初高中函数衔接教学问题探究二次函数课“代数说理”的教学尝试

◎闽江学院附属中学 李 霞

初高中函数衔接教学问题探究二次函数课“代数说理”的教学尝试

◎闽江学院附属中学 李 霞

在二次函数课“代数说理”的教学中，尝试引导学生将函数的研究方法从图象法逐步过渡到解析法，实现从“变化过程”函数认知到“对应关系”函数认知的发展，这是初高中函数衔接教学的一个有效途径．

函数教学；衔接；解析式；逻辑思维

函数概念是数学核心概念中最重要的概念之一，从数学史上看函数概念的发展，众多数学家从集合、对应与映射的角度不断赋予函数概念以新的思想.19世纪法国数学家黎曼提出如下函数定义：如果某一个量依赖于另一个量，使后一个量变化时，前一个量也随着变化，那么就把前一个量叫做后一个量的函数.这个定义已揭示了函数概念的本质属性，即两个变量在变化过程中相互依赖的关系.

从小学数学到中学数学，数与代数领域经历了从算术到方程再到函数的过程.算术研究确定的常数以及它们之间的数量关系.方程研究确定的常数和未知的常数之间的数量关系.函数研究变量之间的数量关系.函数为研究运动变化的数量之间的依存、对应关系和构建模型带来了方便，从而能够解决比较复杂的问题.因此曾国光老师在《中学生函数概念认知发展研究》一文中指出，学生函数概念的认知发展有三个阶段：作为“算式”的函数；作为“变化过程”的函数；作为“对应关系”的函数.

在初中的学习中，学生研究函数的方法以观察图象变化为主，重视数形结合的研究方法，理解函数三种表示形式的作用：如解析法具有计算和推理的功能；图像法可以连续地看到函数的具体变化过程和趋势，便于图形自身的比较、图形与图形之间的比较；列表法要让学生通过观察，产生猜想等.要让学生在思维中构建这样的一个过程，能用解析法、图像法、列表法来刻画函数随着自变量变化而变的动态变化过程.

结合学段过渡的需要，在初三后期学习函数图像时，教师不妨从观察函数图象入手，适当引导学生对函数的有关性质推导进行代数说理，如在学习内容上从前面的由形到数，以形助数的图象法逐步向解析式转移，从解析式上对函数的最值、对称性、增减性等特征进行说理，为训练学生的数学思维，理解数学本质提供过程性的经历.为初高中的函数教学衔接寻找策略.

本文尝试着通过《二次函数的y=ax2+bx+c的图像与性质》一课的教学设计，试图引导学生将研究方法从图象逐步向解析式转移，对数形结合的方法顺势自然地理解，并加以灵活运用，发挥从数和形两个方面共同分析解决问题的优势.突出两者间的转化对分析解决问题的特殊作用.

一、教学目标突出“代数说理”

《二次函数》一章编排于九年级下册，从内容上看，学生之前已经学习了《一次函数》《反比例函数》的内容，此后，在《高中数学必修1》的课程中，学生将继续学习指数函数、对数函数、幂函数等基本初等函数的性质.

从方法上看，在研究一次函数和反比例函数时，教材侧重于通过观察函数图象来直观了解函数的性质，而进入高中后，教材则侧重于通过分析解析式来研究函数性质.在《反比例函数》教学中，笔者就试图透过反比例函数的解析式的右边，启发学生从反比例函数解析式的形态，即分式的特点去研究图象的性质：如从分式的条件关注定义域和值域；从分式的运算特点，关注变化规律（增减性）等.

《二次函数的y=ax2+bx+c的图像与性质》这节课的教学目标是让学生明确函数是描述自然界中量的依存关系的数学模型，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种动态刻画.在进一步掌握“数形结合”学习的一般策略前提下，试图从最简函数的解析式y=x2入手分析，通过自变量x的变化来探究因变量y的变化.具体学习目标如下：

（1）不画图能说出画出函数y=ax2的图象性质；

实验结果表明，均匀设计法实验得到的ITAE相较于工程整定法更小，稳态性能较好。输出波形图表明，均匀设计法得到的输出曲线与工程整定法相比，超调量、调节时间均有降低，系统的暂态性能有所提高。

（2）能明白y=ax2+bx+c化成y=a（x-h）2+k的意义；

（3）不画图能得出y=ax2+bx+c图象的性质.

二、教学过程呈现“代数说理”

1.从非负性的性质确定函数定义域和值域

问题1在同一坐标系内画出函数y=x2，y=x2+3，y= x2-3的图象，这三个图像位置如何变化？

教师用几何画板演示图像，建立形的感知.以动画的形式体现抛物线在同一坐标系中的分布及位置变化过程，帮助学生建立平移转换的思想.

问题2函数y=x2图象有那些性质？抛物线解析式右边的代数式是什么数？

追问1：对于函数y=x2，当自变量x取遍所有实数的时候，因变量y也是取遍所有的实数吗？如不是，那个范围是什么呢？

追问2：在x2中x变化时，x2如何变化？

在讨论函数最值的时候，不让学生画图，而是让学生从函数的解析式y=x2入手，分析抛物线解析式右边的代数式是什么数？判断出右边代数式是非负数.而后从非负数的性质就能判断出它的最值即值域.再问当自变量取遍所有实数的时候，因变量也是取遍所有的实数吗？如不是，那个范围是什么呢？通过这样的一些问题的思考，也就非常自然地讨论了函数的定义域和值域问题.

类比于y=x2去讨论y=ax2+c及y=a（x+c）2+k、y= a（x+c）2-k（a≠0）的情形.这就是利用了完全平方的非负性，来确定函数的最值和取得最值的条件，也就确定函数定义域和值域.

2.从平方根的概念寻找函数的对称轴

寻找函数的对称轴其实就是讨论函数y=x2的奇偶性，为避开奇偶性这个词，我们问学生，函数y=x2的自变量在什么情况下函数值相等?让学生从函数的解析式的特点去分析，函数y=x2的自变量与因变量之间的关系.函数其本质是量的依存关系，它的性质是由解析式本身所反映出来的两个变量之间的依存关系而确定，即x是y的平方根，而一个非负数的平方根互为相反数.互为相反数的两个数到原点距离相等，反过来关于直线x=0对称的两m、n，其坐标应该满足从而用数析形，得出函数直线x=0是y=x2的图象的对称轴.

类比函数y=x2奇偶性性质的研究，启发学生从函数y=a（x+2）2-3与y=x2相似的结构上去寻找函数最值时自变量的取值.再引导学生当x+2取互为相反数时，函数值相等.即自变量x取关于-2为中点的两个自变量的时候，函数值相等.在x轴上（一维空间）x取到-2距离相等的点能使函数值相等.二维上存在m、n两点，其坐标满足ym=yn.则直线x=-2就是函数y= 2（x+2）2-3=2x2+8x+5的图象的对称轴.从而从函数的最简式到一般式都能用函数的解析式来求出它的对称轴.

3.从自变量的变化发现函数的单调性

从函数的奇偶性，已经得出函数y=x2的图象是关于直线x=0对称的.对于函数y=x2单调性，学生容易发现，当自变量x≤0时，x由小到大时，函数y随x的增大而增大.x＞0时，x越大函数值越大，即y随x的增大而增大.

同样对于y=2（x+2）2，如果（x+2）2越大，y的值越大.因此，当（x+2）≤0即x≤-2时，x越小函数值越大，即y随x的减小而增大；当（x+2）＞0即x＞-2时，x越大函数值越大，即y随x的增大而增大.类似推出函数y=2（x+2）2-3=2x2+8x+5的单调性.

三、通过“代数说理”理解配方的意义

问题1求出二次函数y=2x2+8x+5开口方向、对称轴和顶点坐标.如何将y=2x2+8x+5的右边式子配方？

让学生去体验直接从函数解析式y=2x2+8x+5去研究函数的性质不是那么容易，原因在于解析式y=2x2+ 8x+5中的x出现两次，x的变化如何影响y的变化不易看出，启发学生必须将x变成只出现一次，而配方的结构式中x只出现一次.这样找准化简的方向和方法，从而让学生明白配方的意义.对于配方的变形运算，引导学生回忆在一元二次方程的解法中，如何用配方方法解方程？方程的左边代数式与函数解析式的右边表达的代数式如何联系？

函数之所以成为初中代数的核心课程内容，一是源于函数本身的研究“变化过程中变量之间关系”的特点，二是函数教学是初中代数课程内容教学的重要脉络.如从讲授一维空间（数轴）到二维空间（平面直角坐标系）的变化；由列代数式发展为求函数的解析式；由方程发展为函数；由几何图形发展为函数的图象.最重要的是函数教学中所蕴含的建模、方程、变量等思想方法是中学数学课程教学必须关注的核心内容.函数在某个特定自变量时的函数可视为求取代数式的求值问题，函数在某个特定函数值自变量时y=0的情况可看成相应的方程，函数在某个特定函数值范围的情况可以看成是相应的不等式组.

初中学生虽然可以从事抽象逻辑思维活动，但在很大程度上，他们仍然需要依赖具体形象地经验材料来理解抽象的逻辑关系.函数的学习是促使学生数学思维方式发生重大转折的好时期，因此初中老师应该有意识多引导学生进行以上的思维训练.

贾丕珠教授在《函数学习中的六个认知层次》一文中指出，函数教学中的知识构建需经历：变量的认识；关系的理解；“对应”的掌握.初三学生介于初中和高中学段之间，如何引导学生思维从算式运算转向变量关系、从纯粹的数（式）转向数形结合的相得益彰，是我们老师教学中应该关注的问题.

（责任编辑：王钦敏）