数列高考题型解读

石家庄市第二中学 刘英娟

数列是高考数学的主要考查内容之一，其试题有着鲜明的特点，有着多层次多角度考查学生数学能力的功能．

数列试题的难度分布幅度大，既有容易的基本题和难度中等的小综合题，也有综合性和思考性强的难题，试题形态多变，时常有新颖的试题入卷.考生为了在高考中取得好成绩，必须复习掌握好数列这一板块及其相关的知识和技能，了解数列试题的能力考查特点，提高解答这类试题的能力.为此，建议考生关注近几年来高考数列试题的考查特点，下面举例说明之．

一、等差、等比数列及其前n项和需要完全掌握

例1（.温州市十校联合体2014届高三10月测试理）已知数列{an}中，a1=1，

（2）数列{bn}满足，数列{bn}的前 n 项和为 Tn，若不等式（-1）nλ对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围.

所以（-1）nλ

即-λ<2，所以λ>-2. 因此-2<λ<3.

评注：（1）理解等比数列的概念.（2）掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.（3）能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.（4）了解等比数列与指数函数的关系．

二、递推数列注重创新

例2（.2012年广东）设数列{an}的前n项和为 Sn，满足 2Sn=an+1-2n+1+1，n∈N*，且 a1，a2+5，a3成等差数列．

（1）求a1的值；

（2）求数列{an}的通项公式．

解析：（1）令 n=1得 2a1=a2-3，①

令 n=2得 2（a1+a2）=a3-7，②

又 2（a2+5）=a1+a3，③

联立①②③解得：

a1=1，a2=5，a3=19．

（2）由2Sn=an+1-2n+1+1，

得 2Sn-1=an-2n+1（n≥2），

两式相减得2an=an+1-an-2n，

即an+1=3an+2（nn≥2），

得 an+1+2n+1=3（an+2n），

即{an+2n}以a2+22=9为首项，公比为3的等比数列，得an+2n=9·3n-（2n≥2），

故an=3n-2n(n≥2)，而此式对n=1时也成立，所以an=3n-2n(n∈N*)．

评注：Sn与an的关系是高考常见题型，主要根据 an=Sn-Sn-1（n≥2）将和、项“混合式”转化为和或项的“单纯式”．常用构造新数列思想，以考查学生的推理与创新能力．

三、数列与函数、不等式、解析几何的综合问题是重中之重

例3．（2010年江苏）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn.已知2a2=a1+a3，数列公差为d的等差数列.

（1）求数列{an}的通项公式（用n，d表示）；

（2）设c为实数，对满足 m+n=3k且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式Sm+Sn>cSk都成立，求证：c的最大值为

解析：（1）由题意知：d>0，

则当n≥2时，

由2a2=a1+a3得

评注：本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力.

从以上分析可看出，数列的综合题难度都很大，甚至很多都是试卷的压轴题，它不仅考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，还涉及了配方法、换元法、待定系数法、放缩法等基本数学方法.其中的高考热点——探索性问题也出现在近年高考的数列解答题中.