在生成过程中获取真知——正比例函数的图像和性质的教学设计与点评

☉重庆市教育科学研究院 张晓斌

☉重庆市璧山中学王伟

在生成过程中获取真知
——正比例函数的图像和性质的教学设计与点评

☉重庆市教育科学研究院 张晓斌

☉重庆市璧山中学王伟

一、写在前面

由正比例函数的解析式画出函数图像，再由正比例函数的图像归纳出正比例函数的性质，是研究特殊函数的途径，对以后研究其他一般函数都有积极的意义.由于是学生初次研究一种特殊函数的图像及其性质，教学中要特别注意处理好以下问题.

1.处理好为什么正比例函数的图像是一条直线

图像是研究函数性质的基础，尤其是画第一个函数y=2x的图像时，人教版八年级下册教材只选取了（-3，-6）、（-2，-4）、（-1，-2）、（0，0）、（1，2）、（2，4）、（3，6）等这样的7个整数点的坐标，通过观察这几个点的坐标位置，判断正比例函数的图像是一条直线.但作为初学者是否会产生这样的疑问：这些整数点之间是否是曲线连接的呢？为此，可在点（0，0）与（1，2）之间的一段采用“逐步细化”的方法：（1）在（0，0）与（1，2）之间找出10等分点，画出y= 2x的图像的一段；（2）在（0，0）与（1，2）之间找出20等分点，画出y=2x的图像的一段；依次类推，乃至100等分点、1000等分点、…，从而说明点（0，0）与（1，2）之间是直线连接起来的.在这个过程中，由具体一段函数图像的变化研究，让学生体验，随着点数的不断增加，让学生体会正比例函数的图像是如何由曲线变成直线的，进而说明y=2x的图像是一条直线.如果没有这样的“逐步细化”的过程，是很难说明正比例函数的图像是一条直线的.

2.处理好“数形结合”思想方法的渗透

“数形结合”思想方法是研究函数的一般方法，提出如下问题供学生思考，一是从数看形：（1）在画函数图像时，使函数图像位置发生变化的量是x、y、k中的哪个量？（2）这个量是如何影响正比例函数值的变化和正比例函数图像的呢？（3）为什么k＞0时，图像经过一、三象限？为什么k＜0时，经过二、四象限？二是从形看数：当图像经过一、三象限时，你能获得哪些信息？经过二、四象限呢？这个过程中要使学生充分发表意见，最好采取小组交流、合作讨论的形式，尽可能得出更多的结论，这样学生对正比例函数的认识才是全面的、深刻的.

二、教学目标

（1）了解正比例函数的图像是一条直线，理解正比例系数与图像之间的关系，掌握由两点法画正比例函数图像的方法，能运用正比例函数的性质解决有关问题.

（2）经历画正比例函数图像的过程，体会由“数”到“形”的数学思想，通过归纳正比例函数的性质，体会由“形”到“数”的数学思想.

（3）从数和形的角度理解正比例函数，体会“数形结合”解决问题的思想方法.

（4）培养学生严谨的思考态度，仔细观察、抽象的能力和合作交流的意识，多角度认识性质的思考方法.

三、教学重点和难点

重点：通过画出正比例函数图像的过程，从“数”和“形”的角度理解正比例函数的性质.

难点：在正比例函数图像生成中，理解为什么正比例函数的图像是一条直线.

四、教学准备

多媒体课件，多张带网格的平面直角坐标系纸（保证学生画出图像的一致性）.

五、教学设计

活动1：创设情境

（1）在下列函数中，哪些是正比例函数？正比例系数分别是多少？

（2）画函数的图像需要经历哪些步骤？

（3）你们能依据这些步骤画出以上正比例函数的图像吗？

师生行为：在学生回答问题（1）和（2）时，教师要关注学生学习本课的基础是否扎实，若有问题及时弥补.

设计意图：通过问题（1）识别正比例函数的意义及其系数；问题（2）是画函数图像步骤的复习，都是本课学习的基础，是正比例函数的图像及其性质得以继续研究的保证；问题（3）主要是过渡语，能够过渡到本课即将学习的内容.

活动2：画函数图像

（1）正比例函数y=2x的自变量的取值范围是什么？你们能取完自变量x的所有值吗？

（2）如果不能，你们认为在列出的表格中自变量x取哪些值合适？

（3）填表1：

表1

（4）请你们在准备的直角坐标系中描出这些点，观察这些点摆放有何规律.

（5）你们能保证以上两点之间一定是直线连接的吗？以点（0，0）与（1，2）之间为例，说明为什么是直线连接的.

（6）要解决问题（5），我们进行如下研究：

①让学生在（0，0）与（1，2）之间描出10等分点（如表2），画出y=2x的图像的一段；

表2

②让学生在（0，0）与（1，2）之间结合表2描出20等分点（如表3），画出y=2x的图像的一段；

表3

③如果我们不断找下去，找100等分点呢？1000等分点呢？可以发现（0，0）与（1，2）之间是靠什么线连接的？那么其他两个整数点之间又是靠什么线连接的呢？

④通过以上探究，你们发现正比例函数y=2x的图像是什么？

（7）请你们通过描出适当的点，在上面的直角坐标系中画出正比例函数y=x的图像，观察它的图像是什么.

（8）请你们再次通过描出适当的点，在另一个直角坐标系中画出正比例函数y=-x和y=-2x的图像，观察它的图像是什么.

师生行为：在解决问题（1）至问题（5）的过程中，学生描点时，教师要提醒学生描点要准确、细致，以便于得到初步的结论——这几个整数点在同一条直线上.解决问题（6）时，特别注意学生通过在（0，0）与（1，2）之间逐步细化描点，体会到正比例函数的图像是直线.解决问题（7）和问题（8）时，让学生独立画图，自己验证这些结论，同时感受正比例系数的变化对函数图像的影响，以利于性质的总结.

设计意图：（1）通过先描出表1中的整数点，用直尺比划，可以得出一个初步感知——正比例函数的图像是直线，再通过（0，0）与（1，2）之间的一段逐步细化的方法，让学生确定结论——正比例函数的图像是一条直线.

（2）通过问题（7）和问题（8）的验证，加深理解“正比例函数的图像是一条直线”这一结论，同时发现随着正比例系数的变化，函数图像的变化特点，以利于全面总结正比例函数的性质.

活动3：总结性质

（1）正比例函数的图像都是经过_________点的直线，那么你们画正比例函数的图像有什么简便方法？为什么？你们一般选取哪些点画它的图像呢？

（2）在画正比例函数的图像时，使函数图像位置发生变化的量是x、y、k中的哪个量？

（3）这个量是如何影响正比例函数的函数值的变化的？又是如何影响正比例函数图像的呢？请你们分情况具体说一说.

（4）为什么k＞0时，图像经过一、三象限，而k＜0时，图像却经过二、四象限？

（5）当正比例函数图像经过一、三象限时，你们能获得哪些信息？经过二、四象限呢？

师生行为：教师要重点关注：（1）回答问题（1）时，关注画图过程的基本活动经验的积累；（2）回答问题（2）-（4）时，要看学生是否准确表述正比例系数k对函数图像有何影响；（3）回答问题（5）时，让学生充分思考和交流，尽可能得出更多的信息（如k＞0时，k越大，直线与x轴正半轴的夹角就越大等）.

设计意图：问题（2）-（4），是从“数”看形，问题（5）是从“形”看“数”，即从”数形结合”的角度看正比例函数，有利于学生全面掌握和认识正比例函数，为后面的练习打下基础.

师生行为：教师重点观察在画图过程中学生能否用最简单的方法正确画出函数的图像.

设计意图：用两点法画正比例函数的图像是研究函数的基础，体会简便方法对画正比例函数的图像的好处.

活动5：巩固练习

（1）若正比例函数y=（k-3）x满足下列条件，求出k的取值范围.

①y随x的增大而增大；

②图像经过一、三象限；

③图像如图1所示.

图1

（2）下列图像中是函数y=-1.2x的大致图像的是（）.

活动4：初步练习

用你们认为最简单的方法画出下列函数的图像：

图2

参考答案：（1）①k＞3；②k＞3；③k＜3.（2）D

师生行为：教师要关注学生对语言描述、数学符号和图像信息之间的转化能力，最好请学生解释其中的原因，教师加以点评.

设计意图：巩固正比例函数的性质，问题（1）在于强化语言描述、数学符号和图像信息之间的转化能力，问题（2）在于理解函数图像及其性质.

活动6：课堂小结与作业布置

课堂小结：（1）从数看：若正比例函数为y=kx（常数k≠0），k对函数值的变化有何影响呢？对函数图像又有何影响呢？

（2）从形看：若正比例函数y=kx（常数k≠0）的图像经过一、三象限，那么你们可以得出什么信息？若经过二、四象限呢？

作业布置：教材习题.

补充：

（1）已知y关于x的正比例函数y=（2-k）x的图像经过一、三象限，则下面说法不正确的是（）.

A.图像是经过原点的直线

B.y随x的增大而减小

C.图像经过二、四象限

D.图像从左到右呈上升趋势

（2）已知y关于x的正比例函数y=（k+3）x|k|-4，且y随x的增大而减小，那么k=________.

（3）若y=k1x、y=k2x、y=k3x、y=k4x的图像如图3所示，则下列不等关系正确的是（）

A.k1＜k2＜k3＜k4

B.k2＜k1＜k4＜k3

C.k4＜k2＜k1＜k3

D.k4＜k2＜k3＜k1

图3

参考答案：（1）D（2）-5（3）C

师生行为：总结本课所学内容时，教师要看学生从数和形两个角度去总结正比例函数的图像及其性质.

设计意图：总结是为了进一步培养学生的数形结合的意识，补充习题则是更全面理解所学知识，灵活解决问题.

六、本课点评

本课是学生真正意义上第一次研究函数图像及其性质，其研究方法与途径对以后学习和研究其他函数图像和性质提供了基础.从本课教学来说，其本质是从数和形的角度研究正比例函数，重点是正比例函数的性质，难点是画出正比例函数的图像，作者在设计本课时的一些做法值得广大读者思考.

1.为什么正比例函数的图像是直线的思考

正比例函数的图像是直线，它是用直线把一些特殊的点连接起来，这是正比例函数的难点，至于为什么只能用直线连接起来，而不是用曲线连接，教材中没有给出合理的解释.而本课的教学中，教师让学生从正比例函数的一段图像入手，经历由较少点连接到用较多点连接的过程，让学生慢慢体会、领悟正比例函数的图像由“曲”变直的过程，这对初学画正比例函数图像的学生来说十分重要，这才是真正意义上对函数图像的学习！这种逐步细化的方法，对画一次函数、双曲线和抛物线等函数图像都提出了理性的思考，对培养学生思维的严密性是十分必要的.

2.正比例函数的图像为什么分布在一、三或二、四象限的思考

这个问题我们调查过一些学生，学生回答的结果如下：①在一、三象限，y随x的增大而增大，在二、四象限，y随x的增大而减小；②图像在一、三象限k＞0，图像在二、四象限k＜0；③从图像上看出来的.这些说法都是从图像上去看的，都不是问题的本质，图像只是一个结果的展示而已，即在图像生成之后去分析，很少去思考“从解析式的角度研究函数图像的性质”.而本课教学中，教师就解决了这个问题的根本原因——决定x、y的符号的是k，比如k＞0时，若x取正数，则y也一定是正数，故图像在第一象限；若x=0，则y=0，故直线经过原点；若x取负数，则y也一定是负数，故图像在第三象限.这样就不难说明“为什么k＞0时，图像经过一、三象限，而k＜0时，图像却经过二、四象限”的真正原因了.这种对函数图像的研究，既从数到形，又从形到数，从两方面进行研究，有利于全面认识正比例函数的本质.

3.一般函数图像与正比例函数图像之间迁移关系的思考

从19.1节中画一般函数图像的途径，到画正比例函数的图像是正迁移，这种迁移能让学生理解描点法是画一般函数图像的一般方法，进而理解用两点法画正比例函数的图像，再通过解析式和图像理解正比例函数的性质，这对后面即将研究一次函数都有很大的帮助.但是涉及19.1节中一般函数的图像是用平滑的曲线把一些特殊点连接起来的，这样造成了画图的负迁移.造成负迁移并不一定是坏事，只要教师及时加以引导，找到产生错误的原因，反而可加深对知识的理解和认识，这就是作者花了大量时间讲清为什么正比例函数的图像是直线的原因，相信会给学生留下深刻的印象，这又将对一次函数的学习产生正迁移.

总之，正比例函数的图像是学生第一次真正意义上接触直线形式的函数图像，学生对它的学习会产生很多的疑问，如果能在这些疑问处下足功夫，对学生今后学习其他函数问题是非常重要的.

1.林群.义务教育教科书·数学（八年级下册）［M］.北京：人民教育出版社，2013.

2.张晓斌，王伟.人教版正比例函数概念的教学设计与点评［J］.中学数学（下），2014（5）.