高斯色噪声激励下的Logistic肿瘤细胞增长系统

方次军， 陈 佩

(湖北工业大学理学院， 湖北 武汉 430068)



高斯色噪声激励下的Logistic肿瘤细胞增长系统

方次军， 陈 佩

(湖北工业大学理学院， 湖北 武汉 430068)

利用随机动力学理论，探讨高斯色噪声激励下的基于Logistic生长模型的肿瘤细胞增长系统，运用Novikov定理和Fox方法推导得出噪声激励下系统的近似Fokker-Plank方程，进而求得系统的定态概率分布函数。然后分别分析加性噪声的自相关时间、乘性噪声的自相关时间以及两噪声之间的交叉关联时间对于系统定态概率分布的影响。

色噪声; Logistic生长方程；Fokker-Planck方程；定态概率分布

生物是一种复杂的非线性系统，具有潜在的随机性。它们的运动被随机碰撞所驱动，在生物系统中揭示非线性条件下噪声所产生的各种重要效应。研究这些效应产生的条件及其应用,已成为生命科学发展中的前沿领域，其研究成果正在许多领域推动学科的发展和相互交叉[1-2]。一般情况下，噪声的来源多种多样，大致可分为内噪声和外噪声两种。乘性噪声常源自于外噪声，而加性噪声属于内噪声。在早期的非线性系统研究中，人们常忽略噪声的关联性对系统动力学行为的影响，而只是假设系统中的乘性噪声和加性噪声的来源不同而已，且这些噪声之间没有任何关联。1991年，Fulinski等人研究了很多噪声关联的情形，结果表明在某些情况下，噪声之间存在一定形式的关联，这种关联性对非线性系统的定态概率分布和状态之间转换的影响非常大。此后，对噪声之间的关联性研究，以及它们之间的关联对非线性系统的动力学行为的影响，越来越成为广大学者们的关注热点[3-8]。通常情况下，人们所考虑的非线性系统中噪声之间的关联形式主要有两种，即白关联形式和色关联形式。

1)白关联形式：

(1)

其中，Q与D分别是两噪声ξ(t)和η(t)的强度，λ为两噪声之间的关联强度。

2)色关联形式：

(2)

其中：Q与D分别是两噪声ξ(t)和η(t)的强度，λ为两噪声之间的关联强度，τ为两噪声之间的互关联时间。

本文考虑的是存在关联的高斯色噪声激励下的肿瘤细胞增长系统，其Logistic增长模型为

(3)

其中：x为肿瘤细胞的数量， a是细胞的固有生长率，b是限制细菌生长的抑制率。这里a>0,b>0。肿瘤细胞增长系统关于肿瘤细胞数量x的确定势函数为

(4)

系统有一个稳态xs=a/b和一个不稳态xu=0。式(4)所表示的确定势函数形状如图1所示。

(a=1.2,b=0.3)的势函数图

式(3)是一种理想的状态，即肿瘤细胞的增长不受外界的干扰。而实际上肿瘤细胞的增长不可避免地受到外界环境的影响，如酶的活性、营养物质的供给、温度、药物、放射线疗法、辐射、蛋白质的合成等。分别将这些因素导致的噪声分为内部噪声(乘性)和外部噪声(加性)。式(3)的Logistic增长系统的动力学模型变为

(5)

式(5)中的η(t)和Γ(t)都是均值为零的高斯色噪声，其统计特征为：

〈η(t)〉=〈Γ(t)〉=0

(6)

(7)

(8)

〈η(t),Γ(t′)〉=〈Γ(t),η(t′)〉=

(9)

这里，Q和α分别是乘性高斯色噪声η(t)和加性高斯色噪声Γ(t)的噪声强度，τ1和τ2分别为乘性色噪声η(t)和加性色噪声Γ(t)的自关联时间，λ表示噪声η(t)和Γ(t)之间的关联强度，-1<λ<1，τ3为色噪声η(t)和色噪声Γ(t)之间的交叉关联时间。

由式(5)-(9)，根据Novikov定理和Fox方法，得到其对应的近似FPK方程：

(10)

式(10)的标准形式记为

(11)

其中

(12)

(13)

在定态情况下求解方程(11)，利用A(x)和B(x)的表达式，通过Maple求解，可求得其定态概率分布函数为

(14)

其中，N为归一化常数，U(x)为系统的修正势函数，且

U(x)=h(x)+ClnB(x)+

(15)

这里，

(16)

根据系统定态概率分布函数Pst(x)的表达式(14)，通过Matlab画图，讨论乘性高斯色噪声自相关时间τ1，加性高斯色噪声自相关时间τ2，两噪声之间的交叉关联时间τ3分别对定态概率分布函数的影响。

图2给出肿瘤细胞增长系统的定态概率密度在不同的乘性色噪声自相关时间τ1下的分布情况。从图可见，在所给不同的乘性色噪声自相关时间τ1下，Pst(x)呈现出一个极值，且当x小于极值时，Pst(x)随着x的增加而增加；当x大于极值时，Pst(x)随着x的增长而减少。另外，随着τ1的增大，极值的位置向远离x=0的方向漂移。由于x代表的是肿瘤细胞的数量，可以得出以下结论：乘性噪声的自相关时间影响肿瘤细胞的数量，且随着噪声自相关时间τ1的增大，肿瘤细胞的数量在增大。

a=1.2,b=0.3,τ2=0.2,τ3=0.1,Q=0.5,α=0.5

图3给出肿瘤细胞增长系统的定态概率密度在不同加性色噪声自相关时间τ2下的分布情况。由图可见，在不同的加性色噪声自相关时间τ2下，Pst(x)也呈现出一个极值，且当x小于极值时，Pst(x)随着x的增长而增长；当x大于极值时，Pst(x)随着x的增长而减少。另外，随着τ2的增大，极值的位置向靠近x=0的方向有一些漂移。由于x代表的是肿瘤细胞的数量，可以得出以下结论：加性噪声的自相关时间影响着肿瘤细胞的数量，且随着噪声自相关时间τ2的增大，肿瘤细胞的数量在缓慢减小。

a=1.2,b=0.3,τ1=0.2,τ3=0.1,Q=0.2,α=0.5

图4给出肿瘤细胞增长系统的定态概率密度在不同的噪声交叉关联时间τ3下的分布情况。可见在不同的交叉关联时间τ3下，Pst(x)也只有一个极值，且当x小于极值时，Pst(x)随着x的增长而增大；当x大于极值时，Pst(x)随着x的增长而减少。另外，随着τ3的增大，极值的位置向靠近x=0的方向有一些漂移，同样的由于x代表肿瘤细胞的数量，可得出以下结论：噪声的交叉关联时间在一定程度上影响着肿瘤细胞的数量，且随着噪声交叉关联时间τ3的增大，肿瘤细胞的数量在逐渐变小。

a=1.2,b=0.3,τ1=0.2,τ2=0.1,Q=0.8,α=0.2

[1] 李 迪.白高斯噪声对肿瘤增长系统的影响[J].宝鸡文理学院学报，2007，27(3):222-224.

[2] 刘雪梅，谢汇章，艾保全，等.外界噪声对一类logistic模型干扰的动力学分析[J].中山大学学报，2007，46(03):122-124.

[3] 杨建华，刘先斌.色交叉关联噪声作用下癌细胞增长系统的平均首通时间[J].物理学报， 2010(06):3 727-3 732.

[4] 邢 菲，姚少魁，李民丽.关联色噪声对肿瘤细胞生长的影响[J].首都师范大学学报，2011，32(02):1-4.

[5] 王参军，魏 群，郑宝兵，等. 色噪声驱动的肿瘤细胞增长系统的瞬态性质：平均首通时间[J].物理学报，2008，57(03)： 1 375-1 380.

[6] 吴志会. 两类非线性随机系统动力学性质研究[D].南京：南京航空航天大学 ，2010.

[7] 蒋莉莉.噪声对肿瘤细胞动力学行为的影响[D].苏州：苏州大学，2012.

[8] 肖 荣.噪声驱动下一类生物非线性系统的随机动力学[D]. 西安：陕西师范大学,2013.

[责任编校： 张 众]

The Development of Logistic Tumor Cell Growth System influenced by Colored Noises

FANG Cijun, CHEN Pei

(Schoolofscience,HubeiUniv.ofTech.,Wuhan430068,China)

Based on the theorem of stochastic dynamic system, the effect of colored noises associated with tumor cell growth system on the growth of cells Logistic equation was discussed. According to Novikov theorem and Fox method, the approximate Fokker-Plank equation and the stationary probabilities distribution function were obtained. Then the effects of the additive′s autocorrelation time, multiplicative noise′s autocorrelation time and the cross-correlation time on the stationary probabilities density were analyzed, respectively.

the colored noise ; Logistic equation; Fokker-Plank equation, the stationary probabilities distribution

2014-07-10

方次军(1975-)， 男， 湖北汉川人，湖北工业大学理学院副教授，南京航空航天大学博士研究生，研究方向为非线性随机动力学，生物随机数学

1003-4684(2015)01-0115-03

Q274

A