基于PDE 的图像去噪方法

陈 龙，蔡光程

CHEN Long,CAI Guangcheng

昆明理工大学 理学院，昆明650500

Faculty of Science,Kunming University of Science and Technology,Kunming 650500,China

1 引言

图像在各种传输路径和转换过程中会产生噪声，而噪声在很大程度上模糊了图像的细节信息。传统去噪方法有中值滤波、加权平均法和高斯滤波等[1]。此类方法强调滤除高频成分，而图像的细节如图像的拐角、流形结构、纹理等也分布在高频区域，这必然造成了细节特征的模糊，所以急需发展新的去噪方法。

近年来，基于偏微分方程的图像处理方法因其具有局部自适应性和模型建立的灵活性等特点，在图像处理领域得到了广泛应用。非线性扩散方程对应于物理学中动力学所描述的热扩散过程，通过调整扩散系数来控制扩散程度以达到图像细节特征不被破坏的目的。1990 年，Perona 和Malik[2]提出了保护边缘的非线性各向异性扩散模型，它对图像去噪效果有了很大的改善，但该模型会产生“块状”效应以及对图像中孤立的强噪声去除效果并不理想。自蛇模型[3]也是一种非线性滤波方法，它的特点在于与方向扩散类似，因此继承了方向扩散沿着平行于边缘的切线方向进行的特性，同时该模型带有增强图像的冲击滤波器能够对去噪图像起到增强的效果，但也存在去噪结果不理想的问题。

本文通过分析P-M 扩散模型和自蛇模型，考虑到两种模型各有所长，遂建立了一个自蛇模型与P-M 模型的混合模型，使所建模型在图像的不同区域根据图像的不同特征发挥两种模型各自的特性。实验结果表明，这种对两种模型进行融合的方法是有效的，达到了各自优势的互补，既获得了较好的去噪效果，又可以较好地保留图像边缘等细节。

2 偏微分方程去噪模型

2.1 P-M 模型

Perona 和Malik 提出了如下的非线性各向异性扩散模型：

其中ut为时刻t时的噪声图像，∇ut为图像的梯度算子，div 表示散度算子，g(|∇ut|) 为扩散函数，通常为非负的光滑单调下降函数，其值表示扩散强度。P-M 非线性各向异性扩散模型在抑制噪声和保护边缘两方面取得了较好的效果，但也存在如下问题：（1）对孤立噪声点处理不理想；（2）不能较好地保持纹理细节特征且会产生“块状”效应。

2.2 自蛇模型

自蛇模型是在不含自由参数测地线活动轮廓模型，简称GAC 模型的基础上考虑使图像水平集按GAC 模型运动而得到的，非线性去噪模型如下：

对模型式（2）进行扩散行为分析：

上式右端第一项为扩散项，是一个带有边缘停止函数的方向扩散模型，即

其中ξ表示垂直于图像梯度的单位矢量，由式（4）可知方向扩散只沿着图像边缘的切线方向进行扩散，而沿梯度方向没有任何扩散，虽能保持图像边缘的锐度，但是会在图像的光滑区域产生阶梯效应，所以需要适当的在图像的梯度方向加入扩散项。第二项为为冲击项，它具有增强边缘的作用。综上可知自蛇模型在实际的去噪过程中存在去噪不干净的问题[4-5]。

3 混合去噪模型

P-M 模型利用与梯度成反比的函数为扩散系数，根据图像不同区域的梯度模值来控制扩散系数的大小，但在处理细节信息时扩散模糊了边缘。而自蛇模型具有方向扩散的性质同时带有边缘停止函数和冲击滤波器可以更好地保持边缘的锐度。因此，本文融合上述两种模型的优点把它们进行优化，同时为了保留图像中更多的纹理细节增加了忠诚项[6-8]，建立的混合模型如下：

式中，α∈[0，1]且β=1-α是控制参数，α是以梯度|∇u|为变量的减函数，β是以梯度|∇u|为变量的增函数，λ是忠诚项控制参数，其用于控制平滑程度。把P-M 模型与自蛇模型有机的结合，根据图像不同区域的特征发挥两种模型各自优势比单一的模型顾此失彼要好很多。

3.1 模型分析

对于去噪模型而言，既能使去噪后的图像保持原有边缘信息，又能很好地消除噪声是最好的。因此需要清楚地知道模型在扩散过程中沿各个方向扩散时的控制因素，下面对上述混合模型的扩散项进行分析。

式中η是梯度方向的单位向量，ξ是垂直于梯度方向的单位向量，且

令边缘停止函数以及控制参数分别为：

其中k为梯度阈值它的选取参照Canny 算子提取边缘的高阈值，把它们带入式（6）得：

式（7）中边缘方向扩散系数H(|∇u|)为：

梯度方向扩散系数G(|∇u|)为：

根据式（7）分析整个扩散过程中在图像不同区域的扩散行为，首先希望在图像的边缘区域，即梯度模值|∇u|较大的区域，沿边缘方向扩散系数尽可能的大以保证消除边缘附近的噪声，即扩散系数H满足大于零的常数，而垂直边缘的方向希望扩散系数尽可能的小，当为负数时有助于边缘的锐化[9-12]，而扩散系数G亦满足这一要求；其次在图像的渐变区域，即|∇u|较小的区域，希望沿边缘方向扩散系数较大，而沿梯度方向的扩散以能保护纹理细节为最好，即H(|∇u|)≈1，G(|∇u|)≪1。

3.2 模型的离散化

利用有限差分法对模型（5）进行求解，采用如下“半点离散化”方案迭代实现，设时间步长为Δt，空间步长均为1。

式中每一项可用u和g在整点处的值近似表示，如

由于mi，j=div(g∇u|∇u|)i，j可能为正，也可能为负，故采用迎风格式。而P-M 模型的离散格式与此相仿，使用AOS 策略[13-14]实现，最后获得的显示迭代格式为：

4 实验结果与分析

本文选取Lena 图像和简单图像作为测试图像，分别用P-M 模型、自蛇模型、文献[15]方法以及本文的混合模型进行数值实验比较，实验结果如图1、图2 所示。去噪后的图像使用峰值信噪比和信噪比进行评价分析，如表1、2 所示。（lena 图像高斯噪声方差为0.008，简单图像椒盐噪声强度为0.3，k取10，λ取0.1）。

图1 为几种去噪方法对含有高斯噪声图像去噪的效果比较，（a）为原始图像，（b）为噪声图像，（c）为P-M模型的去噪效果，可以看出P-M 模型模糊了图像微小细节去噪效果不理想；（d）为自蛇模型的去噪效果，由表1的性能参数可以看出自蛇模型的去噪效果优于P-M 模型，且能快速得到较高的峰值信噪比，而峰值信噪比至少能提高1 dB，但从图像可以看出图像细节不够清晰；（e）为文献[15]中提出的方向扩散模型与四阶PDE 相结合的混合模型的去噪效果，发现图像中有噪声斑块（如额头、帽沿）；（f）为本文方法的去噪效果，在对噪声得到很好抑制的同时，也保留了图像的细节且没有出现斑块现象。由表1 的性能比较也反映出本文方法对图像进行噪声抑制后的效果优于其他模型。

图1 不同方法对lena图像高斯噪声去噪比较

表1 针对高斯噪声的各种模型性能比较 dB

从图2（c）可以看出P-M 模型对于椒盐噪声的去除并不是有效的，平滑图像中存有大量噪声，而表2 的性能参数偏低也反映出去噪效果不理想；从图2（d）可以看出自蛇模型能够去除椒盐噪声，但是随着扩散图像中的边缘部分出现了模糊和失真；从图2（e）看出采用文献[15]中的混合模型对椒盐噪声的去除能力很强，但图像边缘同样存在失真的情况。从表2 的性能参数可以发现，本文方法的信噪比和峰值信噪比优于P-M 模型和自蛇模型而低于文献[7]的方法，但是信噪比只从一个侧面反映了处理结果的优劣，从图2（f）效果看，本文方法显然优于文献[7]的方法，在有效去除椒盐噪声的同时，很好的保持了图像边缘的锐度且忠实于原图像。

表2 针对椒盐噪声的各种模型性能比较 dB

图2 不同方法对简单图像椒盐噪声去噪比较

5 结语

本文提出了基于P-M 模型和自蛇模型混合的图像去噪方法，该模型克服了P-M 模型在去除高斯噪声的同时损失图像边缘信息以及对椒盐噪声去除能力较差的缺点，同时弥补了自蛇模型的不足。最后的实验比较结果表明，本文方法既能有效去除噪声又能较好的保持图像的形状，同时提高了图像的视觉效果。

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