空间几何体的表面积和体积

本考点侧重考查空间几何体的概念、逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力. 主要有两种考查形式，一是与三视图相结合考查；二是以组合体的形式（与球体的切、接）考查，考查难度中等以上. 还需注意的是，近年高考中有关空间几何体的体积的最值问题有加强的趋势.

（1）理解柱、锥、台的侧面积、表面积、体积的计算方法，了解它们的侧面展开图及其对计算侧面积的作用，会根据条件计算表面积和体积. 理解球的表面积和体积的计算方法.

（2）把握平面图形与立体图形间的相互转化的方法，并能综合运用立体几何中所学的知识解决有关问题.

该知识点的重点和难点是：不规则几何体体积的求解与转换，体积最值的探究等.

（1）有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素. 解决旋转体的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图.

（2）当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法直接运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体（柱、锥、台），或化离散为集中，给解题提供便利.

（3）与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接. 解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图.

例1 已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为__________.

破解思路 已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，易求三棱锥的底面积，那么要求它的体积，只需求出它的高. 由SC为棱锥外接球的直径可知，S到底面的距离等于圆心O到底面距离的2倍，体积即可求.

答案详解 因为△ABC是边长为1的正三角形，所以△ABC的外接圆的半径r= . 因为SC为球O的直径，且SC=2， 所以球O的半径R=1，所以点O到平面ABC的距离d= = . 所以点S到平面ABC的距离为2d= ，所以棱锥的体积V= S△ABC×2d= × × = .

例2 如图7，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置.

（1）求证：BD⊥平面CDE；

（2）当∠CDE取何值时，三棱锥E-ABD的体积取最大值？并求此时三棱锥E-ABD的侧面积.

图7

破解思路 折叠问题是立体几何的一类典型问题，是考查实践能力与创新能力的好素材. 解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些量发生了变化，哪些量没有发生变化. 注意充分发挥平面图形的作用，计算尽可能在平面图形中进行. 第（1）问先求出BD的长，然后利用勾股定理确定AB，BD的垂直关系，再由翻折后BD与DC，BD与DE位置关系不变，可证线面垂直. 第（2）问要使三棱锥E-ABD的体积取最大值，只需ED⊥CD.

答案详解 （1）在△ABD中，因为AB=2，AD=4，∠DAB=60°，所以BD= =2 . 所以AB2+BD2=AD2，所以AB⊥BD.

因为AB∥CD，所以BD⊥CD，BD⊥DE. 又CD∩DE=D，CD，DE？奂平面CDE，所以BD⊥平面CDE.

（2）设E点到平面ABCD的距离为h，则h≤ED=2. 由（1）知BD⊥DE，当ED⊥CD时，因为BD∩CD=D，CD，DE？奂平面CDE，所以ED⊥平面ABCD.

所以当∠CDE=90°时，h=ED=2，三棱锥E-ABD的体积取最大值. 此时ED⊥平面ABCD，所以ED⊥AD，ED⊥BD. 在Rt△DBE中，因为DB=2 ，DE=DC=AB=2，所以S△BDE= DB·DE=2 .

在Rt△ADE中，S△ADE= AD·DE=4. 因为AB⊥BD，BD⊥DE，BD∩DE=D，BD，DE？奂平面BDE，所以AB⊥平面BDE. 所以AB⊥BE. 因为BE=BC=AD=4，所以S△ABE= AB·BE=4.

综上，当∠CDE=90°时，三棱锥E-ABD的体积取最大值，此时侧面积S=8+2 .

1. 已知三棱锥O-ABC，∠BOC=90°，OA⊥平面BOC，其中OA=1，OB=2，OC=3，O，A，B，C四点均在球S的表面上，则球S的表面积为________.

2. 如图8，一个直径AB等于2的半圆，过A作这个半圆所在平面的垂线，在垂线上取一点S，使AS=AB，C为半圆上的一个动点，M，N分别为A在SB，SC上的射影. 当三棱锥S-AMN的体积最大时，SC与平面ABC所成角的正弦值是________.

图8