E.Cartan定理的新证明*

李虹， 李义斌， 郭震

(云南师范大学 数学学院,云南 昆明 650500)



E.Cartan定理的新证明*

李虹， 李义斌， 郭震

(云南师范大学 数学学院,云南 昆明 650500)

用Moebius几何的方法给出定理“维数大于等于4的共形平坦超曲面是一族球的包络”的另一证明.

Moebius几何；共形平坦；Moebius主曲率

定理“维数大于等于4的共形平坦超曲面是一族球的包络”对于共形平坦超曲面的分类具有重要作用，该定理将维数大于等于4的共形平坦超曲面归为一类，是微分几何一个经典的结果.由于该定理是由Élie Joseph Cartan提出并证明的[1]，故将该定理称为E.Cartan定理.本文用Moebius几何的方法证明该定理,证明方法比文[1]简单.

1 记号与公式

Moebius第二基本形式

Moebius形式

详见文献[1],其中

Bij=ρ-1(hij-Hδij)

1≤i,j,…≤n

Hessij和为关于度量I=dx·dx在基底下的Hessian矩阵和梯度算子.为Weyl共形曲率张量的分量为Schoten张量的分量.

给定n+3为欧式向量空间Rn+3,定义内积〈·,·〉如下

〈X,Z〉=-x0z0+x1z1+…+xn+2zn+2

其中

X=(x0,x1,…,xn+2)、Z=(z0,z1,…,zn+2)∈Rn+3

定义

Y=ρ(1,x)

记

Yi:=Ei(Y),E:=(H,Hx+en+1)

其中en+1为x在Sn+1中的单位法向量场.

在文[2]中，已得到下列结构方程:

定义Bij的协变导数如下:

则有

Bij,k-Bik,j=δijCk-δikCj[2]

2 定理的证明

2.1 维数大于等于4的共形平坦超曲面的主曲率的讨论

引理1 设x:Mn→Sn+1(n≥4)是共形平坦超曲面，则M具有两个不同的主曲率.

证明：由Mn为共形平坦超曲面知

(1)

共形几何的高斯方程为

(2)

在(2)式中，令j=l求和可得

(3)

在(3)式中，令i=k求和可得

(4)

由(3)、(4)式可得：

(5)

因为

(6)

所以将(1)、(2)、(5)式代入(6)式可得：

在一点p∈M处，取Ei,使Bij=λiδij,Bij=0(i≠j),令i=k,j=l,i≠j,则上式可化为

当n≥4时，若λi、λj、λk、λl为主曲率,则可得如下方程组

利用上面的方程组经计算可得M的Moebius第二基本形式至多有两个不同的主曲率，又由x无脐点，则至少有两个不同的主曲率，故只有两个不同的主曲率.

引理2 设x:Mn→Sn+1(n≥3)是具有两个不同主曲率的超曲面，则x具有两个不同的常Moebius主曲率，分别为

其中k为λ的重数.

证明： 由

可得

由λ、μ都是关于点p连续函数，若在不同点的主曲率的重数不同，则λ、μ就不是连续函数，故k是不变的常数.解上面的方程组可得

设B的两个不同的特征值分别为λ、μ,其重数分别为k、n-k.记V1(p)为在点p处对应于λ的特征子空间，V2(p)为在点p处对应于μ的特征子空间，则可定义M上的两个分布

⊕V2

V1=span{E1,……,Ek},V2=span{Ek+1,……,En}

设

1≤a,b,…≤k;k+1≤α,β,…≤n;2≤α',β′,…≤n

则在此标架场下,有

Baj=λδaj,Bαj=μδαj

同理可得

由

Bij,k-Bik,j=δijCk-δikCj

可得

Baj,b-Bab,j=δajCb-δabCj,Baα,b-Bab,α=δaαCb-δabCα

从而有

因为

所以

-(n-1)Cα=-kCα

Cα=0或k=n-1

同理可得:

Ca=0或k=1

由

Baα,b=-δabCα,Baα,β=-δαβCa

可得

2.2 维数大于等于4的共形平坦超曲面的几何解释

(i)当λ、μ的重数都不为1时，有Ca=Cα=0,故θaα=0.下设λ的重数为k(k≠1),μ的重数为n-k(n-k≠1),设

V1=span{E1,……,Ek},V2=span{Ek+1,……,En}

则

dimV1=k, dimV2=n-k,TpM=V1(p)⊕V2(p),V1⊥V2

分布V1、V2可积.事实上

有Pfaff方程

θa=0,θα=0

由

和Frobenius定理知分布V1、V2可积.设V1、V2的积流形分别为Lk、Nn-k,∀p∈M,∃U(p)⊂M使得U(p)=Lk×Nn-k是黎曼积,设Lk上的局部坐标为ua,Nn-k上的局部坐标为vα,则U上的局部坐标为(u1,u2,…,uk,vk+1,vk+2,…,vn),则

TqU=TuaL⊕TvαN,q∈(ua,vα)

类比欧氏空间的主曲率球，构造如下的Moebius主曲率球:

Pμ=E+μY

则经计算可得

故有

Eβ(Pμ)=0

即Pμ是k参数的.故当C=0且λ、μ的重数都不为1时，共形平坦超曲面Mn(n≥4)是Dupin超曲面，也是k参数Moebius主曲率球E+μY的包络，文[3]中对Dupin超曲面进行了具体的讨论.

(ii) 当λ、μ的重数有一个为1时，假设λ的重数k为1，此时有Cα′=0[4].设

V1=span{E1},V2=span{E2,……,En}

则

dimV1=1, dimV2=n-1,TpM=V1(p)⊕V2(p),V1⊥V2

分布V1、V2可积.事实上:

有Pfaff方程：

θ1=0,θα'=0

经计算可得

利用Frobenius定理知分布V1、V2可积.设V1的积流形为L,V2的积流形为Nn-1,∀p∈M,∃U(p)⊂Mn,使得U(p)=L×Nn-1,设L上的局部坐标为u,Nn-1上局部坐标为vα',则U上的局部坐标为(u,v2,v3,…,vn),则

TqU=TuL⊕Tvα'N,q∈(u,vα′)

令

Pμ=E+μY

为Moebius主曲率球,经计算可得

dPμ=dE+μdY=(μ-λ)θ1Y1-C1θ1Y

故Eβ′(Pμ)=0,即Pμ是单参数的.故当λ、μ的重数有一个为1时,共形平坦超曲面Mn(n≥4)是单参数Moebius主曲率球E+μY的包络.

综上，维数大于等于4的共形平坦超曲面是一族Moebius主曲率球E+μY的包络.

[1] ÉLIEJOSEPHCARTAN.Ladéformationdeshypersurfacesdansléspaceconformeréelàn≥5dimensions[J].Bull.Soc.Math.France,1917,45:57-121.

[2]WANGCHANGPING.MöbiusgeometryofsubmanifoldsinSn[J].ManuscriptaMath.,1998,96(4):517-534.

[3]LIHAIZHONG,LIUHUILI,WANGCHANGPING.MoebiusisoparametricHypersurfacesinSn+1withtwoprincipalcurvatures[J].ActaMath.Sinica,EnglishSeries,2002,18(3):437-446.

[4]LINLIMIAO,GUOZHEN.ClassificationofhypersurfaceswithtwodistinctprincipalcurvaturesandclosedMoebiusforminSm+1[J].ScienceChinaMath.,2012,55(7):1463-1478.

New Proof of the E.Cartan Theorem

LI Hong, LI Yi-bin， GUO Zhen

(School of Mathematics,Yunnan Normal University,Kunming 650500,China)

Cartan proved the famous theorem that any conformally flat hypersurface with dimension great than or equal to four is envelope of a 1-parameter family of spheres.In this paper,using the Moebius geometric method to prove this theorem.

Moebius geometry; Conformally flat; Moebius principal curvature

2015-04-20

国家自然科学基金资助项目(11161056).

李 虹(1990-)，女，云南曲靖人，硕士，主要从事微分几何研究.E-mail：15198766747@163.com.

郭 震(1956-)，男，教授，主要从事微分几何研究.E-mail：gzh2001y@yahoo.com.

O186.13

A

1007-9793(2015)04-0028-06