数学思考力：在“自然境遇”中自由生长

杨友平

摘要：在新课改语境下，数学思考力培养得到重视。但是，数学课堂的常态教学所呈现的学材“程式化”、思维“标准化”、语境“小众化”、思考“零碎化”等问题制约了学生数学思考力的培养，教师需进一步检读“本质”、检视“形式”、检行“发现”，引导学生在数学学习活动中与“逆境”相应、与“异境”相融、与“我境”相适，让数学思考力在“自然境遇”中自由生长。

关键词：数学思考力；自然境遇；自由生长

中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2015）04A-0062-04

一、检读“本质”：数学思考力的概念再认识

什么是数学思考力？数学思考力实质是一种隐性学力。学者论述颇多，且存在认识差异。我们不妨换个角度，尝试用解构策略检读一下“思考”、“数学思考”、“力”等相关核心概念，以帮助重新认识本质要素。“思考”一词在《现代汉语词典》中解释为“进行比较深刻的、周到的思维活动。”“数学思考”是人们在面临各种问题情境时从数学的角度去观察分析问题，发现其中存在的数学信息，并运用数学的知识与方法去解决问题的思考方式。[1]所谓“力”是指学力、能力。日本学者细野真宏认为，“数学思考力”是一种逻辑运用、本质联系、信息建立的能力，也就是通过消除自己的偏见，整理思考事物结构的能力。[2]不难看出，“数学思考力”的特质指向其思维性。教师应更多地关注思考过程中的独立性、适应性、敏感性等积极要素作用，学会用数学的思维方式进行思考。

1.关注思维的独立性

心智自主是重要的思维特质。[3]教师要善于发挥学生“自我”意识在思考过程中的主体作用力，把思考的选择权还给学生，激发开放的意向与意愿，释放独立思考的自由，唤醒学习经验，主动思考发现数学知识及隐含的思想，用数学的方式去联系构建“自己意义的”逻辑结构，独立自主地应对不可预见的现实问题。

2.关注情境的适应性

数学思考力形成是师、生与数学的课堂相遇、相识与相应的过程。无论是建立数感、符号意识、空间观念和统计观念，还是发展合情推理和演绎推理、形象思维与抽象思维能力，都需要通过参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等发现活动，建立起“数学常识”和“问题情境”的联系，逐步在数学形式与发现活动中积淀生长出数学思考力。

3.关注思考的敏感性

敏感性是对某一行为适当性的感知能力，是思维特质的重要成分，其积极作用得到学者们的广泛认同。[4]因此，在教学过程中，教师应关注思考的敏感性培养，通过充满了求同与求异、形象与抽象、逻辑与直觉、联想与猜想等思维方式的动态交融、有机统整，引导学生从不同角度思考问题，寻找信息与问题的联系，培养他们的思考方向的敏感、信息关联的敏感、非常规思考的敏感、问题发现的敏感、复杂思维情境的敏感等，不断改善思维方式、提高思考水平。

二、检视“形式”：窥探课堂常态的数学思考力“虚实”

法国作家法朗士说：“形式是一只金瓶，思想之花插入其内，便可流芳百世。”当下“课改”，以“改课”推进，“改课”的意义并不在形式本身，重要的是形式背后的实质变革：学生数学思考力及问题解决能力等学力是否得到真正提升。教师需要更理性地观察自己的课堂，检视静态形式下所影射出的动态思考力的虚实。

1.学材“程式化”：“有思路”未必“有出路”

人们总坚信“有思路就有出路”这一由思考转化为思考力的成功秘诀。但从发展学力的角度看，这样的逻辑实现需要一个条件支持：“思路”来自学生自己的思考。意味着在数学思考转化为数学思考力过程中，教师为学生提供适合的启思学材并帮助学生表达自己的数学思考显得尤为重要。学材作为思考力转化的重要媒介，对启思引学、深化探索有重要意义。但是，不少展示课、家常课所呈现的学材都有意无意地透露着现成思路或模式，问题解决几乎没有难度。看似逻辑呈现的学材使教学更顺畅，但同时也暴露了思考被动与发现单一的另一面。长期思考现成，只会养成惰性思维。这样的培养方式未必有出路。

2.思维“标准化”：“没问题”其实“有问题”

热衷于寻找“标准答案”不知何时成为群体的思维共性，以唯一性与排他性为特征的“标准化”思维无疑成为一种桎梏创造的文化。窥视课堂，我们不难发现种种思维的“标准化”教学的硬伤。

现象一：质疑环节“走过场”。对“同学们还有什么疑问吗？”之类的意见征询，通常无人问津，课堂上不容易听到不同声音，与好奇好问的儿童天性不相符合，与更高质量的思考背道而驰。

现象二：思考方式“照这样”。尽管形式上主张算法多样化、解法个性化……但最终教师会基于答题风险考虑，对算法、解法作“强势比较”后，形成统一方式，表面的“尊重”和答题“没问题”，实质难掩思维僵化和思想失自由。

现象三：速求结果“造公式”。在追求“标准化”的功利驱动下，一些解决实际问题的习题被教师“额外重用”，提炼推导出一大堆更抽象的“衍生公式”：S环=（R2-r2）π、S半圆=πr2÷2、C半圆周=πr、C半圆=5.14r等。当数学思考沦为枯燥推导与符号游戏，所“造公式”只是空有其“壳”，反而会拖累儿童思考与前行。

3.语境“小众化”：“被思考”实质“无成长”

“语言是思维本身的要素。”[5]通过课堂对话所构筑起来的语境表征学生思考的结果，同时也透露出他们在学习中的话语状态。数学课堂本是多样性思维碰撞与激发的自由“场域”，但由于教师偏好合乎己意的学生应答，课堂经常会被少数能言善思者“把控”，“小众化”的“代言”比比皆是。多数学生在强势语境中只能沦为旁观者和迎合者，课堂貌似精彩，实质是一种“被思考”形式。这种“无思想”的盲从行为极不利于思考自觉和批判性思维的自由生成。

4.思考“零碎化”：“无整体”带来“没力度”

数学思考是一种数学化、系统化的思维方式，我们需要把整体思考作为认识的出发点和归宿点，帮助学生养成整体思考与构建的意识和能力，培养更高层次的思维方式，既要用规律解释与推理，又要用辩证联系与架构。目前，我们的课堂还显然偏重于“是不是”、“对不对”的对白式“零碎问”，甚至“满堂问”，缺少来自学生内部的“是什么”、“怎么办”的整体性思考，更缺少“我觉得”、“我发现”等自悟式思考，难以唤醒学生的自我参与，难以促进系统思考和深层发现。

三、检行“发现”：数学思考力在“自然境遇”中自由生长

爱默生说：“人，全都是为‘发现而航行的探寻者”。数学思考的种子究竟投放到何种境遇里，才能生长出自己的思想，并生发出能够驱动理智行为的数学思考力呢？形式似乎很多，但归根结底要服从教育的“自然适应性”，将数学知识“形式”与动态“发现”有机结合，面对于“逆境”、立足于“我境”、引发于“异境”，自由穿行在观察、感知、发现、归纳、演绎、构建等思维过程中，发展和增进数学思考力。

1.“逆境”相应，自己撬开问题的“外壳”

当前对数学课堂的预设与生成讨论颇热，不可忽略的是：教师要把应对“逆境”作为课堂设计的重要线索。因为，“逆境”思考虽艰辛，但从思考过的地方总会生长出自己的智慧来。如，《圆的周长》教学重点环节“探索圆周率”，教师向学生抛出一个整体性问题，引发矛盾，在逆境中探究。

第一步：整问留白，引发“头脑风暴”。教师在简要回顾上节课内容，并了解例题3直径表达轮胎大小规格的信息后，出示整体性探究问题：王伯伯编了个长31.4米的篱笆，要在门前一大块空地上围个尽可能大的圆形菜园，这个圆的规格（直径）是多少？请你帮他出主意。

生1：用篱笆直接围一个圆形。

生2：不行，没有圆规的帮忙，不容易围成圆。

生1：可以先用一根绳子拉直画个圆再围嘛。

生3：绳子画的圆可能太小，也可能超过篱笆的长度。

生4：多画几个圆试试就行了。

生5：王伯伯把篱笆围来围去太辛苦！

师提示：文具盒里的细线能帮助围圆吗？

生6：可以用31.4厘米的细线围一围，找找直径多少就行了。

通过大问题覆盖所知所感，让所学知识与经验在“逆境”中思考“突围”——找合适的直径，避免问题咀嚼过细，台阶过于细小，反而制约了思考的脚步。

第二步：操作留意，尝试“直感调适”。用31.4厘米的棉线最大可围成直径多少的圆？学生用直感参与操作思考，尝试与调整：先估一估周长与直径的关系，再借助圆规画圆，用线围一围，量一量周长与直径；棉线有剩余再调整直径画圆……尝试中用操作、直感、形象等发现方式探究周长与直径存在的联系。第三步：观察留心，系统“联系信息”。用数学的眼光观察是数学思考的重要特征。学生通过系统收集圆周长与对应直径的信息，通过计算观察，发现“圆周长/直径的值都是大约3”，在寻找“围最大的圆”的探索调整过程中发展了数学思考力。

2.“我境”相适，自主构建发现的“意义”

研究表明，数学思维不是靠传授而得，必须从“自我”参与下的数学知识发现与理解过程中获得。用王国维先生“有我之境”的观点就是“以我观物”、“物皆著我之色彩”。因此，数学教学中应该基于学生的“我思、我义、我决”之境，引导学生用数学的眼光审视、用自适的方式发现、用自己的体验感悟，达成内部与外部的自然相适，体验思考过程的发现乐趣与意义感知。如，《长方形和正方形面积计算》教学：

第一步：学材催化，“我”先思一步。学材一：拼一拼，面积变了吗？拿出6个1cm2的小正方形纸片，观察感知两种长方形面积不变。发现：面积的大小就是单位面积的多少（方格数）。学材二：数一数，面积是多少？呈现长方形方格图，寻找快捷的数面积方法。发现：长方形面积大小取决于长与宽的格数。学习材料的合理投放能够有效激活经验背景，支持学生独立思考，使其广泛获得“什么是长方形面积”“面积与长宽相关”等基本经验。

第二步：问题转化，“我”多想一步。教师出示长6cm宽4cm的长方形，让学生用小正方形纸片摆一摆算面积。活动中有几个学生想到只摆长边与宽边求面积，教师肯定“少摆”的智慧后顺势追问：摆的小方格还可以再少吗？在“少摆”的问题驱动下引发全体思考，更多学生生成创见性摆法（图1），通过“摆满—少摆—只摆一个”等问题转化，学生发现用一个方格动态量一量长边与宽边并作标记，同样可以求长方形面积，让数学思考走向抽象与动态，不断突破思考层级。

第三步：思考优化，“我”少做一步。数学是模式的科学。教师需要帮助学生在优化思考策略中，超越现实情境，从具象走向抽象，从特殊走向一般。教师在第一步与第二步探究基础上，继续引导思考：如果我们要知道教室的面积，还用1平方厘米的小方块测量合适吗？该怎么办？

生1：太不合适了，教室有好几米长，量几百次，人都要累趴下啦。

生2：用1平方米的小方块量合适。

师：1平方米的方块小吗？（笑）用这样的大方块量面积就方便吗？观察一下前面方法，有什么求长方形面积的捷径？

生3：都是量出长方形的长和宽里各有几块方格，再用方格数相乘求面积。

生4：我觉得教室面积可以用米尺或卷尺量教室的长和宽是几米，就知道长边与宽边各摆几个1平方米的“大方块”了……

通过实际应用中的思考“少操作一步”，以逻辑关联的递进式探究逐步将求长方形面积模型化，不断将数学思考引向深层。

3.“异境”相融，自由感悟隐含的思想

数学思想是数学知识的发现和理解过程中最重要之力。只有充分展开知识发生发展的过程，通过不同视角、不同立场、不同维度的“异境”探索与视界相融，才能感悟到知识背后的隐含思想与数学思考的发现魅力。

策略一：走点“弯路”找“不同”。在一无所知的陌生境遇中，对学生来说是一种“最富成效的学习时刻”，或许就是走向创造的开始。因此，教师不要惧怕学生的方法麻烦甚至易错，要通过支持学生找“不同”，跳出思维惯性束缚。教学《梯形面积计算》，教师未采用教材思路（指定转化成平行四边形）操作，而是让学生利用前面所学自己探寻。学生在没有“定向”的制约下发现将任意梯形分割成两个三角形，也能推导出梯形面积计算公式。引导学生“回头看”：用“分割法”找一找长方形、平行四边形、三角形、梯形面积公式存在什么联系？学生惊奇地发现：几种图形都可以转化成三角形计算面积，而且计算公式都可以看成梯形面积计算公式。不仅在走“弯路”中找到“不同”，还从“不同”中找到“相同”，触碰模型思想与推理，尽管曲折却很宝贵。

策略二：换个“角度”寻“更多”。求异思维有多方向与多角度思考等特征。当学生习惯于用一种方法解决数学问题时，容易造成思维僵化。教师不妨经常引导学生换个“角度”思考，联系更多储备知识与经验，寻找更多可能。如指导解题“一辆汽车从甲地开往乙地，4小时行了全程的2/5，照这样计算，还要几小时到达乙地？”多数学生顺向思考：（1-2/5）÷（2/5÷4），教师继续启发：还有其他不同思路吗？学生换个角度想到更多解法：设未走时间x小时2/5︰4=（1-2/5）︰x；4÷2/5-4；4÷2/5×（1-2/5）；4×（1÷2/5）-4……

策略三：跨越“异境”求“变通”。在一定思维线索下，让学生的数学思考在知识间、问题间、层级间的“异境”下自由穿越，有利于促发学生的直觉性、跳跃性思考，培养思维的变通力。如，六年级数学活动课，教师设计了一节《吸尘机器人》：校科技组组装了一个吸尘机器人，身体是圆柱形，底面直径40厘米，高10厘米，在长8米宽6米的空旷实验室内作调试。吸尘机器人的体积是多少？如将侧面与上面刷上防护漆，需要刷多少面积？让它以每分钟2米的速度沿着墙壁转一圈需要几分钟？如果将教室地面全部吸一遍，还有多少面积吸不到？……从面积到体积、周长到时间、显性到隐性、静态到动态，跨越在多种“异境”间，感悟着建模、转化、抽象等多种数学思想，也提升着思考水平。

境遇相适，思考化力。教师需要在数学“形式”与“发现”间构建思维的桥梁，让学生置身于一个思维自由、充满探索与创造的数学课堂中，学会数学地思维，不断在“自然境遇”中生长出灵动思想和思考之力。

参考文献：

[1]周锡华.有效促进学生“数学思考”的几个策略[J].小学数学教育，2011（5）.

[2][日]细野真宏.学习的新革命：即使讨厌数学也能飞速掌握的数学的思考力[M].钱晓曦，译.北京：中国轻工业出版社，2010：206.

[3][4]朱新秤.论思维特质的培养与教学变革[J].课程·教材·教法，2006（1）.

[5]万祎.评述马克思恩格斯论语言与思维[J].文学教育（上），2012（5）.

责任编辑：石萍