非正规正交设计的分辨度及其应用

陈雪平 陈绚青 盛永健 林金官

(1东南大学数学系, 南京 211189)(2江苏理工学院数理学院,常州213001)

非正规正交设计的分辨度及其应用

陈雪平1,2陈绚青2盛永健2林金官1

(1东南大学数学系, 南京 211189)(2江苏理工学院数理学院,常州213001)

为实现非正规正交设计的最优选择,提出了一种基于矩阵象的广义分辨度指标. 首先,定义了高阶交互作用之间的混杂度量值, 其计算不依赖于水平数的选取,不仅适用于等水平正交设计, 还适用于混合水平正交设计;然后,替换广义方差分析模型中的混杂度量值, 得到了一个非正规正交设计的广义分辨度指标, 满足水平置换不变性. 实例分析结果表明, 所提的广义分辨度对非正规正交设计具有较好的区分能力, 可实现对非正规正交设计的排序和最优选择. 由不同水平上因子的投影频数分布可知,该广义分辨度能够反映出设计点在整个空间中的均匀性, 从而建立了广义分辨度准则和均匀性的联系.

正交设计;工业设计;分辨度;混杂;矩阵象

试验设计[1-3]、工业设计已广泛应用在工、农、医等多个领域. 一个好的设计方案可以起到提高产量、减少质量波动、降低成本、延长产品寿命等作用. 正交设计(因析设计)是应用较为成功的一类设计[2-3].根据因子水平数, 正交设计可以分为等水平(对称)和混合水平(非对称)2类. 对于等水平情形,特别是当水平数为素数幂时, 采用有限域等群论知识,可以有效解决在一定优良性准则下的最优设计问题.常用的优良性准则有最大分辨度准则(maximum resolution)和最小低阶混杂准则[3](minimum aberration criterion).而在非对称 (非正规设计) 情形下,讨论类似的优良性准则是近年来的一个研究热点.文献[4-5]研究了二水平非正规设计问题. 对于多水平设计, 文献[6]通过广义方差分析模型, 借助编码理论给出了一般最小低阶混杂准则(generalized minimum aberration). 文献[7]利用示性函数定义了最小杂合混杂(minimum hybrid aberration). 然而, 这些方法在适用范围和计算上均存在缺陷. 例如, 对于某些非组合同构的设计,利用最小低阶混杂准则无法对数据进行准确区分;最小矩投影准则虽具有良好的区分能力, 但只适用于素数幂水平.

非正规设计存在复杂的部分混杂结构, 数据分析较为困难[8-10]. 本文利用矩阵象方法, 建立了一个非正规情形下的广义分辨度指标, 其不仅适用于正规设计,而且适用于非正规设计.

1 矩阵象

矩阵象方法在正交设计的构造中得到了广泛应用[11-12]. 该方法能够处理混合水平正交设计的构造.文献[13]讨论了强度为2的混合水平交互作用下的矩阵象定义,给出了相应的混杂度量指标.

A⊗B=(aijB)1≤i≤n,1≤j≤m=(aijbuv)ns×mt

假设D表示一个强度为t的n行正交设计.该设计中含有m个因子,水平数分别为p1,p2,…,pm,对于任意t(t≤m)列, 所有水平组合出现的重复次数相同.

D至少是强度为1的正交设计, 即

D={a1,a2,…,am}={S1(1r1⊗p1),…,Sm(1rm⊗pm)}

n=rjpj

性质1 对任意置换矩阵T和正交设计H, 有

W(T(H⊗1r))=T(W(H)⊗Pr)TT

W(T(1r⊗H))=T(Pr⊗W(H))TT

性质2 如果D={a1,a2,…,am}表示一个强度为2的n行正交设计,那么任意2列交互作用的矩阵象为Aij=W(ai,aj)=nW(ai)∘W(aj), 其中∘表示普通矩阵的Hadamard积, 即A∘B=(aijbij)n×m.

性质3 如果D={a1,a2,…,am}表示一个强度为1的n行正交设计, 那么当且仅当任意2列矩阵象正交时D的强度为2，即AiAj=0(i≠j).

性质1～性质3给出了强度为2的正交设计矩阵象的正交性．由此可知,任意2个效应之间的正交性等价于其矩阵象的正交性.因此,可以利用矩阵象的正交性来研究效应之间的混杂情况.

假设D={a1,a2,…,am}表示一个强度为s的n行正交设计,Aj表示D中第j列aj的矩阵象,M表示{1,2,…,m}的一个子集,AM表示M的矩阵象. 关于矩阵象, 文献[11-13]给出了如下性质:

2 非正规设计的分辨度

设d1,d2,…,dk为设计的列指标,di∈{1,2,…,m},i=1,2,…,k,k≤m. 记βk(d1,d2,…,dk)=tr(Ad1Ad2,d3,…,dk),且βk(d1,d2,…,dk)≤min{f(d1),f(d2),…,f(dk)},其中f(di)表示第di个因子的自由度. 由此可知,k阶因子之间的混杂值不大于相应k个因子的最小自由度.

设D表示强度为R-1的正交设计OA(n,p1,p2,…,pm,t),它既可以是多水平的,也可以是混合水平的.正交设计D的广义分辨度为

式中,R为采用定义子群方法得到的分辨度.

由矩阵象的性质可知,广义分辨度R*满足如下条件:

1)R*具有置换不变性, 即对于给定的正交设计, 当相应水平置换后,R*值不变.

2) 由于矩阵象的计算不依赖于水平数的选取, 故R*不仅适用于等水平情形,也适用于混合水平情形.

3)R*满足R≤R*

下面给出一个广义分辨度的应用实例[14].在公路建设中,为了考察土壤固化剂NN对某种土地的固化稳定作用,按照不同配比向土壤中掺和水泥、石灰、固化剂NN. 相应的水平取值见表1.

表1 试验因子的水平取值 %

试验目的是寻找最优水平组合以提高土壤的7 d浸水抗压强度.试验者采用了混合水平正交设计OA(18,2137,2)={a1,a2,…,a8}[2,6,9,14].3位工程师分别进行了如下试验: 工程师A挑选正交设计D1={a2,a3,a6},工程师B挑选正交设计D2={a3,a4,a5},工程师C挑选正交设计D3={a2,a4,a5}.

混合水平正交设计OA(18,2137,2)的分辨度为3,故所有主效应之间是不混杂的,但主效应和二阶交互效应之间则部分混杂.3位工程师所选正交设计的广义分辨度分别为

R*(D1)=4-1/2=3.5

R*(D2)=4-0.5/2=3.75

R*(D3)=4-2/2=3

从广义分辨度的角度来看,正交设计D2优于正交设计D1,正交设计D1优于正交设计D3.在数据分析过程中,正交设计D2中各效应之间的混杂程度最小,这一结论与文献[8]一致.

表2给出了正交设计D1的投影频数分布.为简化记号,令设计因子ai(i=1,2,3)的3个水平分别记为ai(0),ai(1),ai(2). 于是,从因子a1,a2在a3的各个水平取值上的投影频数分布可以发现,正交设计D2最均匀, 即为最优设计. 在a3的每个水平上,a1,a2的水平组合各不相同.而对于正交设计D1和D3,均匀性都较差.

对于正交设计D1,在a3的1水平下,a1,a2的水平组合各不相同,而在0水平和2水平下,a1,a2的水平组合出现重复. 例如, 当a3取0水平时,a1,a2出现了3次(1,2), 在a3取2水平时,a1,a2出现了2次(2,0).

对于正交设计D3,a1,a2的水平组合在a3的所有水平下都出现了重复,故正交设计D3的均匀性最差. 这也从另一角度说明了广义分辨度的合理性及其几何意义.

3 结语

本文借助矩阵象理论, 建立了一类新的广义分辨度指标, 该指标不要求水平数一定是素数幂的,并且具有水平置换不变性. 实例分析结果表明, 该广义分辨度指标对混合水平正交设计有较好的区分能力, 并且计算方便.

References)

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[14]刘文卿. 实验设计[M]. 北京:清华大学出版社, 2005:99-102.

Resolution of nonregular design and its applications

Chen Xueping1,2Chen Xuanqing2Sheng Yongjian2Lin Jinguan1

(1Department of Mathematics, Southeast University, Nanjing 211189, China)(2School of Mathematics and Physics, Jiangsu University of Technology, Changzhou 213001, China)

To realize optimal selection for nonregular orthogonal designs, a generalized index of resolution based on matrix images is proposed. First, the measure of confounding between high-order interactions is defined. The confounding values do not depend on the numbers of levels. Hence, this measure can be applied to both the orthogonal designs with fixed-levels and those with mixed-levels. Then, by substituting the confounding values in generalized models of analysis of variance, a generalized index of resolution for nonregular orthogonal designs is obtained, which satisfies the property of coding invariant. The results of the real data analysis demonstrate that the proposed generalized resolution has good classification capacity and can be used for ranking and optimally selecting nonregular orthogonal designs. Moreover, from the distribution of the projected frequencies on different levels, it is shown that the generalized resolution can reflect the uniformity of the design points in overall space, thus the relationship between the generalized resolution criterion and uniformity is established.

orthogonal design; engineering design; resolution; confounding; matrix image

10.3969/j.issn.1001-0505.2015.02.037

2014-10-08. 作者简介: 陈雪平(1983—),男,博士生,讲师;林金官(联系人),男,博士,教授,博士生导师,jglin@seu.edu.cn.

国家自然科学基金资助项目(11301073,11401094)、教育部博士点专项基金资助项目(20120092110021)、江苏省自然科学基金资助项目(BK20141326)、江苏省普通高校研究生科研创新计划资助项目(2014KYZZ0068) 、东南大学优秀博士学位论文基金资助项目(YBJJ1444).

陈雪平,陈绚青,盛永健，等.非正规正交设计的分辨度及其应用[J].东南大学学报:自然科学版,2015,45(2):413-416.

10.3969/j.issn.1001-0505.2015.02.037

O212.6; TP391

A

1001-0505(2015)02-0413-04