圆锥曲线的方程

圆锥曲线的方程在高考中每年必考，考查多出现在解答题的第一小问，难度不大；有时也以选择题、填空题的形式单独考查.

用定义法、待定系数法求圆锥曲线的方程.

求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”.

（1）定型：就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出其标准方程.

（2）计算：即利用待定系数法求出所设方程中的a2，b2或p.

另外，当焦点位置无法确定时，抛物线的方程常设为y2=2ax或x2=2ay（a≠0），椭圆的方程常设为mx2+ny2=1（m>0，n>0，m≠n），双曲线的方程常设为mx2-ny2=1（mn>0）.

例1 已知双曲线 - =1（a>0，b>0）的一条渐近线方程是y= x，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为________.

破解思路 求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法. 具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值.

如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为 - =λ（λ≠0），再由条件求出λ的值即可.

答案详解 因为双曲线 - =1（a>0，b>0）的一条渐近线方程是y= x，可设双曲线的方程为x2- =λ（λ>0）. 因为双曲线 - =1（a>0，b>0）的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，所以F（-6，0）是双曲线的左焦点，即λ+3λ=36，λ=9，所以双曲线的方程为 - =1.

例2 已知双曲线C1： - =1（a>0，b>0）的离心率为2. 若抛物线C2：x2=2py（p>0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为（ ）

A. x2= y

B. x2= y

C. x2=8y

D. x2=16y

破解思路 求抛物线的方程，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确选择抛物线的标准方程.

答案详解 因为双曲线C1： - =1（a>0，b>0）的离心率为2，所以 = =2，所以b= a.

所以双曲线的渐近线方程为 x±y=0.所以抛物线C2：x2=2py（p>0）的焦点0， 到双曲线的渐近线的距离为 =2，得p=8. 故所求的抛物线方程为x2=16y，选D.？摇

例3 中心为（0，0），一个焦点为F（0，5 ）的椭圆，截直线y=3x-2所得弦中点的横坐标为 ，则该椭圆的方程是（ ）

A. + =1

B. + =1

C. + =1

D. + =1

破解思路 根据椭圆的定义和几何性质确定椭圆的基本量.

求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组. 如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1（m>0，n>0，m≠n）的形式.

答案详解 由已知，c=5 .设椭圆的方程为 + =1，联立直线方程得 + =1y=3x-2，消去y得（10a2-450）x2-12（a2-50）x+4（a2-50）-a2（a2-50）=0，由根与系数的关系得x1+x2= =1，即a2=75，所以椭圆的方程为 + =1. 故选C.

1. 如图3，∠OFB= ，△ABF的面积为2- ，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为一个焦点的椭圆方程为________.

图3 图4

2. 如图4，过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若BC=2BF，且AF=3，则此抛物线的方程为________.