谈数学高考复习中的题后反思

◎福建省福清第一中学 郑 琦

谈数学高考复习中的题后反思

◎福建省福清第一中学 郑 琦

在数学高考复习教学中，需要进行即时性反思和阶段性反思.反思主要包括：思路解法的反思，知识点的反思，思维逻辑和解题规范的反思，计算基本功和技巧的反思，数学思想方法的反思，变式的反思，专题的反思，出题者命题意图及高考地位的反思．

及时性反思；阶段性反思；数学思想方法

数学高考复习中的题后反思，是指学生对数学解题思维过程进行即时性和阶段性的回顾、比较、分析和检查.第一轮复习应强化典型例题思路解法的反思，知识点的反思，思维逻辑严密性和解题规范化的反思，计算基本功技巧和验证的反思，数学思想方法的反思以及变式的反思；第二轮则强化专题的反思，出题者命题意图及高考地位的反思.

试题2.有一块边长为a的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V以x为自变量的函数式，并求这个函数的定义域.

一、思路解法的反思

一题多解是运用联系、转化的思维方式，根据观察题目角度的不同，解题思维方式的不同和解题过程局部的变更，选择不同转化依据和转化途径解决同一数学问题.学生对思路解法进行反思，从而才能在高考中扬长避短，选择知识点把握度较高和失分点较低的解题思路，提高解题稳定性和得分率.下以试题1为例.

1.对解题的通性通法进行反思

设A（x1，y1），B（x2，y2），C（2，y2），N为EF的中点,则下面证明直线AN.CN的斜率相等（A.N.C共线），可得直线AC过点N.由直线AB的方程y=k（x-1）（斜率不存在时极易证明）及斜率公式，有，通分后分子：3（x1+x2）-2x1x2-4①.将直线AB方程与椭圆方程联立消y得:（1+2k2）x2-4k2x+2（k2-1）=0，由韦达定理得:x1+将上述两个式子代入式子①，可验证其为零.本思路将初中韦达定理衔接入高中阶段性知识点中，这正是新课改所倡导的要求教师和学生做好初高中知识点的衔接工作.这个思路更多涉及解题的通性通法，涉及考试大纲最基本的知识点、数学思想方法及运算基本功技巧等，体现了命题者主要意图.

2.对计算量最大的思路进行反思

3.对知识点涉及量最多的思路进行反思

4.知识含量最少的思路

设点B（xB+yB），由椭圆方程可得到，且知C（2+yB），依题意有解得点；将点A1代入椭圆方程，且.经验证.故直线lNC与lBF交点就是点A，即知AC过EF的中点.可见在不同复习轮次的数学教学过程中教师和学生应该把重点放在数学证明的实质和命题结构上.

二、知识点的反思

学生对所学知识点的自主整理能力较差，知识系统性较弱，解题时“死卡”现象普遍存在，对题中所涉及的某个知识点很模糊，就无法解题.所以要将题中所涉及的知识点根据考纲要求进行分层罗列，对于同一个或多个知识点，可选择难度系数不同的题目加以巩固，从解题的突破点和错误思路（错在哪个知识点或计算步骤）的回放两方面强化知识点在解题中的重要角色——突破点和失分点，尤其要让学生专门进行“尝试错误”的反思活动，比如直线斜率不存在，基本不等式等号不成立，函数单调区间在定义域外等常见解题误区，引起学生知错、改错、防错的良性反应.试题1考查韦达定理，椭圆第一定义，直线方程，焦半径，离心率和斜率公式.试题2考查函数定义域，基本不等式，函数单调性和最值.

三、思维逻辑和解题规范的反思

学生往往易犯“对而不全”的解题通病，要加强题后思维逻辑严密性和解题规范化的训练，避免出现关键步失分，表述不简捷和出现未说明的字母，向量没箭头等解题不规范通病.

四、计算基本功技巧和验证的反思

在考试中学生计算基本功和技巧的不扎实造成解题感觉“很顺”，但实质上全盘皆失。比如试题1中的斜率值或韦达定理出错了，尽管后面解题思路框架正确，但数据是错的，导致全盘皆失.这点“算功”在高考选择和填空题中尤为重要.所以高考复习题后反思要强化看似简单的配方、通分、移项、因式分解、解方程不等式（组）等计算基本功和配凑、分离变量、换元法及整体法等计算基本常用技巧，注重含字母问题的计算验证,比如导函数方程的根不一定是极值点，做到步步为营，避免出现漏解多解.

五、数学思想方法的反思

解题后要反思题中渗透的数学思想方法，培养综合运用能力.中学数学基本思想主要有：数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想、消元降次思想、等价转化思想、集合与对应思想以及公理化等思想；基本方法如换元法，待定系数法、反证法、数学归纳法、配方法以及观察、分析、归纳与演绎、综合等方法。试题1中要注意直线斜率不存在与存在情况的分类讨论.

六、变式的反思

复习中教师应指导与提倡学生自觉对所解习题尽量作变式与引申探索研究，变式的反思可分为变式结论的反思、变式条件的反思以及变式研究对象的反思.

试题2变式1：问x为何值时，体积V达到最大值？

变式2：有一块边长为2a的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的长方形盒子，要求长方体的高度x与底面正方形边长的比不超过常数t.（1）写出体积V以x为自变量的函数式，并求这个函数的定义域.（2）x取何值时，容积V有最大值?

变式3：有一块边长为2，宽为1的矩形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的正方形，然后折成一个无盖的长方形盒子，则x取何值时，容积V有最大值?

七、专题的反思

学生可以根据自身的知识水平在教师的指导下进行题后筛选和分类，进行小专题和大专题的总结，从而才能在考试中提高“旧题”的解题速度和稳定性，为解决“新题”做好时间和解法上的充分准备.比如高考中的恒成立问题g（x，a）≥0，g（x，a）≤0大致有分离变量为a≥f（x），a≤f（x）型（有时要分类讨论），后用求导法或基本不等式等求f（x）值域，或者根据一元二次函数在上的图象与x轴的位置关系得到含的不等式（组）.

八、出题者命题意图及高考地位的反思

试题1涉及初高中知识点的衔接，考察学生是否注意到对直线斜率存在性的分类讨论，解方程组的基本运算能力以及对考纲不要求的知识点的拓宽度等.试题2考察学生“数学化”能力，基本不导式成立的条件，以及定义域在最值中的重要作用，在考试过程中，需要学生克服思维片面性，以防常规题失分.

数学高考复习中，学生的即时性和阶段性反思习惯的培养是非常必要的.在复习教学过程中，需要教师结合例习题教学给以反思指导，腾出时间让学生进行自主反思，要求学生在题后写出反思总结，教师可以根据学生的解题反思小结进行相应的指导，对反思质量进行评价,从而使学生整体数学思维习惯和自主学习能力乃至创新能力都有新发展.

（责任编辑：王钦敏）