MIMO 干扰信道中一种新的分布式迭代预编码算法

高 磊，解培中

GAO Lei,JIE Peizhong

南京邮电大学 通信与信息工程学院，南京210003

College of Telecommunications& Information Engineering,Nanjing University of Posts and Telecommunications,Nanjing 210003,China

1 引言

多输入多输出（Multiple Input Multiple Output，MIMO）技术因其能极大提高无线通信系统容量而成为未来通信的关键技术之一[1]。然而在多用户的通信系统中，多用户使用同一频带通信，会在用户的接收端造成共信道干扰（Co-channel Interference，CCI）。当基站通过互易或者反馈获得CSI 信息时，通过协作多个共信道中相互干扰的发射器，可以抑制共信道干扰，从而达到提高和速率的目的[2]，这也就是预编码技术。

经典的预编码算法如迫零算法[3]和块对角化算法[4]能完全消除共信道干扰，但缺点在于基站的发射天线数不得小于各空间复用用户接收天线之和，这不符合现代通信的要求。为解决这一问题，研究者们开辟了新的研究方向。文[5]指出博弈论是无线网络中分析资源冲突最合适的方法，并指出两用户干扰条件下（MISO-IC）信道的纳什均衡解是两个极限解，文[2]将信道扩展到MIMO条件下，并给出了分布式信道优化波束成形解。文献[6]分析了基于信道反转的BD 算法与基于SVD 分解的算法之间的联系，并提出了适用于MIMO 广播信道条件下的预编码设计。另一个研究的热点是干扰对齐，干扰对齐是将期望信号与干扰信号约束到各自子空间的方法，文献[7]根据干扰对齐的概念，在三个用户的构架下利用全局搜索和最小弦距离的方法设计预编码，接收端滤波器则用迫零法设计，这样就不可避免有上述迫零法的缺点。文献[8-11]运用子空间的思想，通过分布式迭代泄漏的干扰功率量或信号空间距离使得期望信号空间与干扰信号空间的距离最大来实现算法的设计，需要特别指出的是文[10]中算法迭代的目标函数是信号功率和干扰功率的组合，两者的组合系数依托于经验值，信道的时变性为算法实现带来很大挑战。文献[12]是在文[11]的基础上引入了格拉斯曼流型的思想来寻找迭代的最快的下降方向，但算法中对步长的选择较为苛刻。文献[13]中提出了基于最小均方误差准则的算法，在天线数目较多的时候，拉格朗日乘子的计算量大幅增加。文献[14]综合了文[8]和[13]的想法，通过最小噪声泄漏的方法求得发送端预编码，并根据最小均方误差准则设计接收端的滤波器。除此之外，文献[15]根据矩阵扰动理论，在慢衰落信道情况下，将波束跟踪思想引入干扰对齐算法设计中，然而该设计方法并不适用于信道快速变化的情况。

本文主要研究多用户MIMO 干扰信道下行链路的预编码设计，假设一个中心单元已知全部的CSI，即预编码和接收滤波矩阵是在已知基站和用户之间所有CSI 的情况下协作运算获得，这是一种分布式的思想。文中将多数据流的预编码矩阵设计转换成单数据流的预编码矢量设计[16]，受文献[2]启发本文根据虚拟信干噪比和实际信干噪比最大原则（为了和虚拟信干噪比这个概念相对应，文中将通常所说的接收端接收信号的信干噪比称为实际信干噪比，这样第3 章所提算法可称为最大虚实信干噪比迭代算法），提出了MIMO 干扰信道下分布式预编码算法。此外，在最大虚拟信噪比和最小均方误差的条件下给出了另一种迭代算法。

全文中，黑斜体小写字母表示向量，黑斜体大写字母表示矩阵，I表示是单位阵，C表示复数域，E(·)表示期望，‖A‖ 表示求矩阵A的F范数，AH表示A的共轭转置，Vmax{A}表示A的最大特征值所对应的特征向量。

2 系统模型

文中使用的K用户MIMO 干扰信道下行链路模型如图1 所示。

设有K个发送接收对，每个发射机对应一个接收机，第l个发射机配置Nl根天线，第l个接收机配置Ml根天线，为简化分析，设M1=Ml=…=M，N1=Nl=…=N。发射机k发送的数据流表示为sk，一次发送数据流为dk，则，其中dk≤min(M，N)。

图1 三用户MIMO 干扰信道

发射机k先用线性预编码器，将符号sk映射到N根发送天线上，则有：

然后将维数为N×1 的矢量xk广播到信道中。

本文考虑窄带MIMO 干扰信道，每条通信链路在发送数据期间是静态的，但数据成功发送后可以改变，即块衰落模型，假设系统中所有发射机同步发送且通信网络中无频率偏移。式（1）中sk是独立同分布的且满足，预编码矩阵满足，为简化分析，设发送功率P1=Pk=…=P，数据流d1=dk=…=d，则接收端k所接收到的信号为：

式中Hki∈CM×N发射机i到接收机k之间的信道矩阵，本文假设信道为瑞利衰落分布，Hki中元素是零均值、方差为1 的独立同分布复高斯变量。vk是均值为零方差为的复加性高斯白噪声，满足。Uk∈CM×d表示接收端k的接收滤波矩阵满足。式中第一项表示期望信号，第二项为用户间干扰信号，第三项为噪声信号。

将多数据流转换为单数据流，从数学角度来看，式（1）可以改写为：

3 算法设计

3.1 最大虚拟信干噪比和实际信干噪比的迭代算法

干扰对齐这一技术的出现为现代通信中的干扰管理提供了新的思路，满足干扰对齐的预编码矩阵和接收滤波器需要满足式（5）～（6）的条件[16]：

然而现有干扰对齐的算法大多都专注于信号空间的对齐（即将期望信号和干扰信号尽可能地约束到各自的子空间）和寻找更多维数的抗干扰子空间[16]，而对于如何使得期望信号子空间内的期望信号功率最大，并没有做过多的研究和尝试。本文考虑一种干扰对齐算法的自然扩展，优化的目标从最小噪声泄漏转变为信干噪比最大，文献[16]中给出一种最大信干噪比算法，但是该算法要求信道互易，这使得算法应用有一定的局限性，下面介绍本文的方法。

根据式（4）可得到接收机k接收到目标发射机发送的第m个数据流的信干噪比为：

上式给出了接收端实际信干噪比表达式，其中分子表示接收端接收到的期望链路的信号功率，分母表示其他通信链路对期望链路的干扰功率之和，下面给出虚拟信干噪比的概念，仿照式（7）在发送端定义一个虚拟的信干噪比，即分子为期望链路信号功率不变，而分母变为发射机k发送的信号对其他通信链路的干扰功率之和，那么发射机k发射第m个数据流时的虚拟信干噪比可表示为：

当场景为噪声受限时式（8）退化为信干比SIR，当场景为干扰受限时式（8）退化为SNR。虚拟信干噪比可以近似看作系统的上行链路，即基站k用处理接收信号时的SINR；从另一角度来看，发射机发送的信号在目标接收端被视为有用的信号接收，在其他接收端被视为无用的干扰滤除，如此虚拟信干噪比亦在某种程度上近似地反映了基站发送的信号功率在整个网络中的利用率。在实际优化中希望干扰噪声功率尽可能小，期望信号功率尽可能大，即发送端预编码向量要使式（8）最大：

求式（9）可得发射机k第m个数据流对应的预编码向量为式（10）。

证明式（8）可以改写为式（11），观察式（11）可知这是个求解广义瑞利商的问题，则式（10）得证。

同理可以得到接收机k接收到的信号的第m个数据流对应的滤波向量为式（13）。

算法迭代步骤如下：

最大虚实信干噪比迭代算法

1.初始化接收滤波矩阵Uk∈CM×d，Uk的列向量是线性独立同分布的单位向量。

2.根据式（10）以及步骤1 中的Uk求得发送端k第m个数据流的预编码向量，并对所得的进行施密特正交化，∀k∈{1，2，…，K}，∀m∈{1，2，…，d}。

4.重复步骤2～3，直至迭代结束。

5.输出Fk，Uk，∀k∈{1，2，…，K}。

3.2 虚拟信干噪比和MMSE 混合迭代算法

由虚拟信干噪比的定义式（8）可知，虚拟信干噪比可视作发送信号在目标接收端的利用率，通过使发送信号在目标接收端的利用率最大，就相对地减少了对其他接收端的干扰，实现对噪声的抑制。在接收端使用MMSE 算法可使接收信号误差最小，通过两者的迭代可以有效地实现对干扰的抑制，文献[14]中所述的算法亦是利用该方法，通过最小噪声泄漏和MMSE 混合迭代以实现算法设计。

利用以上思想，本章用虚拟信干噪比最大的方法获得预编码，同时满足接收端接收信号与期望信号之间均方误差最小的可表示为：

由式（13）得

算法迭代步骤如下：

虚拟信干噪比和MMSE 混合算法

1.初始化接收滤波矩阵Uk∈CM×d，Uk的列向量是线性独立同分布的单位向量。

2.根据式（10）以及步骤1 中的Uk求得发送端k第m个数据流的预编码向量，并对所得的Fk进行施密特正交化，∀k∈{1，2，…，K}，m∈{1，2，…，d}。

4.重复步骤2～3，直至迭代结束。

5.输出Fk，Uk，∀k∈{1，2，…，K}。

3.3 算法复杂度和收敛性分析

根据两种算法的推导，相同情况下虚拟信干噪比和MMSE 混合算法的复杂度比最大虚实信干噪比算法低一些，因为它避免了求解矩阵特征值的运算。与文献[8]中经典的最优子空间算法相比，当天线数M=N、发送数据流d=1 时，最大虚实信干噪比算法在每次迭代中比子空间最优算多4 次矩阵相乘运算和一次矩阵求逆运算对应的复杂度分别为3•O(N3)+O(N2)和O(N3)，由下一章节仿真结果部分可知，算法收敛所需迭代次数与最优子空间算法相近，和速率性能较后者有大幅度的提高。当数据流数大于1 时，提出的两种算法较之其他算法性能仍有较大的提升，但是其复杂度也会随之提高。

文中算法的优化目标函数为信干噪比，在使分子尽可能大的同时希望分子尽可能的小，该情况下很难用理论方法证明算法的收敛性，本文参照了文献[14]中说明算法收敛性的方法，通过仿真得出算法的和速率随迭代次数的增加而趋于稳定，出现了平台效应，由此可以说明算法是收敛的。

4 仿真

本章对所提出的算法进行仿真分析，所有的仿真结果都是在每个信道为独立同分布方差为1 的复高斯系数前提下评估期望和速率。为了给算法性能提供一个统一的衡量标准以方便性能的比较，文章中沿用文献[8]和速率的公式如式（18）：

图2 显示的是最大虚实信干噪比迭代法、虚拟信干噪比与MMSE混合法与子空间最优算法[8]、AMIA算法[11]以及最小干扰泄漏和MMSE 混合算法[14]的和速率随信噪比变化趋势，为公平起见，图中迭代算法的迭代次数均为100 次，使用MIMO 信道模型为[4×4，1]3，其中4×4表示M×N=4×4，1 表示发送数据流d=1，上标3 表示三个用户。由图2 可知d=1 时，文中的两种算法的和速率性能相接近且较之最小干扰泄漏MMSE 混合算法、子空间最优算法以及AMIA 算法有很大幅度的提高，同时由文[13]、[14]可知最小干扰泄漏和MMSE 混合算法性能优于文[13]中给出的最小均方误差迭代算法。故而文中的算法性能亦优于文[13]中的最小均方误差迭代算法。图3 显示的是发送多数据流时的性能曲线，即[6×6，3]3信道模型下，上述几种算法的和速率随信噪比变化曲线图，从图中可以看出，各算法曲线的相对位置与图2 基不变。

图2 [4×4，1]3 情况下和速率与信噪比的关系

图3 [6×6，3]3 情况下和速率与信噪比的关系

图4 [6×6，2/3]3 时和速率与信噪比的关系

图4 显示的是测试三用户M×N=6×6 条件下，上述各种算法的和速率随信噪比变化曲线图，不同的在于本次测试对发送不同数据流的情况进行了比较，图中虚线的发送数据流d=2，实线的发送数据流d=3，数值仿真曲线表明，在发送数据流d=2 的情况下，本文提出的算法性能较之其他算法有很明显的提升，提升的幅度大于发送数据流d=3 时的情况。多次数值仿真测试表明：测试环境相同时，同一种算法在发送数据流不大于算法自由度[17]的条件下，发送数据流数越多，和速率就越大，文中算法性能较之其他算法提升幅度越小。

图5 [6×6，3]3 不同迭代次数情况下和速率与信噪比的关系

图5 和图6 测试的是迭代次数对算法性能的影响，图5 表示的是在[6×6，3]3条件下，增大文中算法的迭代次数时和速率性能变图4[6×6，2/3]3时和速率与信噪比的关化曲线，虚线和实线分别表示迭代200 次和100 次情况下的曲线图。由图可知，文中提出的算法在迭代次数增加时，其和速率仍有提高，但幅度较小，此时以牺牲运算复杂度来提高系统容量。图6 则更为直观地表示在[4×4，2]3条件下，信噪比为20 dB 时，子空间最优法以及文中算法的和速率随迭代次数 的变化趋势，观察图中曲线，再次验证了文中算法性能优于子空间最优法。在迭代次数为100 次时和速率上升趋势不再明显，迭代次数增加到200 次时性能仅有微小幅度的提高，之后趋于稳定，这也验证了算法的收敛性。

图6 [4×4，2]3 信噪比不变时和速率与迭代次数的关系

5 结论

本文提出了基于虚拟信干噪比以及MMSE 准则的迭代算法，给出了算法推导过程，借助数值仿真评估了其性能，仿真结果表明其性能优于最优小子空间、AMIA、以及最小均方误差迭代等算法，特别是在发送数据流小于算法自由度时性能提升更为明显。未来的工作可以进一步考虑在信道估计有误差时预编码矩阵的调整策略。

[1] Goldsmith A，Jafar S A，Jindal N，et al.Capacity limits of MIMO channels[J].Selected Areas in Communications，2003，21（5）：684-702.

[2] Zakhour R，Ho Z K M，Gesbert D.Distributed beamforming coordination in multicell MIMO channels[C]//IEEE 69th Vehicular Technology Conference，Barcelona，2009：1-5.

[3] Peel C B，Hochwald B M，Swindlehurst A L.A vector-perturbation technique for near-capacity multiantenna multiuser communication-part I：channel inversion and regularization[J].IEEE Transactions on Communications，2005，53（1）：195-202.

[4] Spencer Q H，Swindlehurst A L，Haardt M.Zero-forcing methods for downlink spatial multiplexing in multiuser MIMO channels[J].IEEE Transactions on Signal Processing，2004，52（2）：461-471.

[5] Jorswieck E A，Larsson E G.The MISO interference channel from a gametheoretic perspective：A combination of selfishness and altruism achieves pareto optimality[C]//IEEE International Conference on Speech and Signal Processing，Las Vegas，2008：5364-5367.

[6] Le-Nam Tran，Juntti M，Hong Een-Kee.On the precoder design for block diagonalized MIMO broadcast channels[J].IEEE Communications Letters，2012，16（8）：1165-1168.

[7] Fang Wei，Sun Huan，Chen Jinhui.Ordered precoder designs for MIMO interference channels based on interference alignment[C]//IEEE 75th Vehicular Technology Conference，Yokohama，2012：1-4.

[8] Peters S W，Heath R W.Cooperative algorithms for MIMO interference channels[J].IEEE Transactions on Vehicular Technology，2011，60（1）：206-218.

[9] Alnajjar K，Aggarwal V，Vaishampayan V A，et al.Aligned precoder designs for interference channels based on chordal distance[C]//46th Annual Conference on Information Sciences and Systems，Princeton，2012：1-5.

[10] Raj Kumar K，Xue Feng.An iterative algorithm for joint signal and interference alignment[C]//IEEE International Symposium on Information Theory Proceedings，Austin，2010：2293-2297.

[11] Peters S W，Heath R W.Interference alignment via alternating minimization[C]//IEEE International Conference on Speech and Signal Processing，Taipei，2009：2445-2448.

[12] Zhu B，Ge J，Li J，et al.Subspace optimisation-based iterative interference alignment algorithm on the grassmann manifold[J].Communications，IET，2012，6（18）：3084-3090.

[13] Le Chung，Dimitrov E，Moghaddamnia S，et al.Performance investigation of MMSE-based interference alignment for multiuser MIMO UWB[C]//IEEE International Conference on Ultra-Wide-band，Bologna，2011：170-174.

[14] Zhou Ruixue，Lv Tiejun，Long Wei.A distributed iterative interference alignment scheme for K-User MIMO Interference Channel[C]//8th International Conference of Wireless Communications Networking and Mobile Computing，Shanghai，2012：1-4.

[15] Yu Heejung，Youngchul Sung，Haksoo Kim，et al.Beam tracking for interference alignment in slowly fading MIMO interference channels：A perturbations approach under a linear framework[J].IEEE Transactions on Signal Processing，2012，60（4）：1910-1926.

[16] Gomadam K，Cadambe V R，Jafar S A.A distributed numerical approach to interference alignment and applications to wireless interference networks[J].IEEE Transactions on Information Theory，2011，57（6）：3309-3322.

[17] Ghasemi A，Motahari A S，Khandani A K.Interference alignment for theKuser MIMO interference channel[C]//IEEE International Symposium on Information Theory Proceedings，Austin TX，2010：360-364.