利用小孔光阑调节迈克耳孙干涉仪的成像分析及验证

刘益岑，何思雨，赵建君

(军械工程学院a.学员2旅；b.基础部，河北 石家庄050003)

小孔光阑法是利用平面镜反射成像原理，通过调节平面镜M2背面的3个螺丝使像点重合达到平面镜M1与M2大致相互垂直，M1和M2′大致平行的初调目的[1－4].在多数参考书中给出的判定方法是2组像点重合[1－3]或2组像的主点(最亮的点)重合即可.但在实验过程中经常会发现2组像点数目并不完全相同，有时主点难以分辨，导致了实验者无所适从.教师在指导过程中根据经验给出了一些调节方法，学生虽然完成了实验，但并没有真正搞清楚此现象根源何在.

本文利用小孔光阑法调节迈克耳孙干涉仪的光路进行深入分析，研究在不同介质中发生反射、折射的能量分配与传播以及成像情况，并通过实验进行了验证.

1 利用小孔光阑法调节迈克耳孙干涉仪的光学分析

利用小孔光阑法调节迈克耳孙干涉仪的光路如图1所示.从光源S发出的光束，在分光板G1的上表面N发生1次反射和折射，在分光板G1的下表面M上被分成光束3和光束4.光束3射出G1后投向平面镜M1，反射回来再穿过G1板；光束4经过补偿板投向平面镜M2，反射回来再通过补偿板G2，在分光板G1的下表面M反射.从分光板G1向M2望去，通常可看到2排等距离分布的光斑组.

图1 利用小孔光阑法调节迈克耳孙干涉仪的光路图

由图1可以看出，光源S最终会在望远镜中共形成8个像点.其中，像点P11，P12，P13和P14为1组，是由平面镜M1的反射光所形成的；像点P21，P22，P23和P24为1组，是由平面镜M2的反射光所形成的.但在多数教科书中只提到2组共6个或7个像点，原因就在于各像点对应的能量不同.能量高的光斑能用肉眼观察，并且所分得能量越高的光斑亮度越大，但如果像点能量低于人眼感光强度则不能被观察到.但随着仪器的使用时间增加，一些关键器件(如半反镜)的老化导致了与预期现象不一致的现象出现.

2 像点分析

假设平面反射镜M1和动反射镜M2均没有光的能量损耗.根据入射光、反射光和折射光的能量关系和菲涅尔公式，忽略介质的吸收，计算可得钠黄光在玻璃的上表面的反射率和透过率.分光板G1和补偿板G2所用的材料相同，设从光源S发出的光束的光强为I，分光板G1的前反射面N和补偿板G2两表面的反射率为x(x＜1)，透过率为1－x；分光板G1的半反射面M的反射率为y(y＜1)，透过率为1－y.在分光板G1的上反射面N被分为光强为Ix的光束1和光强为I(1－x)的光束2.光束2在分光板G1的下反射面M上被分成光强为I(1－x)y的反射光束3和光强为I(1－x)(1－y)的折射光束4.由图1所示可以看出，光源S最终会在望远镜中各形成4个像点.其中，像点P11，P12，P13和P14为1组，是由平面镜M1的反射光所形成的；像点P21，P22，P23和P24为1组，是由平面镜M2的反射光所形成的.

2.1 光强分析

下面分别讨论各像点对应光强分布.

像点P11：光线1通过平面镜M1反射后，光路返回G1板内，一部分光在G1板内发生2次反射于G1板M面的点a处透射出，最终到达屏E形成了像点P11.像点P11的光强可以表示为

像点P12：主要由2部分光叠加而成.一部分是光线1通过平面镜M1反射后到G1板内，一部分光直接在G1板M面的点b处透射出，最终到达屏E形成的像点，其光强表示为Ix(1－x)(1－y)；另一部分是由光线3通过平面镜M1反射后，光路返回到G1板内，一部分光在G1板内发生2次反射后于G1板M面的点b处透射出，最终到达屏E形成了像点，其光强表示为Ix(1－y)(1－x)3y2.这2部分是像点的P12主要组成，像点P12的光强表示为

像点P13：光线3通过平面镜M1反射后，光路返回到G1板内，一部分光直接在G1板M面的点c处透射出，最终到达屏E形成了像点P13.像点P13的光强表示为

像点P14：光线3在G1板内反射2次后于G1板N面的点d′处透射出，光路通过平面镜M1反射后返回G1板内，一部分光直接在G1板M面的点d处透射出，最终到达屏E形成了像点P14.像点P14光强表示为

像点P21：光线4经过补偿板G2透射向动反射镜M2，光路反射回来再通过补偿板G2后，一部分光返回到G1板内，发生3次反射后于G1板N面的点a′处透射出，最终到达屏E形成了P21.像点P21的光强表示为

像点P22：光线4经过补偿板G2透射向动反射镜M2，光路反射回来再通过补偿板G2后，一部分光返回到G1板内，发生2次反射后于G1板N面的点b，处透射出，最终到达屏E形成了像点P22.像点P22的光强表示为

像点P23：光线4经过补偿板G2透射向动反射镜M2，光路反射回来再通过补偿板G2后，一部分光在G1板M面的点c处直接反射到达屏E形成了像点P23.像点P23的光强表示为

像点P24：光线3在G1板内发生2次反射，一部分光经过补偿板G2透射向动反射镜M2，光路反射回来再通过补偿板G2后，最终在G1板N面的点d处直接反射到达光屏E形成了像点P24.像点P24的光强表示为

2.2 像点个数分析

根据3.1中分析，图2和图3分别给出了在x＝0.05，0.10，0.15和y＝0.4，0.5，0.6六种情况下像点的相对光强的数值分析图.

3.2.1 出现像点个数分析

经分析，像点的个数与入射光的强度和反射率为x，y有关，像点光强高于人眼感光强度才能被观察到.下讨论几种典型的实验情况.

情况一：形成2排都为4个点等距离光斑组.当入射光强足够大时，8个像点的光强均高于人眼的感光度能够被观察到.根据数值分析，8个像点的光强大小依次为IP13＞IP23＞IP12≈IP11≈IP22≈IP14≈IP24＞IP21.

情况二：形成一排为3个像点，另一排为4个像点的等距离光斑组.当入射光强不足以使P21的光强高于人眼的感光度时，这种情况会存在7个像点.根据数值分析，7个像点的光强大小依次为IP13＞IP23＞IP12≈IP11≈IP22≈IP14≈IP24.

图2 像点的相对光强随y值变化的数值分析图

情况三：形成2排都为3个像点的等距离光斑组.当入射光强不足以使P21和P11两像点的光强高于人眼的感光度时，这种情况会存在6个像点.根据数值分析，6个像点的光强大小依次为IP13＞IP23＞IP12≈IP22≈IP14≈IP24.

图3 像点的相对光强随x值变化的数值分析图

情况四：形成一排为1个像点，另一排为2个像点的等距离光斑组.当入射光强不足以使P21，P11，P22，P24和P14五个像点的光强低于人眼的感光度时，这种情况存在3个像点.根据数值分析，3个像点的光强大小依次为I13＞I23＞I12.

3.2.2 主亮点及次亮点的光强分析

由像点的相对光强的数值分析图可知，当x，y取不同值时，会导致像点之间的光强大小发生变化.在此仅讨论同一平面镜产生的像点之间的光强变化.

通常情况下，当x＝0.1时，P13与P12的光强在y≈0.3时基本相等，当y＞0.3时P13与P12的光强差距逐渐增大，而当y＜0.3时原主亮点P13的光强较次亮点P12小.因此产生了视觉上P13与P12光强相等的效果.这就解释了在一些教科书中提到的“若1组像点中2个亮点难以区分，则右边的亮点是主点”[4]的原因.由此可见，影响主次亮点光强对比的关键在于分光板G1的半反射面M的反射率，如果分光板G1的半反射面M的反射率过低时很容易出现主次亮点光强极为接近乃至互易的情况出现.同时分光板G1的前反射面的反射率也对主次亮点光强对比有一定的影响，在分光板G1的前反射面的反射率低于0.1时一般不容易出现主次亮点光强极为接近的情况.

因此，建议在迈克耳孙干涉仪的光学器件选材的过程中充分考虑此影响，分光板和补偿板应选择折射率较低的玻璃来避免主次亮点难以区分.

2.3 等距性分析

根据光的传播规律，当平面镜 M1、平面镜M2基本相互垂直并与分光板G1成45°时，可以分析出l1≈l2≈l3.假设分光板G1的厚度为h，分光板的透过率1－x，其中x＜1，θ1和θ2分别是入射角和折射角，l1为P11与P12的间距，l2为P12与P13的间距，l3为P13与P14的间距，如图4所示，则满足下列方程：

图4 等距性分析原理图

联立求解可得，

则像点之间的距离与入射角θ1、G1板的厚度h、反射率x有关.一般入射角很接近45°，变化范围不大，基本上不会有太大影响.而G1板的厚度h和反射率x与选材有关，对于某一台迈克耳孙干涉仪都可以认为是常量，因此可以认为同一组像点间距目视情况下是等间距的，

3 实验现象分析

3.1 情形一

3.1.1 实验现象

形成一排为3个像点，另一排4个像点的等距离光斑组，见图5.

图5 7个像点

3.1.2 现象分析

实验现象中有一排为4个像点是经静反射镜M1反射透射产生的，4个像点依次是P11，P12，P13和P14.根据观察实验现象分析，光强大小排列依次为P13，P12，P14，P11；另外排为3个像点是动反射镜M2反射透射产生的，3个像点依次是P22，P23，P24，P21能量太低不易观察到；根据亮实验现象分析，光强大小排列依次为P23，P22，P24.

根据3.2数值分析图像可知，当分光板G1的前反射面N反射率x≈0.1，分光板G1的半反射面M的反射率为y≈0.5时满足实验现象，并验证了最亮的2点P13和P23分别为2组像的主点.

3.2 情形二

3.2.1 实验现象

形成2排都为4个点等距离光班组(图6).

3.2.2 现象分析

实验现象中靠上一排的像点是静反射镜M1反射透射产生的，4个像点依次是P11，P12，P13和P14，另外排的3个像点是动反射镜M2反射透射产生的，4个像点依次是P21，P22，P23和P24.在这种情形下，P12和P13亮度非常相近，该像点组的主点很难分辨.

图6 8个像点

根据3.2数值分析图像可知，分光板G1前反射面N的反射率x对像点P12的光强影响较大，且x越大，I12越大.当分光板G1的前反射面N和补偿板G2两表面的反射率x≈0.2，分光板G1的半反射面M的反射率为y≈0.35时满足实验现象，根据3.2.2中的结论，当x＝0.15，y≈0.35时，P12与P13光强基本一致，因此可推断出，P13仍然为主点，是因为半反镜镀膜层老化导致透过率增强而成的.

4 结 论

在利用小孔光阑法调节迈克耳孙干涉仪实验中，像点的个数与入射光的强度和反射率x和y有关，反射率x对像点P12的光强影响较大，且x越大，I12越大.由此可见，影响主次亮点光强对比的关键在于分光板G1的半反射面M的反射率，如果分光板G1的半反射面M的反射率过低时很容易出现主次亮点光强极为接近乃至互易的情况出现.同时分光板G1的前反射面的反射率也对主次亮点光强对比有一定的影响，在分光板G1的前反射面的反射率低于0.1时，一般不容易出现主次亮点光强极为接近的情况，并提出分光板和补偿板应选择折射率较低的玻璃来避免主次亮点难以区分的建议.本文分析出了各像点间距离近似相等，并得到了具体表达形式，最后通过实验现象对分析结论进行了验证.

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