教学技巧 关于培养学生“数感”的再思考

洪兴圣

[摘 要] “数感”的培养对于提高学生数学素养、数学地理解和解释现实问题、提出问题和解决问题有重要意义. 教师在教学过程中应有意识地结合有关内容从体验和理解数与运算的意义，加强口算和估算，提倡算法多样化，提供用数表达和交流信息的机会，解决实际问题等方面不断加强对学生“数感”的培养.

[关键词] “数感”；数学素养；意识；策略

“数感”并不是一个新的概念，它是指一种主动地、自觉地或自动化地理解数和运用数的态度与意识. 在一些发达国家和地区的课程目标中，其早就被作为公民必备的数学素养而得到重视. 但在我国，《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）是第一次明确把它作为数学学习的内容明确提出. 《标准》在总体目标中提出，让学生“经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维”. 在内容标准的第一学段提出：“通过观察、操作、解决问题等丰富的活动，感受数的意义，体会数用来表示和交流的作用，初步建立数感. ”在第二学段又提出：“通过解决实际问题进一步培养学生的数感. ”可见，理解“数感”，让学生在数学学习过程中建立“数感”是《标准》十分强调和重视的问题.

培养“数感”的意义

“人人学有价值的数学”是《标准》的一个基本理念. 义务教育阶段的数学教育目的在于提高学生的数学素养. 大多数学生将来不会成为数学家或数学工作者，但每个学生都应建立一定的“数感”，这对他们将来的生活和工作都有价值. 而且培养学生“数感”的目的在于使学生学会“数学地”思考，学会用数学的方法理解和解释现实问题.

《标准》认为“数感”表现在：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数表示和交流信息；能为解决问题选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释.

《标准》将培养学生的“数感”作为一个重要的目标，在不同的学段中提出不同层次的要求，这对于克服传统的数学教育的弊端、推进课程改革、体现义务教育阶段数学教育的目标起着十分重要的作用. 笔者认为至少表现在以下三个方面.

1. “数感”的建立是提高学生数学素养的重要标志

作为数学素养之一的“数感”，不只是用计算能力的高低和解决书本问题能力的强弱来衡量. 学会“数学地”思考问题，用数学的方法理解和解释实际问题，能从现实的情境中看出数学问题，这是数学素质的重要标志. 如，到商场买牛奶，每盒1.9元，身上带了50元钱，想买一箱（24盒），是否够买？“数感”较强的人便能从这样一个现实情境中看出这是一个估值比较的问题，会用25×2=50（元）或24×2=48（元）很快估算出：够买！注重“数感”的培养有利于克服以往数学教育过分强调单一知识技能训练，忽视数学与现实之间的联系，忽视数学的实际运用这些不良倾向. 而且，也有利于培养学生的创新精神和实践能力.

2. “数感”的培养有助于学生数学地理解和解释现实问题

培养“数感”就是让学生更多地接触和理解现实问题，有意识地将现实问题与数量关系联系起来. 如，一个学校有2000人，每个学生每天浪费一粒米，估计一下，一年要浪费多少粒米；大约有多少千克；可以解决多少人的温饱问题. 对这样一些问题的理解也就是一个“数学化”的过程，学生在这个过程中能逐步学会数学地认识和理解现实问题.

3. “数感”的培养有利于提出问题和解决问题能力的提高

要使学生能从现实情境中提出问题，找出数学模型，就需要具备一定的“数感”，学会将一个生活中的问题转化成一个数学问题，这种思维方式与一般的解决书本现成问题的思维方式存在着明显的差异. 学生遇到具体问题时，自觉、主动地与一定的数学知识和技能建立起联系，这样才有可能建构与具体事物相联系的数学模型. 具备一定的“数感”是完成这类任务的重要条件. 如，苏苏买了两个不同品种的鸡，一种买了20只，结果养活了16只，另一种鸡买了30只，结果养活了22只，哪一种鸡更容易成活一些？如能将这样一个现实生活中的问题自觉地与百分率这一数学知识建立联系，转化成百分数中的成活率比较问题，就是建立了一种解决实际问题的数学模型，只有具备一定的“数感”才能有效地解决这样的实际问题.

只有认识到培养“数感”的意义，才能自觉地在教学过程中结合具体的教学内容，有意识地设计具体目标，提供有助于培养学生“数感”的情境，有利于发展学生“数感”的评价方式，以促进学生“数感”的建立和数学素质的提高.

在教学过程中培养“数感”的几

条途径

学生“数感”的建立不是一蹴而就的，是在学习过程中逐步体验和建立起来的. 教学过程中应当有意识地结合有关内容不断加强对学生“数感”的培养.

1. 创设生活情境，感受、体验和理解数与运算的意义

弗赖登塔尔认为：“数学源于现实，又扎根于现实. ”脱离现实生活的数学教学是没有生命力的，培养“数感”也就成为“空中楼阁”. 我们所面对的学生并非像一张白纸那样步入教室，而是具备了一定的生活经验，形成了许多朴素的认识，这些都构成学生进行学习的“数学现实”. 教师所要做的便是创设生动、有趣的情境，激活学生的经验积淀，激发学生积极地体验知识的形成过程.

（1）联系生活实际，从理解数、表示数、数与数之间的关系中初步建立“数感”

数的概念的切实体验和理解与“数感”密切相关，让学生在认识数的过程中，更多地接触和经历有关的情境和实例，在现实背景下感受和体验，会使学生更具体、更深刻地把握数的概念，建立“数感”. 《标准》强调：“要引导学生联系自己身边具体有趣的事物，通过观察、操作、解决问题等丰富的活动，感受数的意义，体会数用来表示和交流的作用，初步建立数感. ”在认识数的过程中，让学生说一说自己身边的数、生活中用到的数、如何用数表示周围的事物等，会使学生感到数学就在自己身边，运用数可以简单明了地表示许多现象. 如认识“1”时，可以先请学生说出现实生活中用“1”表达的事物. 学生列举出：1个苹果、1只小鸟、1棵树、1根小棒、1个国家、1粒葡萄、1串葡萄、1捆小棒……随后引导学生数出几粒葡萄是一串？几根小棒是一捆？帮助学生理解“1”可以表示1个个体（1根小棒），也可以表示这类个体的1个集合（1捆小棒）；可以表示很大的物体（1个国家），也可以表示很小的物体（1粒葡萄）. 既而渗透“1”中有多，多中有“1”的思想. 认识大数，更要注意观察、体会大数的情境，了解大数在现实生活中的应用. 如，估计一个操场大约能站多少人，一个电影院大约能容纳多少人；看一段足球录像，感受一个体育场有几万人，一万人大约有多少；如果一个班50人，一所学校20个班级，全校学生在一起做操要多大的操场？一万人大约是多少个班？多少所学校？通过把一张纸对折、对折、再对折平均分成2份、4份、8份来感知和认识分数，联系温度计的刻度数，了解负数的意义，等等.endprint

（2）从具体情境中引入运算的意义，促进“数感”的建立

在运算意义的教学中，要克服传统的从概念演绎到形式化训练的弊端. 立足现实生活，把课本中静态呈现的运算问题“还原”到有关学生熟悉的与学生生活贴近的实际问题中去，在现实情境中动态、生动地揭示有关运算问题. 如在“没有括号的乘法和加减混合运算”一课，创设超市购物的具体情境，一个学生当售货员，一个学生当顾客，并讨论：如果你是售货员，顾客买6包方便面（每包3元），付给你20元，够不够？应找回多少元？学生依据生活经验和原有知识基础，分步解决了这两个问题，再引导学生合并成一个算式20-6×3，接着引导学生思考：能不能从左往右算，该怎样算？学生结合刚才解决实际问题的过程，很自然地得出：先算乘法，再算减法，最后让学生思考：买8包方便面，付给20元够不够？还差多少元？学生结合购物实际，便能得出：一个算式中有乘有减，不论乘法在前还是在后，都是先算乘法，再算减法. 在具体、熟悉的生活情境中，学生体会到了混合运算的意义，经历了实际问题中建立数学模型、解释、应用的过程，而不是“单纯的技能训练”，避免了将运算与应用割裂开来，体会到了数学的价值，有利于培养学生将实际问题与数建立关系的能力，而这正是一种“数感”.

2. 重视口算，加强估算，提倡算法的多样化

对运算方法的判断、运算结果的估计，都与学生的“数感”有密切的关系. 如果在当今科技高速发展的时代，计算教学的目的仅仅局限于计算本身，把计算作为专门的技能来进行操练，这显然是不够的. 正如美国国家研究委员会关于《人人关心数学教育的未来》致国民的一份报告中指出的：“今天一个数学本领仅限于计算的人，几乎没有什么可贡献于当今的社会，因为廉价的计算器就能够把事情办得很好. ”因此，当务之急是从单纯的技能、繁杂计算和程式化的叙述算理中摆脱出来，从时代的要求和学生发展的高度审视我们今天的计算教学. 从世界各国的教学改革趋势看，“重视口算、加强估算，提高算法的多样化”是培养良好“数感”、提高数学素养的良策.

（1）鼓励个性化、多样化的口算方法，培养学生的“数感”

口算就是心算，它是基于个人对数的基本性质和算术运算的理解. 心算为个性化、多样化地解决问题提供了机会. 心算不作为笔算的台阶，而是一种不同的训练. 心算是“用你的脑子算”，而不是“在你的脑子里算”. 心算在日常生活中经常用到，具有很大的实践意义，而且，心算可以发展高层次的数学思维，以及解决实际问题，是“数感”发展过程中的一个重要组成部分. 从这个意义上看，口算的算法绝不能仅仅局限于现行教材中介绍的单一的口算方法，或所谓“最简便的算法”. 因为，学生生活背景和思考角度存在着较大的差异，而这种差异又决定了学生对计算方法的理解和选择，不同的算法正反映了学生不同的个性. 教师应当切实了解不同学生的学习特点；帮助他们发现适合自己思维习惯的计算方法，从而促进他们个性化学习方式的形成. 因此，只有提倡算法的多样化，才能使每个学生获得必需的数学，使不同的学生在数学上得到不同的发展. 如“两位数加两位数的口算”，教材仅介绍了一种方法：先用第一个两位数加第二个两位数的整十数部分，再加上个位上的数. 其实，依据学生的知识基础，完全可以有多种算法. 所以有教师在教学中让学生根据本班男、女生人数编题、列式：24+18，然后让学生独立尝试口算，鼓励学生尽量用多种方法进行口算，让学生充分暴露思维过程. 学生共得到以下一些解题策略：①24+10=34，34+8=42；？摇②24+8=32，32+10=42；③24+6=30，30+12=42；④20+10=30，4+8=12，30+12=42；⑤20+18=38，38+4=42；⑥18+2=20，20+22=42；⑦24+20=44，44-2=42……在学生的交流中，几乎每个学生都至少找到一种口算方法，最多的找到了五种方法. 学生通过个性化的思维活动，无疑增强了理解数、把握数的能力，发展了对数的感受，丰富了解决问题的策略，这远比教师灌输来得深刻、有用.

（2）发展估算意识和策略，培养良好的“数感”

估算可以发展学生对数的认识，能够培养学生对数和数的关系的一种良好直觉. 同时，估算也具有重要的实用价值，在实际生活中，很多情况下并不需要知道精确的结果，教师应不失时机地培养学生的估算意识和初步的估算技能. 不同的学生，估算策略可能不同，教师应组织学生交流各自的方法，比较各自估算的结果，逐步发展学生的估算意识和策略. 如有位三年级教师结合学校组织秋游，编制了这样的试题：“学校准备组织同学们去秋游，乘车费每人16元，门票费每人28元，盒饭每盒5元，每人大约要预交多少钱？”学生有的把16元看做15元与5元凑成20，把28元看作30元，20+30=50元；有的把它们都看做整十数：20+30+10=60元；还有的把16，28看作整十数：20+30+5=55元. 教师应尊重学生各自的算法，让学生充分暴露自己的思维过程，在交流中互相比较各自估算的结果，体会哪一种算法更接近准确数，从而发展学生的估算能力和良好的“数感”.

3. 在数学活动中提供充分的用数表达和交流信息的机会

善于从数学的角度来观察和思考是用数表达和交流信息的前提. 有意识地在表达和交流中运用数来传递信息，提高表达的准确性、有效性是良好“数感”的重要表现. 在观察和思考的基础上，教师再创设民主氛围，提供交流的时间和空间，便能为发展学生的“数感”创造良好的条件. 首先，教师应积极引导学生观察身边的事物，有哪些是用数字描述的，如你的学号，马路两侧的门牌号码按奇数、偶数排列等；其次，教师还应当做一个有心人，积极地挖掘学生身边与数有关的事物，引导学生用数进行描述交流，如学校开家长会，你怎样用数来描述你所坐的位置，让家长能很快找到你的座位，可用有序数对表示；再逐步引导学生独立思考：有哪些可以用数或数码来描述，如2002年世界杯期间，要求学生注意观察比赛中有哪些是用数描述或与数有关的. 然后，专门组织一次“世界杯中的数学”活动课. 学生们的交流丰富多彩：共32支球队，分成8个小组，第一轮先进行循环赛，每个队赛3场，每组共赛6场，胜1场积3分，平1场积1分，负1场0分，在别人用数描述的同时，学会认真倾听，并不断地从别人对某些数量的描述中发现问题、提出问题，教师还应不失时机地选择并呈现这些问题. 如有没有可能三个队积分相同？要出线至少得几分？胜几场就可以提前出线？每队胜的可能性有多大？进入第二轮淘汰赛后，一共还要赛多少场？一个队想要夺冠，还要赛多少场？……在此基础上激起学生积极思考，促进交流的继续和升华. 学生在这样的交流过程中，会不断地把实际问题与数联系起来，选择适当的算法，并适时地提出合理的结果是什么，以及结果为什么是合理的. 当学生对数学问题能做出合理的判断时，他就能在思维过程中适时调整解题策略，逐步形成一种对数和数的关系的一种良好的态度和意识，这便是“数感”的发展.endprint

4. 在解决实际问题中，进一步发展学生的“数感”

研究表明：能将数概念和运算与自然现象、生活经验、实际问题建立联结是增强“数感”的有效途径. 在教学中，教师应充分利用学生已有的生活经验，随时引导学生把所学的数学知识应用到生活中去，解决身边的实际问题，了解数在现实生活中的作用，体会数学的重要性. 在解决实际问题过程中，教师应不断地让学生体验到数与生活千丝万缕的联系，促进学生将具体问题与数学模型之间建立联系，选择适当的算法，在教师的引导下，逐步解决实际问题，并对结果的合理性做出解释. 如教师设计的“租车方案”一课中，有这样一个问题：27位同学乘车去旅游，可供租的车辆有两种，一种可乘8人，另一种可乘4人. （1）请你设计几种租车方案；（2）第一种车的租金是300元/天，第二种车的租金是200元/天，哪种方案费用最少？在解决这个问题的过程中，学生就要对数的大小进行比较，对运算及结果进行准确地感知和运用. 如，有学生用乘法算：3×8=24<27，3辆较大车不够，肯定要4辆；而对数的大小较敏感的同学会发现4×8-27=5，有5个座位浪费着，这也就造成了费用的浪费；也有学生选择除法：27÷4=6（辆）……3（人）说明租较小车6辆不够，需7辆……这些都反映出学生对数与运算的理解及运用. 解决第二个问题时，就需要对找出的答案做出合理的解释. 如引导学生运用奇、偶数知识来判断是否有可能正好坐满车子，学生思考后发现，4和8都是偶数，它们的倍数也一定是偶数，而27是奇数，所以，肯定有座位浪费，并算出至少浪费一个座位. 引导学生思考租哪一种车更便宜，开始有同学从总价上来看，认为租第二种车便宜. 引导学生从座位数多少上来看，第一种车坐8人，第二种车坐4人，学生马上发现：这样比较不合理，那应该怎样比呢？学生就要从已学过的运算意义中搜寻合理的算法，最终发现从“平均分”的角度思考，即用除法计算出平均每人所需费用比较合理，从而发现，租第一种车更合算. 但学生通过第（1）题的计算发现：如都租第一种车造成的浪费很多，因此，还要考虑尽可能少地浪费座位……在解决问题的过程中，学生充分运用数与运算的知识，不断比较数的大小关系，不断修正和完善自己的算法，最终找到了合理的算法，并对结果做出了合理的解释，还从中逐步抽象出解决问题的数学模型，领悟到“最优化”的思想方法，充分发展了学生的“数感”.endprint