和差角公式与二倍角公式

本节内容是三角恒等变形的核心知识，两角和与差的三角公式揭示了“同名不同角的三角函数的运算规律”，二倍角公式揭示了角的系数变化与三角式次数变化之间的“守恒”规律，应用公式求值、化简及恒等式的证明时要善于观察差异，寻找联系，实现转化，同时注意公式的正用、逆用及变用. 不论是考查三角的选择题、填空题还是解答题一般都会考查到这两组公式，这是高考每年必考的内容，特别是用和差角公式顺用、逆用、变形运用来进行三角求值的问题.

本节内容包括利用三角公式进行三角函数式的化简、三角函数的求值及三角恒等变换. 三角函数式化简的一般要求：①函数名称尽可能少；②项数尽可能少；③函数式尽可能简单（不含根式）；④次数尽可能低、尽可能求出值. 求值问题的基本类型及方法：①给角求值；②给值求值；③给值求角.

三角恒等式的证明实质是：①通过恒等变形，消除三角恒等式两端结构上的差异（如角的差异、函数名称的差异等）；②证三角恒等式的基本思路是“消去差异，促成同一”，即通过观察、分析，找出等式两边在角、名称、结构上的差异，再选用适当的公式，消去差异，促进统一；③证明三角恒等式的基本方法有化繁为简、左右归一、变更问题.

例1 已知sin（α+β）= ，sin（α-β）=- ，且α，β>0，α+β< ，则tan2α=________.

破题思路 对于三角求值中的给值求值问题主要是找到已知角与所求角之间的联系，然后通过三角公式变形求解，本题注意到2α=α+β+α-β即可.

答案详解 0<α+β< ，- <α-β<0，由sin（α+β）= ，可得cos（α+β）= ，所以tan（α+β）= . 由sin（α-β）=

- ，可得cos（α-β）= ，所以tan（α-β）=- .

故tan2α=tan[（α+β）+（α-β）]= .

例2 sin410°+sin450°+sin470°的值为________.

破题思路 利用二倍角余弦公式的变形公式——降幂公式，用两次来解决，变形方向总是朝着特殊角方向化简. 解答本题除了必须熟练掌握三角公式之外，还需要一定的恒心和代数功底.

答案详解 遇到高次函数时，一般采取降幂的策略. sin410°+sin450°+sin470°= 2+ 2+ 2= （1-2cos20°+cos220°+1-2cos100°+cos2100°+1-2cos140°+cos2140°）= [3-2（cos20°+cos100°+cos140°）+（cos220°+cos2100°+cos2140°）]，而cos20°+cos100°+cos140°=2cos60°cos40°+cos140°=cos40°+cos140°=0.

cos220°+cos2100°+cos2140°= ·（1+cos40°）+ （1+cos200°）+ （1+cos280°）= [3+（cos40°+cos200°+cos280°）]，

而cos40°+cos200°+cos280°=2cos120°cos80°+cos（100°+180°）=

-cos80°-cos100°=0，

故cos220°+cos2100°+cos2140°= ，所以sin410°+sin450°+sin470°= ×3+ = .

1. 已知sinθ+cosθ= ，则 -2（sin4θ+cos4θ）=________.

2. sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值为________.