开展高效“活动”培养数学能力

丁式清

【内容摘要】初中学生的认知心理特点和数学学习的实践性决定了数学教学的“活动化”特征。本文从还原生活本色，改编“活动”教材；开放活动空间，促进自主探究；指导学生反思，提高活动成效等方面探讨了开展高效的课堂“活动”，培养学生数学能力的问题。

【关键词】数学能力 高效活动 途径策略

任何“有效教学”总意味着“想方设法”地让学生在单位时间内获得更有效的发展。为此，教师需要在教学内容、教学方法和教学手段上下工夫，优化数学课堂教学活动，调动学生学习积极性和主动性，实现生动、互动、主动，达到共识、共享、共进的教学效果。

一、还原生活本色，改编“活动”教材

数学知识尽管表现为形式化的符号，但它可视为具体生活经验和常识的系统化，它可以在学生的生活背景中找到实体模型，教学时我们可以让学生在生活情景中建立“原型”。如在教学《作轴对称图形》时，我们为这一数学知识找到了一个合适的生活“原型”——牛喝水路径：小明在草地上放牛，他想先牵牛到河边饮水（河岸看作直线），然后再回家，却不知让牛在河边哪一点喝水，才使行走的路程最短？请你帮他出出主意……学生对这样的问题很感兴趣，有的马上讨论、发表见解（把这一生活问题转化成数学问题）：

1.转化建模

生：我想把河流看成一条直线L，小明和牛的所在地可视为一点A，家可视为一点B。这样可以把上述问题变成：如何在L上取一点O，使OA+OB最小？在此基础上，老师使问题进一步深化，能想到用几何图形把现实问题表示出来，很好！但如何解决呢？

2.实验探究、猜想论证

生：把上述转化来的数学图视为一张地图，我们动手实验，看能否发现解决方法。

学生在图纸上比划着，寻找解决问题的途径。这个活动对学生理解生活中的轴对称图形是一个很好的生活“原型”，唤起了学生已有的生活经验，建立起数学知识与生活原型的内在联系，使学生们对于数学知识的理解更有根基。

二、开放活动空间，促进自主探究

1.把握活动时机，优化活动方式

学生参与数学活动，应伴随着思维活动。若是纯粹的行为参与，没有学生积极的情感体验及探究问题的思维活动，就不能促进数学活动经验的有效积累，更无法促进学生数学素养的发展。笔者曾经听取了两节《全等三角形》（第1课时）的公开课，执教老师用不同的方式处理同一问题，引起笔者的思考。本节课的重点和难点是，如何让学生能够正确找出两个全等三角形的对应顶点、对应角、对应边，尤其是在复杂图形中，一开始学生容易出错。为突破难点，多数教师一般都会选用，连接了一条对角线的平行四边形这个图形，这两位老师也选用这个图形，但处理方式有所不同。

方式1：先请两同桌用两个形状和大小一样的三角形纸板（课前准备好的），摆成如图（1）所示的位置，要求学生说出全等三角形的对应顶点、对应角、对应边，并用全等符号表示两个三角形全等。然后出现图（2），学生略迟疑片刻，但通过对照图（1）所摆的位置，也较快地找出了对应顶点、对应角和对应边。顺利地完成了此环节。

方式2：直接出示图（3），要求学生说出全等三角形的对应顶点、对应边、对应角，并用全等符号表示两个三角形全等。这时，几乎所有的学生都一致认为，⊿ABC≌⊿ADC，即认为A对应于A，B对应于D，C对应于C。这时教师并不急于纠正学生的错误认识，而是让两同桌同学把两个形状和大小一样的三角形纸板，摆成如图（3）所示的位置，再把图3中的两个三角形拉开如图（1），再通过适当的变换，慢慢地还原到重合的状态，这时学生原有的错误认识不攻自破.教师趁机再请学生反思总结正确寻找对应顶点的方法，有效地突破此难点。

以上两种方式都采用了学生利用课前准备好的三角形纸板，摆平行四边形找对应点，但活动安排与问题呈现的顺序不同。从课堂老师教的角度分析，方式1为学生设置了梯度，由浅入深，表面上，学生动手操作参与数学活动，而这样的操作仅仅停留在学生外部行为上的活动，缺乏思维含量，缺乏对问题现象的真正思考，从中，无法积累有效的数学活动经验。方式2的设计先直面难题，学生暴露错误，再带着问题与思考进行活动，为学生真正积累有效的数学活动经验。

搞好活动教学，培养思维能力

新的数学课程标准指出：“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验”。因此，在数学知识的学习中，教师要大力提倡小组合作和自主探究教学。教师要改变以例题、讲解、示范为主的教学方式，要以开放、宽容的态度，以期待、信任的眼光引导学生投入到充满着探索性和挑战性的学习活动中去，给学生足够的时间和空间去探究，让学生从课堂中去体会数学的魅力和活力。例如教学“三角形内角和定理”时，笔者组织学生开展了以下探究活动：

[活动1]拿一张三角形纸片（如图1），把两个角剪下，接在第三个角的顶点处，有几种拼图方法？通过学生的讨论归纳，可得出以下两种拼图的方法（如图2）

以上拼图活动能直观、形象地得到三角形内角和定理，也启发了学生找出证明此定理时的辅助线添法。

[活动2]拿一张同样的三角形纸片，如果只剪下一个角进行拼图，你能说明三角形的内角和定理吗？这个活动是考虑到两平行线的同旁内角互补，因此猜想用平行线的性质来拼图验证此定理（如图3），这样就发散了学生的思维。

[活动3]再拿出第三张三角形纸片，如果不剪出这张纸片中的任意一个内角，你能通过对这张纸片的折叠来验证三角形内角和定理吗？

问题一提出，大大激发了学生的兴趣和好奇心。“老师，只要把三个角都折到同一个点就可以了。”一个学生答道。“那怎样才能折到一个点？同学们试试。”经过讨论，只要将三角形按图4中的虚线折叠，拼成一个平角即可说明这一定理。这个问题是活动1的迁移，培养了学生知识的迁移能力。

[讨论]在以上实验活动中，你受到了哪些启发？添辅助线的方法有几种？

学生通过分组讨论，得出以下四种辅助线的添法（如图5）

可见，教师要以活动的板块来设计教案，建立活动。把原来的教学重点改为探索的重点，通过学生动手、动脑、动口等活动，形成一种全员参与、主动参与、全程参与的局面，提供学生发现问题、分析问题和解决问题的自主探究、相互交流的空间。

3.渗透思想方法，深化实验探究

数学家欧拉曾说过：“数学这门科学需要观察，也需要试验。”指导运用数学思想方法来分析问题、解决问题是培养学生数学能力的重要途径。譬如一道数学题构成一个系统，对系统的处理（解题）要借用系统科学的思想方法。事实上，题目中的所有信息都是一个有机的整体，各部分之间的精彩配合是解题成功的必要前提，有人称之为“整体方法”或“整体策略”，而实质上是整体思想，它是系统科学中的整体性原理在解题中的应用。

【案例】（幻方填数实验）把1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数分别填入图1的九个空格中（图1），使每行、每列、每条对角线上的3个数相加的和都相等。

（1）师生解题策略分析：

①学生解题策略分析：为了容易表述，现将九个方格子上的数字分别记为a、b、…、i（图2）。

首先，从图形及数字的对称性，容易产生直觉，e处的数字填5。

然后可以发现a+i=b+h=c+g=d+f，这样就把这八个数分成四组（a，i）、（b，h）、（c，g）、（d，f），很显然，它们与（1，9）、（2，8）、（3，7）、（4，6）一一对应，从而说明每行每列各数之和是15。

接着尝试实验，取a=1，则i=9，由于b+c=d+g=14，而它们四个数的和的最大值=5+6+7+8=36<28，所以a=1尝试失败。

继续尝试实验，取b=1，h=9，此时易想到a、c对应着6、8，然后就不难得到九宫格中的各数了。

②教师的解题策略分析：

首先，不管怎么填，这九个数的和是不变的，等于45（不变量1），根据每行的和相等，可得每行的和等于15（不变量2）。

然后，根据（a+e+i）+（c+e+g）+（b+e+h）+（d+e+f）=4×15=60，得45+3e=60，解得e=5（不变量3）。

接着再进行上述的尝试。

⑵实验步骤设计

①给出问题，学生尝试填数。题意简明易懂，学生完全能够自主实验，探索结论。

②学生相互交流、讨论。学生之间的差异是客观存在的，让学生进行相互交流讨论，可以发挥出学生的教育资源。

③收集学生的答案，逐一比较。各小组之间的答案如下图所示：

收集学生的答案之后，引导学生对比图3与图4的两种填法，可以发现将图3沿对角线折叠，可得图4的结果；再引导学生对比图3与图5的两种填法，可以发现将图3沿顺时针方向旋转就可得到图5的结果；……

④提出问题，引导探索

对比了各种答案之后，容易想到，如果把经过旋转、对称变换后完全一致的两种填法视为一种，那么到目前为止，我们只有一种填法。从而自然地引出，这个问题只有一种填法，还是不止这一种填法？

显然，学生会对e的各种不同情况进行分类讨论，再进行实验，反思。

⑤抓住不变量，整体把握

再次引导学生思考：运用分类讨论的思想我们解决了这个问题，但过程很繁琐，本题有无简单易行的解法呢？在实验的时候我们着眼于各个具体的方格，感觉各个位置上的数字都会有许多种可能性，这样的一一判别很繁琐，现在我们换一种方式去思考，能否从整体上进行把握，哪些量是不会改变的？通过老师的逐步引导，学生可以发现其中的不变量，从而解决这个问题。

⑥对比反思，提炼思想

最后引导学生对两种解法进行对比，提炼出其中的数学思想。

通过学生实验，学生在实验中利用直觉提出猜想，进而检验，得到问题的解，经历了数学探索的第一个历程。正当学生沾沾自喜之际，就地取材，汇总学生答案，对答案进行比较，引起思考，学生就不会满足于仅仅填出答案，激起探索热情。通过问题引导他们进行深入地思考，从而使学生感受到抓不变量的整体化思想。由于前一方法繁琐只关心特解，而后一方法可从总体上认识问题，使学生产生强烈的对比，就能深刻体会到整体化思想。

三、指导学生反思，提高活动成效

指导学生进行数学活动后的反思，是对数学活动的深层次的思考；是不断调整思维结构、深化思维层次、提高思维水平的过程，是进一步开发智力的过程，是一种再发现和再创造的过程，也是元认知过程。教师要引导学生认真做好活动反思，反思自己是如何发现问题和解决问题的，反思学习活动过程的成败得失及其原因、应该记取的经验教训，并从基础知识、基本概念上寻找原因，从思维策略的高度对学习活动进行总结，从中概括出数学基本思想方法，并对有关数学问题进行推广、深化，优化已有的解题方法，寻找解决问题的最佳方案等。这不仅有利于学生思维能力的发展，而且有利于知识技能的迁移，从而为培养能力打下坚实的基础。

例：如下图，点M、N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q，求证：∠BQM=60°

证明完后，学生在教师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：

①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？

②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？

③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上”改为“点M，N分别在正四边形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？

由第二步的证明方法学生可以逆推得出是真命题，而当点M，N的位置发生变化时，教师可以做启发，让学生重新回顾反思第一步的证明方法，从而得出，也可以通过全等来说明。而当正三角形变成正四边形时学生已经形成反思前两题的方法，很快也可以想到用全等的方法得出∠BQM不可能是60°。学生通过对解题思维的反思，重新审查题意，更正确、完整、深刻地理解了题目的条件和结论，激活了学生的思维，开阔了思路，使学生思维的灵活性在变换和化归的训练中得到培养和发展。

如果学生在每一次数学学习活动之后都能对自己的思路作自我评价，探讨成功的经验与失败的教训，对学习活动过程中反映的数学思想、方法进行总结、概括，这样长此以往，不仅能巩固知识，避免解题的错误，而且可以把解决问题的数学思想方法及对问题的再认识转化为一个学习过程，能提高学生的分析问题、解决问题的能力，优化他们的数学思维，达到融会贯通的境界。

总之，高效的数学活动化教学应该是有效的关注学生的学习经验，有效地创设一定的问题情境，有效地引导学生积极、主动地参与学习活动；有效的亲身实践、自主探究、合作交流；有效的将所学知识灵活运用于实际生活，并且有效地获得学习数学的情感体验。这就需要我们不断地去探索和研究，去寻找最有效的课堂活动化教学，不断提高学生的数学能力。

【参考文献】

[1] 顾泠元. 教师实验论——青浦实验的方法学与教学原理研究[M]. 教育科学出版社，2005.

[2] 渠东剑. 让数学活动设计更精当[J]. 中国数学教育，2010（12）.

[3] 田治平、孙利. 构建基于高效课堂的有效数学活动[J]. 齐鲁师范学院学报，2011（5）.

（作者单位：浙江省台州市天台县栖霞中学）