正态模糊数型多属性群决策方法及应用

顾翠伶,王亚子

多属性群决策广泛应用于社会、经济、管理等多个领域.但由于客观事物的复杂性及人为地不确定性,使得这些领域的决策都存在着不确定性.凡是决策者不能精确定义的参数、概念和事件等,都被处理成某种适当的模糊集合,蕴含着一系列不同置信水平的可能选择.近年来,关于三角模糊数、梯形模糊数、直觉模糊数型的多属性决策已经有了广泛研究[1-7].但是三角模糊数和梯形模糊数的隶属函数是线性隶属函数形态,在亦此亦彼性的刻画上虽然连续,但出现突变点,这种突变不符合中介过渡性质的渐变特征.李德毅等[8]指出,对大量模糊概念,用正态隶属函数刻画最适合,最接近人类思维.文献[9]针对属性权重未知,方案属性值、主观偏好值为正态模糊数型的多属性决策问题,提出一种基于相似度与规范化理想解的决策方法,将正态模糊数以及相关理论引入到多属性决策领域,使复杂问题的解决将更加科学化、规范化.但正态模糊数运算与线性隶属函数相比,模糊运算规则复杂,使得正态模糊数在多属性决策中的应用还不多.因而,基于正态模糊数及相关理论的多属性决策问题的研究有着十分重要的意义.

本文针对决策属性值以正态模糊数型给出、属性权重完全未知的模糊多属性决策问题,给出一种解决方案.利用正态模糊数的期望与方差,提出一种分值函数,并以此把正态模糊型专家权重转化为精确权重.依据正态分布的“3σ原则”将正态模糊数决策值转化为区间数,按照Topsis思想求解区间型模糊多属性决策问题.实例验证新方法的可行性和有效性.

1 预备知识

定义1[10]论域R上的模糊集合～A满足以下性质:

(2)∀a∈[0,1],～Aa≜{x∈R│～A(x)≥a}是有界闭区间;

定义2[10]若模糊数～A的隶属函数为

则称～A为正态模糊数.容易发现～A是由a和σ2唯一确定,因此可以记为～A=(a,σ2).

正态模糊数的三种运算:设～A=(a,σ2a),～B=(b,σ2b),则有

(1)～A+～B=(a+b,σ2a+σ2b);

(2)λ～A=(λa,λ2σ2a);

定义3[11]模糊数～A的期望为E(～A)

定义4[11]模糊数～A的方差为D(～A)

其中ε为决策者的偏好.当～A=(a,σ2),其可信度为

定义6[12]记～A=[aL,aR]={x|aL≤x≤aR,aL,aR∈R},称～A为一个区间数.

定义7[13]区间数A=[a-,a+],B=[b-,b+],它们之间的运算关系如下:

(1)A-B=[a-,a+]-[b-,b+]=[a--b-,a+-b+];

(2)A+B=[a-,a+]+[b-,b+]=[a-+b-,b-+a+][a-+b-,a++b-];

(3)A×B=[a-,a+]×[b-,b+]=[min(a-b-,a-b+,a+b-,a+b+),max(a-b-,a-b+,a+b-,a+b+)],

当A,B∈I+时,A×B=[a-b-,a+b+].特别λA=[λa-,λa+].

设随机变量X～N(μ,σ2),则

从上式可以看出:尽管正态变量的取值范围为(-∞,∞),但它的99.73%的值落在(μ-3σ,μ+3σ)内.这个性质就是正态分布的“3σ原则”.按照该原则,可以将正态模糊数转化为区间数.由于区间数的运算相对简单,因而在求解模糊多属性决策问题时,将正态模糊数信息转化为区间数,可以简化计算过程.

2 基于正态模糊型的模多属性决策问题

假定正态模糊型多属性决策问题的决策方案集为X={X1,X2,…,Xm},决策的属性集为U={U1,U2,…,Un},决策群体集为D={D1,D2,…,Dl},专家的权重υ={υ1,υ2,…,υl},属性权重ρ={ρ1,ρ2,…,ρn}.属性权重未知的正态模糊型多属性群决策过程可以分为以下几个步骤:

步骤1 给定决策矩阵.第t个决策者关于属性对决策方案的决策矩阵为

依据正态分布的“3σ原则”,我们可以将正态模糊数转化为区间数.求出相应的区间型决策矩阵为

步骤2 求决策群体中各专家的权重.由于受专家的名望、地位、所属专业和对决策问题的熟悉程度等因素的影响,使得各个专家的权重不能表示为一个精确的数值.根据专家的资历、经验等事先给出专家的权重,以正态模糊数的形式给出,记为υ={υ1,υ2,…,υl},其中υt=(atυ,(σtυ)2),t=1,2,…,l.υt=(atυ,(σtυ)2)均值越大,则代表专家的能力越强,其方差越小,说明在专家进行评价时越不容易出错.所以模糊权重υt=(atυ,(σtυ)2)的均值越高、方差越小的专家在评价方案时越可信.由此对第t个专家进行评分,利用定义5计算每个专家可信值,其中ε在评价专家权重时对待其评价值的态度,如果看中专家的期望,则取0.5＜ε＜1.利用可信值函数,按公式

求得每个专家的权重.

步骤4 求决策属性的权重值.对于属性权重完全未知的模糊多属性决策问题,我们必须从已知的信息中,确定属性的权重.这里,首先找出不同属性Uj下的基础解.所求得的属性权重应使得所有属性下的基础解的加权离差平方和达到最小.

利用Matlab求解上述最优化模型,可以得到第j个属性Uj的权重值ρj,j=1,2,…,n.

步骤5 求综合决策矩阵.根据群体决策矩阵与决策属性值,求综合决策矩阵Z.

步骤6 求各个决策方案的综合评价值.定义基本区间数V=[vL,vR]=[min zLi,max zRi].首先求出每个方案与基本区间数之间的左右距离dLi=|zLi-vL|,dRi=|zRi-vR|,进而计算每个方案与基本区间数之间的相对距离

其中ι代表决策者的一种态度.

方案离基本区间数的右距离越小,同时左距离越大,则方案越优.因此可以根据ψ(Xi)的大小对方案进行排序.

3 实例分析

通常一些大学采用教学(U1)、科研(U2)和服务(U3)这三个属性作为评估的一级指标(属性),属性权重分别为ρ1,ρ2,ρ3,并且满足ρ1+ρ2+ρ3=1,根据评估标准对4个学院X1,X2,X3,X4进行评估打分,各指标下的评估信息用正态模糊数给出.决策群体集D={D1,D2,D3},各专家的权重集:～ω=(～ω1,～ω2,～ω3).已知决策矩阵为

根据正态分布“3σ原则”将决策矩阵转化为区间数矩阵.

根据专家的资历以及对以往经验能力的了解情况给出三位专家的模糊权重

由公式(4)可得三位专家的精确权重～ω1=0.375,～ω2=0.25,～ω3=0.375.

由区间数决策矩阵与专家的权重信息,求得群体决策矩阵

在属性Uj下的基础解为

求解最优化模型(5),得到决策属性的权重ρ1=0.287 7,ρ2=0.392 8,ρ3=0.319 5.

根据群体决策矩阵与决策属性权重,得到综合决策矩阵

基本区间数V=[66.682 6,93.222 9].计算每个方案与基本区间数之间的左右距离分别为:

dL1=0,dL2=0.383 8,dL3=4.514 6,dL4=3.063 3,dR1=0.041 4,dR2=1.625 8,dR3=0,dR4=0.115 5.

计算每个方案与基本区间数之间的相对距离

这里取ι=0.5,决策者持中立态度.按照ψ(Xi)的大小对方案进行排序为:

4 结论

对大量的模糊概念,用正态隶属函数刻画最适合,最接近人类思维.将正态模糊数以及相关理论引入到多属性决策领域,使复杂问题的解决更加科学化、规范化.本文对正态模糊型多属性群决策问题进行研究,利用正态模糊数的期望与方差,构造一种可信值函数,并以此把正态模糊型的专家权重转化为精确权重.按照概率统计的理论知识,将决策矩阵中专家的正态模糊型决策属性值转化为区间数.然后按照区间模糊数的理论及Topsis思想求解区间型模糊多属性决策问题.把正态模糊型多属性群决策转化为区间型模糊多属性群决策,简化了计算过程.实例验证本文方法的可行性和有效性,丰富了模糊决策的应用.

参考文献:

[1]HWang C L,Lin M J.Group decision making under multiple criteria:methods and application[M].Berlin:Springer-Verlag,1987.

[2]陈晓红,阳曦.一种基于三角模糊数的多属性群决策方法[J].系统工程与电子技术,2008,30(2):278-282.

[3]曲文阁,周宏安.基于模糊语言评估和FOWA算子的多属性群决策[J].武汉理工大学学报:信息与管理工程版,2013,35(4):623-626.

[4]李荣钧.模糊多属性决策理论及其应用[M].北京:科学出版社,2002.

[5]Chen T Y,Wang H P,Lu Y Y.A multi-criteria group decision-making approach based on interval-valued intuitionistic fuzzy sets:A comparative perspective[J].Expert Systems with Applications,2011,38:7647-7658.

[6]梁昌勇,戚筱雯,丁勇,等.一种直觉模糊多属性群决策方法及其在群决策中的应用[J].运筹与管理,2013,22(1):41-47.

[7]左春荣,汪金霞,付超.一种梯形模糊偏好的多属性群决策方法[J].合肥工业大学学报:自然科学版,2009,32(3):374-377.

[8]李德毅,刘常昱.论正态云模型的普适性[J].中国工程科学,2004,6(8):28-34.

[9]桑广,吴涛.正态模糊数型多属性决策模型及其应用[J].山西大学学报:自然科学版,2013,36(1):34-39.

[10]彭祖赠,孙韫玉.模糊数学及其应用[M].武汉:武汉大学出版社,2007.

[11]李安贵,张志宏,孟艳,等.模糊数学及其应用 [M].2版.北京:冶金工业出版社,2005.

[12]贺仲雄.模糊数学及其应用[M].天津:天津科学技术出版社,1982.

[13]Xu Z S,Da Q L.An overview of operators for aggregating information[J].International Journal of Intelligent Systems,2003,18(3):953-969.