概率统计课程教学的实践体会

石 龙 刘勉声

（中南林业科技大学理学院，湖南 长沙410004）

自然界中所观察到的现象分为确定性现象与随机现象。在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象，在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称为随机现象。随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性，但在大量试验或观察中，这种结果的出现具有一定的统计规律性，概率统计就是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。

作为数学学科的一个分支，它有数学课程的共同特点：抽象、理论性偏强，让学生觉得高大上。但它也有自身的特征：研究生活中的随机现象，其思想方法不同于学生以前接触的任何一门数学类课程。要让学生抛掉学习其他数学类课程的惯性思维，在较短的时间内接受描述随机现象的新的思想和方法，无疑是有一定难度的。因此，在概率统计课程的教学实践中，如何根据该门课程的特点，采取怎样的教学方法，让学生学习这门紧密联系现实生活的课程时不像学习其他数学类课程那样觉得枯燥无味，就成了教授这门课的老师们所需要思考的一个课题。有很多教育工作者在这一方面做了一些探讨[1-4]，本文根据作者的教学实践，从趣味教学、化难为易、联系实际等方面对概率统计的教学方法作了一些探讨。

1 趣味教学

兴趣是学生学习最好的老师，成功的教学是激发学生的兴趣，而不是枯燥无味地照本宣科。概率统计所研究的问题来源于现实生活，因此在教学实践中，教师要利用好这门课程的现实背景，让教学内容充实、丰富、有趣，激发学生的学习热情，提高学生学习的主动性。在介绍古典概型时，为了吸引学生的兴趣，可先抛出一个有趣的命题：在70人的班级里至少有两个人的生日相同的概率几乎为1。同学们听到这个命题后很惊讶，相互打听生日，发现真有人生日相同后非常奇怪，这样学习古典概型的兴趣就很高昂。接下来我们就可以具体介绍得到这一命题的原因。

例1 （生日问题）假设每人的生日在一年365天中任一天是等可能的，随机选取n（≤365）个人，他们的生日各不相同的概率为365n，因而，n个人中至少有两人生日相同的概率为p=1-An

365/365n。 通过计算可得，n=50时，至少有两人生日相同的概率为0.97，n=70时，至少有两人生日相同的概率为0.999。这样，我们既引起了学生学习的兴趣，也介绍了古典概型的求解方法。

2 化难为易

化难为易法是指通过合适的处理，将求解比较复杂的问题转化为相对简单易求的问题。概率统计中比较有代表性的例子是服从二项分布的随机变量可以表示成若干个0-1分布的随机变量之和。这里，我们举另外一个在教学实践中学生处理起来感觉很难的例子：在二维连续型随机变量的学习中，根据联合密度函数求边缘概率密度时变量的范围如何处理？我们通过下面的例子来加以说明。

例2 设二维随机变量（X，Y）在区域G=｛（x，y）|0≤x≤1，x2≤y≤x｝上服从均匀分布，求边缘概率密度函数FX（x），FY（y）。

解：（X，Y）的联合概率密度为：

但求边缘概率密度FY（y）时变量的范围如何选择，很多学生在这一点上就有些为难了。这里，我们将求边缘概率密度与非零表达式的区域的划分联系起来，要求FX（x）就将G划分成X型域，要求FY（y）就将G划分成Y型域。这样，根据联合概率密度求边缘概率密度就不用再担心变量范围怎么取的问题了。即：

3 联系实际

在介绍极大似然估计时，学生对于似然函数的选取不甚理解。为了帮助学生理解，我们通过联系实际，得到判断，解释得到判断的依据，这样，极大似然思想也就显现出来了。下面有具体的示例来作说明。

例3 罐子中有若干黑球和白球，只知道两球的比例是3∶1，但不知白球多还是黑球多，现随机有放回抽取2次，观察全为黑球，试问罐中白球多还是黑球多？

对于这样一个实际问题，学生很容易得到黑球多的结论，但得到这一结论的依据是什么呢？下面让我们给出说明。

解：设Xi（i=1，2）表示第i次取球的情况，“Xi=1”表示该次取得黑球，“Xi=0”表示该次取得白球，设单次取球取到黑球的概率为p。本例中p的取值为1/4或3/4。由于P｛X1=1，X2=1｝=p2，现在的问题转化为已得到了该样本，p应取何值？根据概率越大的事件在一次试验中越容易发生原理，显然当p=3/4时更容易得到该样本，因此从该样本出发可以得到黑球多这一结论。这就是极大似然思想，似然函数即为样本的联合分布函数，这样，学生也就了解了极大似然估计的思想和方法了。

以上只是作者在概率统计教学实践中的一点体会，还有很多数学方法都值得我们去研究。作为老师，我们要与时俱进，根据不同的教学内容找寻学生容易接受的教学方法，有效提高课堂的教学效果。

［1］孙福杰，王亚玲.谈概率统计的启发式教学[J].长春大学学报，2006，16(6)：142-144.

［2］朱方霞.概率统计教学方法探讨[J].滁州学院学报，2009，11(3)：65-66.

［3］李冬梅，马醒花，王震.概率统计课堂教学模式的研究与探索[J].中国科教创新导刊，2011，14：63.

［4］蔡云峰，董敏.浅析概率统计教学方法与教学手段的研究[J].西南农业大学学报：社会科学版，2012，10(12)：261-262.