多自由度轧机传动系统非线性非主共振扭振特性

时培明，夏克伟，刘 彬，侯东晓

（1．燕山大学电气工程学院，秦皇岛 066004；2．东北大学秦皇岛分校自动化工程系，秦皇岛 066004）

多自由度轧机传动系统非线性非主共振扭振特性

时培明1，夏克伟1，刘 彬1，侯东晓2

（1．燕山大学电气工程学院，秦皇岛 066004；2．东北大学秦皇岛分校自动化工程系，秦皇岛 066004）

建立含参激多自由度轧机传动系统非线性扭振动力学模型，通过坐标变换将非线性方程组解耦成独立方程，采用多尺度法得到电机扰动力矩和轧制负载力矩共同作用下非线性系统的幅频响应方程。以某厂1780轧机传动系统为实际算例，将其简化成4自由度非线性扭振模型，通过实际参数分析了非线性刚度、非线性阻尼、接轴倾角、电机扰动力矩以及轧制张力波动对传动系统超谐波共振、亚谐波共振及组合共振幅频特性的影响。用数值仿真与解析结果相比较，验证解析方法的有效性。研究结果为外扰影响下的轧机传动系统扭振特性提供一定的理论指导和参考。

多自由度；轧机传动系统；张力波动；组合共振

随着轧制速度和强度的不断提高，轧机传动系统频繁出现异常扭振失稳现象，严重影响轧制生产，成为制约轧制效率和产品质量进一步提升的主要瓶颈。传动系统中存在复杂的非线性因素［1－3］，导致系统发生非线性振动，影响轧机的稳定运行，降低生产效率［4－6］。因此从理论上研究轧制过程中扰动因素影响下的传动系统非线性扭振响应的行为、特征和规律有重要的意义。

Haruo等［7］研究了阻尼作用下的轧机非线性扭振，指出由于轧辊打滑上、下轧辊力矩分配不均匀，阻尼对系统扭振振幅的影响显著并呈现衰减趋势。Wang等［8］应用K-B法求解了轧机主传动系统非线性扭转自激振动模型，得到了产生稳定自激振动的条件。文献［9－10］研究表明电机谐波分量的存在使传动系统产生非线性扭振响应，形成速度控制系统与轧辊回转运动系统的机电耦合。目前，国内外对电气扰动、结构参数、轧制张力波动等影响下的多自由度轧机主传动系统非线性扭振特性的研究还不够深入。

建立了含参激多自由度非线性扭振系统的一般形式的动力学方程，求解了该系统的幅频响应方程。以某厂轧机主传动系统为实际算例得出系统在非线性刚度、非线性阻尼、接轴倾角、扰动力矩以及轧制张力波动变化下的组合共振、超谐波共振及亚谐波共振幅频曲线，其中以张力波动尤为明显，因此在实际中应注意对轧制张力的控制，从而抑制轧机扭振，保持轧机平稳运行。研究结果为研究此类轧机传动系统非线性扭振系统动力学行为提供了理论参考。

1 轧机多自由度传动系统模型

1.1 模型建立

考虑板带轧机主传动系统在高速稳态轧制下对系统主传动系统进行动力学建模。将轧机传动系统简化为多自由度非线性扭振动力学模型（见图1）。

图1 多自由度轧机传动系统扭振模型Fig．1 Torsional vibrationmodel ofmulti-dof rollingmill drive system

图1中，θi为转角，i＝1，2，…，n；ci为阻尼，ki为刚度，i＝1，2，…，n－1；Ji为等效转动惯量，i＝1，2，…，n。ω为电机端的角频率，接轴倾角为α，KNL为接轴的非线性刚度，CNL为接轴上的非线性阻尼，ψ1、ψ2分别为接轴部分的输入端和输出端的转角。

根据已知接轴输入输出端角位移动力学关系［11］可以得出

式中：Δθ为接轴两端相对转角。

考虑轧辊端前张力TF以及后张力TB对轧制力矩的影响，可得

式中：R为轧辊半径，考虑张力波动，故轧制波动力矩可取Δ（TB－TF）R，Δ为张力波动系数。

随着互联网和数据库技术的发展，国内外在参考文献管理系统的研究上也取得一定的成果，研发了专业的参考文献检测系统。国际上知名的参考文献管理软件包括Endnote(SCI汤姆森路透)、Mendeley，国内有单机版NoteExpress 和西安三才研发的网络版NoteFirst。将参考文献输入检测系统，系统自动将参考文献与权威数据库进行数据比较，逐条验证数据的准确性,并提供修改意见。

这样由图1可以得到轧机多自由度传动系统非线性扭振动力学表达式

式中：J为系统的转动惯量矩阵，C为系统的结构阻尼矩阵，K为系统的刚度矩阵，F为系统的激振力矩阵。则F可写为

1.2 坐标变换下的非线性扭振模型

2 非线性方程求解

3 算例分析

以某厂1780轧机主传动系统为例，将其简化为四自由度模型，从左至右依次为电机端、电机端接轴、轧辊端接轴以及轧辊等效转动惯量，并取如下参数：

3.1 超谐波共振

考虑稳态响应，有a′＝0，γ′＝0，则式（12）和式（13）化为

选择不同系统参数时，会得到不同的超谐波共振幅频响应曲线。当非线性刚度KNL变化时，曲线变化（见图2），图中KNL单位为108Nm／rad，从图中可以看出非线性刚度对系统振动有较明显的影响，随着KNL的增大，曲线弯曲程度加大，振幅有所减小，共振区域也会增大。

图2 非线性刚度变化的超谐波幅频响应曲线Fig．2 Response curve of super harmonic resonance amplitude frequency under changes of nonlinear stiffness

图3为系统非线性阻尼CNL变化下，系统的超谐波共振幅频响应曲线，CNL的单位为103Ns／m，CNL从3．061到10．304变化过程中，振幅明显减小，且共振域也随之明显减小，但弯曲程度保持不变。由此可见，非线性阻尼CNL对系统扭振影响较大。

图3 非线性阻尼变化的超谐波幅频响应曲线Fig．3 Response curve of super harmonic resonance amplitude frequency under changes of nonlinear damping

图4 电机扰动力矩变化的超谐波幅频响应曲线Fig．4 Response curve of super harmonic resonance amplitude frequency under changes ofmotor disturbance torque

图5为轧制张力波动下的系统超谐波共振幅频响应曲线，Δ为张力波动系数。图中可以清楚的看出，随着Δ的增大，共振区域显著增大，振幅也会增大。可见，轧制张力波动对系统扭振影响较大，实际生产中应注意对轧制张力的控制，从而抑制轧机扭振，保证轧机平稳运行。

图5 轧制张力波动下的超谐波幅频响应曲线Fig．5 Response curve of super harmonic resonance amplitude frequency under changes of rolling tension fluctuation

此外，当在可行范围内改变接轴倾角度数时，对系统超谐波共振没有影响。

采用Runge-Kutta法对图2中KNL＝3．343×108Nm／rad，取调谐参数σ＝2对系统出现超谐波共振的情况进行数值仿真，解析解与数值解相接近，且反映出了幅值跳跃现象（见图6）。

图6 KNL＝3．343×108Nm／rad，调谐参数σ＝2 rad／s时，系统超谐波共振时间历程图Fig．6 Time domain curve of super harmonic resonance under KNL＝3．343×108Nm／rad and the tuning parameterσ＝2 rad／s

3.2 亚谐波共振

改变系统参数时，可以得到不同的亚谐波共振幅频曲线（见图7～图10）。由图7可知非线性刚度KNL对振幅的大小、曲线的弯曲程度和共振域的大小都有很大的影响，图中KNL单位为108Nm／rad，随着KNL的增大，振幅增大，骨干曲线向右偏移且共振域增大。图8描绘了不同非线性阻尼的亚谐波共振幅频曲线，单位为103Ns／m，可见CNL仅对振幅的大小有影响，对曲线的弯曲程度没有影响，且不影响骨干曲线。随着CNL的减小，振幅会增大，且共振域也会增大。图9为电机扰动力矩变化的幅频曲线，单位为105Nm，扰动力矩变化对系统仅有微弱的影响，共振域也会随之略有增大。图10为轧制张力波动的亚谐波共振幅频曲线，可见张力波动对振幅影响较大，随着张力的增大，振幅明显变大，且共振域也随之增大，曲线弯曲程度保持不变，且不影响骨干曲线。

图7 非线性刚度变化的亚谐波共振幅频响应曲线Fig．7 Response curve of sub harmonic resonance amplitude frequency under changes of nonlinear stiffness

图8 非线性阻尼变化的亚谐波共振幅频响应曲线Fig．8 Response curve of sub harmonic resonance amplitude frequency under changes of nonlinear damping

此外，当在可行范围内改变接轴倾角度数时，对系统亚谐波共振也没有影响。

采用Runge-Kutta法对图7中KNL＝3．343×108 Nm／rad，取调谐参数σ＝1对系统出现亚谐波共振的情况进行数值仿真，解析解与数值解相接近，且反映出了幅值跳跃现象（见图11）。

3.3 组合共振

图9 电机扰动力矩变化的亚谐波共振幅频响应曲线Fig．9 Response curve of sub harmonic resonance amplitude frequency under changes ofmotor disturbance torque

图10 轧制张力波动下的亚谐波共振幅频响应曲线Fig．10 Response curve of sub harmonic resonance amplitude frequency under changes of rolling tension fluctuation

图11 KNL＝3．343×108Nm／rad，调谐参数为1 rad／s／时，系统亚谐波共振时间历程图Fig．11 Time domain curve of sub harmonic resonance resonance under KNL＝3．343×108Nm／rad and the tuning parameterσ＝1 rad／s

以2Ω1+Ω2≈ω0分析组合共振，此时令2Ω1+Ω2≈ω0+εσ，σ＝ο（1），记（2Ω1+Ω2）T0≈ω0T0+σT1，则消除久期项的条件为

图12 非线性刚度变化的组合共振幅频响应曲线Fig．12 Response curve of combination resonance amplitude frequency under changes of nonlinear stiffness

图13 非线性阻尼变化的组合共振幅频响应曲线Fig．13 Response curve of combination resonance amplitude frequency under changes of nonlinear damping

图14 电机扰动力矩变化的组合共振幅频响应曲线Fig．14 Response curve of combination resonance amplitude frequency under changes ofmotor disturbance torque

图15 轧制张力波动下的组合共振幅频响应曲线Fig．15 Response curve of combination resonance amplitude frequency under changes of rolling tension fluctuation

图16 KNL＝3．343×108Nm／rad，调谐参数为σ＝3 rad／s／时，系统组合共振时间历程图Fig．16 Time domain curves of combination resonance under KNL＝3．343×108Nm／rad and the tuning parameterσ＝3 rad／s

改变系统参数时，可以得到不同的组合共振幅频曲线（见图12～图15）。由图12可以看出非线性刚度KNL对振幅的大小、曲线的弯曲程度和共振域的大小都有很大的影响，图中KNL单位为108Nm／rad，随着KNL的增大，振幅增大，骨干曲线向右偏移且共振域增大。图13描绘了不同非线性阻尼的组合共振幅频曲线，单位为103Ns／m，可见CNL仅对振幅的大小有影响，对曲线的弯曲程度没有影响，且不影响骨干曲线。随着CNL的减小，振幅会增大，且共振域也会增大。图14为电机扰动力矩变化的组合共振幅频曲线，单位为105Nm，扰动力矩变化对系统仅有微弱的影响，M增大时，振幅和共振域轻微增大。图15为轧制张力波动的组合共振幅频曲线，可见张力波动对振幅影响较大，随着张力的增大，振幅明显变大，且共振域也随之增大，曲线弯曲程度保持不变，且不影响骨干曲线。

此外，当在可行范围内改变接轴倾角度数时，对系统组合共振也没有影响。

采用Runge-Kutta法对图12中KNL＝3．343×108 Nm／rad，取调谐参数σ＝3对系统出现组合共振共振的情况进行数值仿真，解析解与数值解相接近，且反映出了幅值跳跃现象（见图16）。

4 结 论

（1）建立了电机扰动力矩和轧制负载力矩共同作用下的含参激轧机多自由度传动系统非线性扭振动力学模型，并通过坐标变换得到其等效非线性扭振方程。

（2）应用多尺度法分别得到了轧机在周期扰动力矩激励和轧制负载力矩共同作用下的超谐波共振、亚谐波共振以及组合共振的幅频响应方程。

（3）通过实际算例参数仿真，得到了轧机传动系统非线性刚度、非线性阻尼、接轴倾角、电机扰动力矩以及轧制力张力的变化对系统超谐波共振、亚谐波共振以及组合共振的幅频特性响应的影响以及变化规律，其中以张力波动的影响尤为明显，实际生产中应注意对轧制张力的控制，从而抑制轧机扭振，保证轧机平稳运行。文中采用数值仿真与解析结果相比较，验证该解析方法的有效性。研究结果为外扰影响下含参激轧机传动系统扭振特性的研究提供了一定的理论参考。

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Non-main resonance characteristics of nonlinear torsional vibration of rolling m ill'smulti-degree-of-freedom main drive system

SHIPei-ming1，XIA Ke-wei1，LIU Bin1，HOU Dong-xiao2
（1．College of Electrical Engineering，Yanshan University，Qinhuangdao 066004，China；2．Department of Automatic Engineering，Northeastern University at Qinghuangdao，Qinghuangdao 066004，China）

Considering the influence caused by the parametric excitation，the nonlinear torsional vibration equations ofmulti-DOF rollingmill'smain drive system were established．To analyze the coupled equations by analyticmethod，the equations were decoupled by transforming them into principal coordinates．The amplitude-frequency characteristic equation was obtained by solving the dynamical equation usingmulti-scalemethod．Furthermore，a numerical example based on the main drive system of 1780 rollingmill in some Steel Co．was given to illustrate the effects of resonance on response of the system．The influences on amplitude frequency characteristics of super-harmonic resonance，sub-harmonic resonance，and combination resonance under the changes of parameters like nonlinear stiffness，nonlinear friction damping，joint angle，torque disturbance and rolling tension were analysed．The numerical simulation indicates that the analytic method is proved to be valid when comparing the results by the numericalmethod and themulti-scalemethod．The results provide theoretical basis and reference to analyzing torsional vibration of rolling mill's transmission system caused by outside disturbance．

multiple degrees of freedom；main drive system of rollingmill；rolling tension fluctuation；combination resonance

O322

A

10．13465／j．cnki．jvs．2015．12．007

国家自然科学基金（51005196）；河北省自然科学基金钢铁联合基金（E2012203194，E2014501006）

2013－07－11 修改稿收到日期：2014－04－03

时培明 男，博士，副教授，1979年生邮箱：spm＠ysu．edu．cn