基于Sigmoid函数的时域宽带DBF基带实现

刘铸华，林桂道

(中国船舶重工集团公司第723研究所，扬州 225001)



基于Sigmoid函数的时域宽带DBF基带实现

刘铸华，林桂道

(中国船舶重工集团公司第723研究所，扬州 225001)

推导了一种在基带实现的时域宽带数字波束形成(DBF)方法，并利用sigmoid函数来实现分数滤波，得到精确的时延量来减小或消除时域方法中的色散效应。这种方法充分利用了sigmoid函数的宽误差范围和小误差迭代继续的特点，来适应基带时域宽带DBF的特点，从而改善了波束性能和算法效率。

时域数字波束形成；分数滤波器；sigmoid函数；自适应算法

0 引 言

宽带数字波束形成(DBF)技术是一种通过调整各个阵元接收信号的幅相，从而使得天线阵能量往一个期望方向进行聚集的技术。通过形成的波束可以实现空间目标的探测、跟踪和参数测量。由于宽带信号的变频特性，应用传统的窄带DBF会带来指向偏移。理论上，宽带DBF有两大类方法[1]：频域形成方法和空时域形成方法。

频域方法通过快速傅里叶变换(FFT)将宽带信号转变为按频率子带划分的各个窄带信号，然后进行窄带DBF[2]。明显的，当信号带宽过大时，FFT阶数将会变得很大，随之也会带来计算量级数般增长。空时域方法则通过时延代替移相的方式，实现阵元信号的幅相校正[3]。

可是，实际工程应用中，时域方法往往会因为时延量的精确问题有一定波束指向的偏移。早期，为了解决工程实现的时延问题，一般采用模拟电路实时延迟单元(TTD)或者传统滤波器来实现精确时延。这将导致硬件设备量的大幅增加。随着技术的发展，过采样、内插值[4]和分数滤波器[5]等数字实时延迟技术相继被提出。

相比较而言，分数滤波器因能实现任意时延量，且能在相对低的采样速率下实现而被工程实现首选。但是一般的自适应算法收敛域过小，并不适应时域方法的噪声干扰；小误差下过早收敛为零则不适合分数滤波器的样本微小误差迭代量。

基于sigmoid函数的LMS算法[6]是一种改进的自适应算法，通过步长的调整能加快收敛速度，且具有宽收敛域和微迭代量的特点。通过对sigmoid函数的调整，还能适当改变收敛域和微迭代量，从而满足时域宽带DBF的算法和硬件设计需要。其次，时域中频采样仍然会导致信号的采样数据率过高，这样数据量仍然很大。当信号处于基带时，信号的采样速率会大大降低。

基于以上的分析，本文介绍了一种基带实现的宽带时域DBF方法，从而降低了信号的采样率，易于工程实现。在此基础上，提出应用sigmoid函数来设计分数滤波器，从而得到工程可实现的精确时延，并减小工程设备量。其次，sigmoid函数的选用满足了时域DBF中噪声干扰和样本间微误差量的特点。

1 迟延量对色散效应的改善

假设一个具有N个阵元的天线阵呈均匀间距直线分布，间隔d为信号波长的一半。当N个阵元同时接收来自与天线阵法线成θ角的信号时，选取最近阵元作为参考阵元，则第N个阵元与参考阵元的相位差为：

(1)

为了得到信号指向和信号频率的关系，对式(1)变形得到：

(2)

把式(2)中θ对f求导，则得到：

(3)

公式(3)中因为频率变化Δf而导致波形指向发生Δθ角度偏移的现象被称为频率色散效应。这时如果对阵元N进行τA的时间延迟，则此时的阵元N对参考阵元的相位差就能由式(1)改写为：

(4)

从公式(4)导出角度与频率的关系式为：

(5)

把式(5)中的θ对f求导，得到：

(6)

从式(6)中可以看到，当对阵元N的接收信号进行τA的时延后，阵元的频率变化导致的色散现象能被减小甚至消除。因此，精确的时延器可以实现宽带信号时域DBF。

2 时域宽带DBF基带实现公式推导

假设天线阵元是等间隔直线分布的N阵元均匀线阵，选取距目标最远阵元作为参考阵元。为了降低数据采样率，需要对信号进行下变频到基带，然后经过数字采样，得到信号的数字采样信号形式。处理流程如图1所示。

图1 阵元信号基带下变频结构

定义参考阵元的信号为脉冲形式：

(7)

(8)

式中：u(t)为参考阵元接收信号x1(t)的复包络；f0为信号的载频。

由于阵元间距d的存在，阵元i接收到的信号相对参考阵元发生了一定的时延，信号形式为：

(9)

(10)

经过图1结构显示的处理后，xi(t)对应的基带形式为：

(11)

(12)

式中：Tb为信号的基带采样间隔。

(13)

(14)

因此，对时域基带采样信号作出移相、数字延迟线整数倍延时和分数滤波器延时3步变换后，便可以得到同相的各个阵元信号，从而相加得到波束形成。3个部分分别有以下形式：

(15)

(16)

(17)

对式(15)～(17)进行频域变换，便得到理想时域宽带DBF信号时，各个阵元信号变换的脉冲响应：

(18)

此时得到时域宽带DBF的结构图如图2所示。

图2 时域宽带DBF结构图

3 基于sigmoid函数的分数滤波器设计

由于各个阵元输入信号受到干扰噪声等影响，因此各个阵元的分数时延滤波输出并不等于确定值，即式(17)得到的结果不一定是理想的输出，因此需要采用自适应算法来求得分数滤波器系数。传统的最小均方(LMS)算法可以实现分数滤波器的时延输出与理想值之间均方误差和最小。分数滤波器设计框图如图3所示。

图3 分数滤波器设计框图

取阵元数为N，采样样本长度为M，则分数滤波器权系数向量为：

W=[w(0)，w(1)，…，w(M-1)]

(19)

w(i)=[αi(0)，αi(1)，…，αi(N-1)]T,

i=0,1,… ,M-1

(20)

X=[x(0)，x(1)，…，x(M-1)]

(21)

x(i)=[xi(0)，xi(1)，…，xi(N-1)]T,

i=0,1,… ,N-1

(22)

式中：w(i)为每个样本时刻N个阵元的权值，通过M-1次调整权值可得到w(M-1)，达到精确分数时延的目的。

定义误差信号为：

e(n)=d(n)-WT(n)X(n)

(23)

权值迭代公式为：

w(n+1)=w(n)+2μe(n)X(n)

(24)

为了使得w(n+1)快速收敛，往往μ取变化值，选用不同的函数构造μ可以得到不同的收敛特性。为最快速取得收敛值，陈景繁等学者提出了SVSLMS(基于S型函数变步长最小均方)算法，其步长μ(n)基于sigmoid函数得出：

(25)

但是SVSLMS算法的收敛域过小，在时域宽带DBF中往往信号是掺杂着噪声干扰的。过小的收敛域会导致极大的噪声瞬间，信号误差过大而跳出收敛域，从而使得权值发散。为改进算法的收敛域性能，罗小东提出的改进型SVSLMS (GJSVSLMS)算法对收敛域进行了扩大[9]。这一改进正好满足了宽带时域DBF对噪声干扰的适应问题，其步长计算式为：

(26)

虽然GJSVSLMS算法具有宽收敛域，但是在小误差量时，其步长值提早等于零，这就使得GJSVSLMS算法对微小误差不再敏感。但是分数滤波器的设计往往需要对连续采样样本之间微小误差进行修改权值，过早归零的算法特性使得其无法达到分数滤波器精确时延的要求，从而导致波束形状改变。

受sigmoid函数特点决定，多个sigmoid函数乘积可以改善函数性能[10]。因此分别选择2个sigmoid函数和3个sigmoid函数乘积项和单个sigmoid函数进行性能对比，表达式如下：

(27)

(28)

各算法步长随误差收敛对比关系如图4所示。

图4 各算法步长μ(n)随误差e(n)收敛对比图

通过图4可知，SVSLMS算法虽然收敛最快，但是其收敛域过小，不适合宽带时域DBF噪声干扰的情况。GJSVSLMS算法在保证了收敛速度的前提下，收敛域明显加大了。双sigmoid乘积项和三sigmoid乘积项的改进算法则在保证收敛域大小的前提下，通过额外的sigmoid乘积项改善微误差下的收敛特性。三sigmoid乘积项的算法又通过更多的约束使得曲线的底部收敛加快，从而保证了收敛效率和收敛域，如图3的三sigmoid乘积项线在底部明显比二乘积项曲线收敛加快。

因此选用多sigmoid乘积项的改进GJSVSLMS算法，可以保证宽收敛域和微小误差快速收敛而不过快停止的效果，适用于时域DBF分数滤波器的噪声干扰和样本间微小误差特征。乘积项的多少取决于需要分段设计收敛速度的段数多少，乘积项越多，则收敛域按照收敛速度划分段数越多。每个乘积项α的大小取决于对应段曲线的收敛速度，一般底部需要快速收敛，因此最后一项乘积项的α可以取前一个乘积项对应α的10倍。

4 仿真结果

取一80阵元均匀阵，信号期望角度为45°，信号为线性调频(LFM)信号，x(t)=cos[2π(f0+at)t]，其中f0=3.6 GHz，带宽B=400 MHz，脉冲宽度T=40 μs，调频系数为α=1013，基带采样频率为fs=500 MHz。对比只移相形成的波束和理想时间延迟的形成波束，来观察宽带时域DBF中时间延迟对波形色散效应的的影响。对比理想延迟和实际中数字延迟线仅能达到的整数倍采样间隔延迟，来了解时延量对精确度的影响。其中理想延迟形成的波形由整数倍时延加上第2节设计的分数滤波器滤波得到，波形图如图5所示。

图5 宽带时域DBF延时效果图

从图5理想延时处理波形可见，设计的分数滤波器明显能达到精确时延并形成波束的效果。而时域宽带DBF中，只进行移相得到的波形图主瓣明显比精确时延得到的波形图宽,因而波束的角度分辨率低。而移相后加上整数倍时延的波形图虽然和精确时延得到的波形图一样能得到正确的波束指向，但是明显其副瓣加高，不能达到信号能量在指定方向集中照射的目的。

5 结束语

本文推导的时域宽带DBF在基带的实现方法，经仿真验证了其正确性。结果显示，本文提出的基于sigmoid函数来设计分数滤波器的方法能达到精确的时延量，从而改善了波束主瓣宽度及指向和副瓣电平等波束性能。

图4仿真结果显示，这种分数滤波器设计方法的宽收敛域和微误差迭代特点，适合时域宽带DBF分数滤波器对噪声干扰敏感和样本间微误差的特点，因此基于sigmoid函数的分数滤波器对时域宽带DBF适应度高。通过sigmoid函数系数和乘积项数量的变化，还可以使自适应迭代步长收敛速率随误差分段改变。

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Baseband Realization of Time-domain Broadband DBF Based on Sigmoid function

LIU Zhu-hua,LIN Gui-dao

(The 723 Institute of CSIC,Yangzhou 225001,China)

This article deduces a time-domain broadband digital beam forming (DBF) method based on baseband,and uses sigmoid function to implement fractional filtering,obtains accurate time delay to reduce or eliminate the dispersion effect in time-domain method.This method makes full use of the characteristics of sigmoid function such as wide error range and continuative iteration of small error to adapt the characteristics of time-domain broadband DBF algorithm based on baseband,thereby improves the beam performance and algorithm efficiency.

time-domain digital beam forming;fractional filter;sigmoid function;adaptive algorithm

2014-12-09

TN713

A

CN32-1413(2015)01-0027-05

10.16426/j.cnki.jcdzdk.2015.01.006