无限区间上p-Laplacian方程解的存在性

武 晨

(江苏联合职业技术学院南京分院，江苏南京 210019)



无限区间上p-Laplacian方程解的存在性

武 晨

(江苏联合职业技术学院南京分院，江苏南京 210019)

本文研究无限区间上非线性p-Laplacian方程解的存在性，通过利用Leray-Schauder连续度方法得到解的存在性结果。

Caratheodory函数；p-Laplacian算子；边值问题

1 提出问题

在本文中，我们研究非线性一维p-Laplacian方程

其中，φp(s)=|s|p-2s,p>2.

f:[0,+∞)×R2→R关于L1[0,+∞)是个Caratheodory函数，p(t)∈C[0,+∞)∩C1(0,+∞)，且对于所有的t≥0恒有p(t)>0成立，α≥0,β≥0，且不同时为0.

为了方便起见，定义如下记号:

2 一些定理和引理

定理2.1 设X是一个Banach空间，T:X→X是全连续算子，如果存在R>0，对于λ∈(0,1)，满足u=λTu,，都有‖u‖≤R成立，则T有一个不动点.

定理2.2[1]设X是[0,+∞)上所有连续有界泛函组成的空间，且S⊂X，则S在X中是列紧的当且仅当下面的条件成立：①S是X中的有界集；②S中的所有泛函在[0,+∞)的任意有限子集内都是等度连续的；③S中的所有泛函都是等度收敛的.

引理2.1 如果g∈L1[0,+∞)，则方程p(t)φp(u′(t))′=g(t)对应于边值问题(2)，且满足α>0有唯一解：

(3)

引理2.2 如果g∈L1[0,+∞)，则方程p(t)φp(u′(t))′=g(t)对应于边值问题(2)，且满足α=0有唯一解:

(4)

引理2.3 如果g∈L1[0,+∞)，则(3)中的u(t)满足：‖u‖∞≤Aφp-1(‖g‖)1，‖u′‖∞≤Bφp-1(‖g‖)1.

引理2.4 如果g∈L1[0,+∞)，则(4)中的u(t)满足：‖u‖∞≤|u(0)|+Cφp-1(‖g‖)1，‖u′‖∞≤Bφp-1(‖g‖)1.

定义算子：

(5)

(6)

引理2.5 算子T1,T2:X→X是全连续算子.

证明 为了证明T1是紧算子，只需要证明T1把X中的任何有界集映成相对紧集.设K⊂X有界，则必存在r>0，使得r=sup{‖u‖:u∈K}.由于f:[0,+∞)×R2→R关于L1[0,+∞)是个Caratheodory函数，从而存在L1可积的函数αr，使得对所有的u∈K和几乎处处的t∈[0,+∞)都有|f(t,u(t),u′(t))|≤αr(t)成立.

从而对任意的u∈K，有

从而，‖T1u‖≤max{A,B}φp-1(‖αr‖1)，即T1(K)在X中有界.

对任意L1,L2∈[0,+∞),ε>0,存在δ>0,使得对任何子区间[t1,t2]⊂[L1,L2]，满足|t2-t1|<δ，都有

|T1u(t2)-T1u(t1)|=

因此，T1(K)在[0,+∞)上的任意有限子集内是等度连续的.

所以T1(K)是等度收敛的,这样就满足定理2.2的所有条件.从而根据定理2.2可知，T1(K)是列紧的.由Lebesgue控制收敛定理可得，T1是连续的，所以T1:X→X是全连续算子.同理可得T2:X→X也是全连续算子.

3 主要结论

定理3.1 假设是函数f:[0,+∞)×R2→R是L1-Caratheodory函数，如果存在函数α,β,γ:[0,+∞)→[0,+∞),α,β,γ∈L1[0,+∞)，使得|f(t,z1,z2)|≤α(t)|z1|+β(t)|z2|+γ(t),a.ein[0,+∞);A‖α‖1+B‖β‖1<1成立，其中A,B由本文第一节给出，则当α>0时，边值问题(1)(2)对任何γ∈L1[0,+∞)至少有一个解.

证明 考虑对于λ∈(0,1)，方程

(p(t)φp(u′(t)))′=λf(t,u(t),u′(t)).a.e.in(0,+∞).

(7)

满足边值条件(2)，接下来证明所有满足边值问题(2)(7)可能的解都有一个不依赖于λ∈(0,1)的先验估计.根据引理2.3和(7)，有

‖(p(t)φp(u′(t)))′‖1=λ‖f(t,u(t),u′(t))‖1≤‖α‖1‖u‖∞+‖β‖1‖u′‖∞+‖γ‖1

≤A‖α‖1φp-1(‖p(t)(φpu′))′‖1)+B‖β‖1φp-1(‖p(t)(φpu′))′‖1)+‖γ‖1

满足边值问题(2)(7)的解在L1[0,+∞)中都有一个不依赖于λ∈(0,1)的先验估计，由引理2.3和以上不等式可知

易知边值问题(1)(2)有解当且仅当算子T1有不动点.T1是全连续的，由上述不等式可知定理2.1的条件成立，可知T1有一个不动点，即是边值问题(1)(2)的解.

类似地，我们可以得到如下定理.

定理3.2 假设f:[0,+∞)×R2→R是L1-Casratheodory函数，如果存在函数α,β,γ:[0,+∞)→[0,+∞),α,β,γ∈L1[0,+∞)，使得|f(t,z1,z2)|≤α(t)|z1|+β(t)|z2|+γ(t),a.ein[0,+∞);C‖α‖1+B‖β‖1<1成立，其中B，C由本文第一节给出，则当α=0时，边值问题(1)(2)对任何γ∈L1[0,+∞)至少有一个解.

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The Existence of Solution forp-LaplacianEquation on an Unbounded Domain

WU Chen

(Branch of Nanjing Jiangsu Union Technical Institute, Nanjing Jiangsu 210019, China)

In this paper, we consider the existence of solution forp-Laplacianboundary value problem on an unbounded domain.By usingLeray-SchauderContinuation Principle, we obtain the existence solution for this boundary value problem.

Caratheodoryfunction;p-Laplacianoperator; boundary value problem

2015-07-12

武 晨(1985- )，男，安徽宿州人，江苏联合职业技术学院南京分院讲师，硕士，从事微分方程研究。

O

A

2095-7602(2015)10-0001-04