prediction and experimental data

4 结论

本文提出了橡胶材料的一种分数导数黏弹性本构模型。针对某种橡胶材料，设计并进行了不同温度下的DMA频率扫描实验，应用实测数据，绘制了材料的储能模量、损耗模量及损耗因子的主曲线;进而通过非线性最小二乘拟合，识别得到了全部模型参数，模型预测结果与实验数据吻合良好。分析与计算显示，所提出的分数导数模型既适合具有对称Cole－Cole曲线的材料，也适合具有非对称Cole－Cole曲线的材料。利用该模型可以预测不同频率(或温度)下的黏弹性材料动力学特性，具有重要的应用价值。

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A fractional derivativemodelw ith five parameters for rubber materials

ZHAO Yong－ling1，HOU Zhi－chao1，HUANG You－jian2，LIU Jian－xun1，2
(1.State Key Laboratory of Automotive Safety and Energy Saving，Tsinghua University，Beijing 100084，China; 2.Zhuzhou Time New Material Technology Co.，Ltd.，Zhuzhou 412007，China)

A fractional derivative model with five parameters was constructed by adding a Scott－Blair pot to the fractional derivative Zenermodel.Numerical analysiswas conducted to analyze the influence of parameters of the fractional derivative operators on Cole－Cole curves.Dynamic analysis testswere then performed on a rubbermaterial usually used for vibration isolation.Using the measured data，the storage modulus，loss modulus and loss factor of the material were derived by adopting the temperature－frequency equivalence principle，and all parameters of the new fractional derivative model were identified.The results demonstrated that the newly established fractional derivativemodelwith five parameters can accurately describe the dynamic characteristics of rubber materials with a symmetric or non－symmetric Cole－Cole curve.

Cole－Cole curve;visco－elasticity;fractional derivativemodel;dynamic test;parameter identification

TB303

A

10.13465/j.cnki.jvs.2015.23.007

中国南车科技资助项目(2011NCK098)

2014－09－15修改稿收到日期:2014－12－26

赵永玲女，博士生，1974年生

侯之超男，博士，教授，博士生导师，1966年生