文科数学中线性代数一章内容结构的改革与实践

李琼

【摘要】由于线性代数理论性很强，再加上课时少，因此造成学生难学，老师难教。笔者通过多年文科数学的教学，对文科数学中线性代数一章的教学方法、学习技巧进行了探讨和总结，希望能与同行之间交流与合作，进一步提高文科数学的教学质量。

【关键词】文科数学 线性代数 行列式 矩阵 线性方程组

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）02-0006-01

引言

为适应高校培养精文智理的应用型、复合型高级文科专门人才的需要，自1993年以来，全国90%的高校在文科学生中开设了数学课程。目前国内大学文科数学课程的主要讲授内容为微积分、线性代数和慨率与数理统计三部分，这些内容作为面向文科专业学生的唯一一门大学数学课程来讲，存在很多不足，文针对这些问题就线性代数一章的内容结构提出了几点建议和改进措施。

1 线性代数在文科数学中的重要性及教学现状

《线性代数》是我国高等教育教学中涉及学生面范围最广的基础课之一，其重要性不仅在理工类、经济类以及其它社会科学类专业的教学计划及课程设置上得以体现，而且其课时量在文科类专业中有增长的倾向。

线性代数的主要研究对象为矩阵，所使用的最基本方法就是初等变换。初等变换是《线性代数》中最基本也是最重要的概念之一，它贯穿于《线性代数》这门课程的始终。在新近出版的不少文科类学生用数学教材中对该章教学内容及其结构也进行了必要的调整。但在教学中仍存在的如下的问题：第一，大学文科类数学教材基本上是理工科类教材的缩写，内容庞杂、面面俱到但论述不详细；第二，体系结构不尽合理，造成理论前后借用；第三，条理性不强，定理用途不明确。

鉴于上述情况，笔者在文科数学教学中对线性代数一章内容结构进行了调整，并且在03级英语、旅游管理专业2个班的《文科数学》课程教学中进行了尝试。

2 线性代数一章内容结构的调整

线性代数学习的主要内容为行列式、矩阵、线性方程组。在这些知识中解线性方程组是一条主线，各类知识的引入都均可通过解线性方程组引入。下面介绍笔者在线性代数各个主要知识点的处理。

1）行列式部分内容的处理：首先说明三阶行列式展开后的每一项都是取自不同行不同列上的三个元素的乘积，再说明其中三项取正号，三项取负号。其次对于行列式的性质，将其划分成两大不同的类别。教学中通过让学生计算上、下三角行列式、两行或列成比例的行列式的值，让学生找出它们的特征，然后再总结出其特点：上三角形行列式主对角线下方元素全为零的行列式称为上三角形行列式；下三角形行列式主对角线上方元素全为零的行列式称为下三角形行列式；对角形行列式主对角线上方、下方的元素全为零的行列式称为对角形行列式；然后再给出行列式的第一大类性质：（1）如果行列式中有一行（或列）的全部元素都是零，那么这个行列式的值为零；（2）如果行列式中两行（或列）对应元素全部相同，那么行列式的值为零；（3）行列式中如果两行（或列）对应元素成比例，那么行列式的值为零；（4）行列式中一行（或列）的每一个元素如果可以写成两数之和那么此行列式等于两个行列式之和。

运用行列式的其他性质可以改变行列式的内部结构使其变成特殊的行列式以便于行列式的计算。

2）矩阵部分内容处理：矩阵的初等变换是这部分内容的难点，可由求逆矩阵引入。通过实例验证矩阵的初等变换是一种运算的替代，即矩阵的行（列）变换的效果与在矩阵的左（右）边乘以一个特殊矩阵的结果是相同的。从而引出矩阵的三种初等变换。

3）线性方程组部分的内容处理：先给出非齐次、齐次线性方程组的典型例题然后让学生归纳解的判断定理，提出问题：当非齐次线性方程组有无穷多组解时怎样才能把这无穷多解求出来？ 通过实例线性方程组的增广矩阵经过行的初等变换后已能判断方程组有无穷多解，变换后的方程组中有用的方程个数比未知数个数少（n-r）个，要想求出方程组的解只要给（n-r）个未知数赋值就能求出其解来，从而引出自由未知量的概念。

向量内容教学难点是向量的线性关系。这部分知识是线性方程组解的知识迁移后重新定义的，因此它和线性方程组的解有对应关系。先把线性方程组写成向量的代数和形式，则方程组有无解就是某个向量是否可由向量组线性表示；其次方程组只有零解、有非零解则与向量组线性无关、线性相关相对应。既然解线性方程组要用矩阵解决，那么讨论向量组的一些相关性也可以用矩阵解决了。

线性方程组解的结构也是教学中的一个难点，对于方程组解的结构特征学生们是可以理解的，但在实际操作过程中学生对设向量不能理解。为此在教学中采用由特殊到一般的教学方法：即非齐次方程组的特殊情况就是齐次方程组。

3 结束语

笔者在近几年的文科类数学的教学实践中，通过对这部分内容的教学结构做如上调整，即解决了线性代数这一章内容多、学时少的矛盾，又使调整后的内容更加连贯，衔接更加合理。教学中老师重点要讲怎样理解知识点，特别对学生理解较困难的知识点要进行整合并用最通孰的语言讲给学生听，这样的教学才能达到理想的效果。以上是我教学中部分知识的处理，供大家讨论。

参考文献：

[1]赵树嫄.线性代数.中国人民大学出版社.

[2]黄廷祝 成孝予. 线性代数. 高等教育出版社.

[3]同济大学. 线性代数.高等教育出版社.

[4]华宣积. 文科高等数学. 复旦大学出版社

[5]任立民 文科线性代数教学实践与思考 中国科技信息2011 年第8期