基于学生视角设计教学 实现难点有效突破——有感于一节高三数列专题复习课

●刘美良 (鲁迅中学柯桥校区 浙江绍兴 312000)

基于学生视角设计教学 实现难点有效突破
——有感于一节高三数列专题复习课

●刘美良 (鲁迅中学柯桥校区 浙江绍兴 312000)

道法自然，是道家思想的一个基本观点，也是平常为人处事的一个基本原则.在高三的复习教学中更应如此，即遵循学生的认知规律，尽力站在学生的角度设计教学，让数学知识、方法在学生的心里自然地生发出来，从而实现难点的有效突破.

1 问题背景

有关数列和式不等式的证明已成为高考、模考命题的新热点.对于数列和式不等式的证明，高三学生普遍感觉束手无策，无章可循.为此，备课组组织了一次集体备课，集中研讨有关数列和式不等式的证明问题，并由同组的一位年青教师执教，公开展示了一节“探寻一类数列和式不等式的求证策略”专题复习课.整节课的设计基于学生视角，层次清晰，教学自然.笔者感触颇深，特整理成文与同行共赏.

2 教学片断(简录)

师：2015年浙江省数学高考对数列这部分内容的考查难度明显提升，这从样卷和各地模考试题中已见端倪，尤其是数列中一类和式不等式的放缩问题，更是大家“心中的痛”(学生会心地笑).今天我们一起直面这类问题，探寻其求证的方法(展示课题并出示问题).

问题 已知数列{an}的前n项和Sn满足：an+Sn=1,n∈N*.

1)求数列的通项公式；

师：请同学思考并求出通项an.

(稍后有学生发言.)

师：考虑很全面，退位作差时初始检验不能忘记.第2)小题数列{cn}的和能求吗？

师：通过减1将分式放大，并转化为基本数列——等比数列求和，很自然、很合理！

师：是2类基本数列：等差、等比数列的求和吗？若不是，怎么转化？请大家思考、讨论，并发表个人想法.

(不一会儿有学生示意.)

生：应该转化为等比数列求和.因为

所以Tn=c1+c2+…+cn<

师：这位同学的直觉思维很强，有相当的功力！但这一步对部分同学来说有点突兀，老师想听听其他同学的想法？

师：这是运用什么原理或性质?

师：根据糖水浓度不等式，将原式转化为等比数列模型，进而求和，结论更精准.这说明:放缩要有“度”哦！还有其他想法吗？

师：借用迭代法转化为递推模型达到放缩.请大家谈谈以上3种方法的异同之处并总结.

生：共同点是将数列{cn}通过放缩转化为等比数列的模型；不同的是转化的方式不同，并且2个等比数列的公比、首项不同.

师：能对上述数列{cn}模型进行一般化推广吗？请大家讨论，总结放缩方法.

(学生交流，师生共同总结、完善.)

2)构造递推数列:

从而

①当n≥2时，pan

师：请说说你的想法.以上的模型还能用吗？

(经思考和对比后,学生发言.)

师：哪位同学能把首项搞定？

生(脱口而出)：那就待定呗！

师：怎么待定呢？请继续思考，讨论！

生：应该是恒成立问题.

(学生一下子豁然开朗，情绪高涨！)

生：那就分离变量吧！

生：当n≥1或n≥2时都有可能吧？

经过分组讨论，整理形成以下的解法：

f(n)max=f(1)=2,

于是λ可取2.即当n≥1时,有

因此Tn=c1+c2+…+cn<

因此Tn=c1+c2+…+cn≤

经过思考与交流，学生很快完成以下变式3的解答：

因此Tn=c1+c1+…+cn≤

自编题2(课后) 已知数列{an}的前n项和Sn满足：2Sn=an+1-2n+1,n∈N*，若a1,a2+5,a3成等差数列.

1)求数列{an}的通项公式；

f(n)max=f(1)=3,

于是λ可取3,因此

3 感悟与体会

3.1 复习教学设计应基于学生的“原生态”

人教社章建跃老师指出：教学设计的首要问题是理解数学，基于学生的原认知、原生态；设计思想是让学生领悟到知识、方法、技巧的来源.课程标准也明确指出，数学教学应揭示数学概念、法则、结论的发展过程，体会蕴含其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹.

因此，数学教学设计应从学生的知识水平、认知特点、学习困惑、思维习惯等方面进行，注意知识与方法产生的自然性与合理性.本节课从问题1入手，让学生观察发现结构特征，形成问题解决的转化方法；变式1的教学，教师放手发动学生分析问题，共同寻求问题解决的途径，达到一题多解.这2个问题看似简单，实质上对数列和式不等式的放缩解决起到了良好的导向作用，实现“多解归一”,即转化为等比数列求和的思维目标，为后续问题的解决指明了方向，架设学生思维攀爬的“脚手架”.在这个过程中，既有对不等式基本性质、糖水不等式、数列迭代等知识的唤醒、运用，又在无形中渗透了转化化归的数学思想.所谓有化有归，突出了本节课的主题，使本节课的设计贴近学生、层次清晰、灵活本真、自然生态.

3.2 复习教学应揭示问题的本质

3.3 复习课教学应让学生在课堂上生长

记得有一位语文老师说：课堂呈现的不仅仅是“鲜花”，还应该有“花开的声音”.课堂上最美的声音是学生生命里“拔节”的声音.高三是知识、能力长得最快的“季节”，复习课堂是学生能力的主战场.“如何让学生在课堂上快速生长”已成为教学设计、教学活动开展需要思考的重要课题.那种“满堂灌、一言谈、教师讲、学生听”的复习模式应扔进时代的垃圾箱，而应创设民主、和谐、生态的教学氛围，教师要“闭口”,学会等待、敢于放手.给学生自主思考的时间、空间，让其发现解决问题的切入口、方法源，促使学生领悟知识，内化活动经验，并尝试改题、编题，使能力在课堂上生长.

[1] 严士健，张奠宙，王尚志.数学课程标准(实验)解读[M].南京：江苏教育出版社,2004.

[2] 潘彩,王弟成.春风化雨 润物无声[J].数学通讯,2014(12)：63-68.