浅谈判断机械能守恒的条件

杨定国

在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变，这叫做机械能守恒定律。机械能守恒定律是力学中的一条重要定律，是普遍的能量守恒定律的一种特殊情况。学生对此规律的适用条件很难理解到位，笔者根据多年的教学经验从动能定理推导出机械能变化再到守恒条件的应用，学生对此更容易接受。

一、公式推导

如图所示，物体从位置1运动位置2

由动能定理，W合=mv22-mv12

W合=WG+W（除G）

其中WG=-mg（h2-h1）

得W（除G）=mv22+mgh2-（mv12+mgh1）

W（除G） 表示除重力以外外力对物体做功的代数和，mv22+mgh2-（mv12+mgh1）表示物体机械能变化量

即W（除G）=△E机

若W（除G）>0，E增加

若W（除G）<0，E减少

若W（除G）=0，E不变即守恒

所以物体机械能是否守恒取决于除重力以外外力做功，而跟物体的运动状态无关。

二、具体情形

1.单个物体和地球组成系统机械能守恒条件是除重力外其他力不做功或做功为零。分两种情况：

（1）只受重力作用（如不考虑空气阻力作用的所有的抛体运动）；

（2）受其他力，但其它力不做功（如沿光滑固定斜面下滑）。

2.两个或两个以上物体组成系统机械能守恒件是只有重力做功。

常见有以下几种情形：

情形1：如右图，若m1>m2，静止释放后（不计空气阻力），m1下降，设绳子张力为F，下降距为L，绳子张力对它做功为W1=-FL，所以m1机械能减小，m2上升绳子张力做功为W2=FL，机械能增加，因为W1+W2=0，所以系统只有重力做功，系统机械能守恒，单个物体机械能不守恒。

情形2：如右图，所有接触面光滑，物体静止释放后，设物体之间的弹力为FN，运动过程中弹力对物体做功为WFN=FL1cosθ1，因为θ1为钝角，所以机械能减少，弹力对斜面体做功为WFN′=FL2cosθ2，因为θ2为锐角，所以斜面体机械能增加，又因为|L1cosθ1|=L2cosθ2，所以WFN+WFN′=0，即系统只有重力做功。故单个物体机械能皆不守恒，但系统机械能守恒。

3.轻质弹簧和物体、地球组成系统守恒条件，只有重力和弹簧弹力做功，则系统机械能守恒。

物体从一定高度自由落下（不计空气阻力）物体接触弹簧后，弹簧弹力对物体做负功，物体机械能减少，弹簧形变量在变大，故弹簧弹性势能增加，系统只有重力和弹簧弹力做功，故系统机械能守恒。从开始到最低点过程中，根据系统机械能守恒：

△E减=△E增即mg（h+x）=kx2 （h>0），

所以kx2>mgx得kx>2mg

即最低点a==>g

综上所述判断单个物体机械能守恒的条件是只有重力做功，而物体和弹簧组成的系统机械能守恒的条件是只有重力和弹簧弹力做功。