“差比型”数列求和解法探究

梁志永　林志森

若数列an为等差数列，数列bn为等比数列，则称数列an·bn为“差比型”数列。“差比型”数列的前n项求和问题的考查在高考中经久不衰，出现在近三年的高考试题部分展示如下：

1.（2012天津，理18）已知an是等差数列，其前n项和为Sn，bn是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4-b4=10。

（1）求数列an与bn的通项公式；

（2）记Tn=anb1+an-1b2+…+a1bn，n∈N*，证明：Tn+12=-2an+10bn（n∈N*）。

2.（2013湖南，文19）设Sn为数列an的前项和，已知a1≠0，2an-a1=S1·Sn，n∈N*。

（1）求a1，a2，并求数列an的通项公式；（2）求数列nan的前n项和。

3.（2014江西，理17）已知首项都是1的两个数列an，bn（bn≠0，n∈N？鄢）满足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0。

（1）令cn=，求数列cn的通项公式；

（2）若bn=3n+1，求数列bn的前n项和Sn。

在2012年高考中，出现此类题目还有浙江（文）19、江西（理）16、江西（文）17；在2013年高考中，还有山东（文）20；在2014年高考中，还有安徽（文）18、四川（文）19、四川（理）19。此类题型在高考高频出现，然而对“差比型”数列的前n项求和问题在平时教学中只教给学生单一的解法。若能引导学生从不同方向、不同角度多思考，激活学生思维能力，往往能获得多种不同的解题途径，从而提高此类题型的得分率。下面以一道习题为例说明之。

题目：（人教A版，数学必修5第69页习题2.5A组4，求和）

通过上面一道习题却能复习更多的数学知识，同时让一道题目变得更丰富，知识容量更大，同学收获更多。在平时的解题教学中，若能够引导学生进行一些解题的思考、探究，既促进学生对所学知识的融会贯通，又可培养学生的探索与创新精神。

（作者单位：福建省南安市侨光中学）