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归纳推理

2015-04-16

数学教学通讯·初中版 2015年3期
关键词:回文特例共性

归纳推理以其独有的技巧,在高考试题中具有特殊的地位和作用,考查考生阅读、理解、迁移新知识、归纳推理的能力,以及运算求解能力. 多以填空题的压轴题的形式呈现,难度为中偏高档或高档,总分值约为4~5分.

(1)以数列、不等式、函数等为背景的归纳推理题.

(2)以数学史料为背景的归纳推理题,如古希腊毕达哥拉斯学派研究的多边形数等.

破解归纳推理题的关键是:

(1)发现共性→通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律).

(2)归纳推理→把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想).

(3)检验,得结论→对所得的一般性命题进行检验. 一般地说,“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧.

例 已知

12= ×1×2×3,

12+22= ×2×3×5,

12+22+32= ×3×4×7,

12+22+32+42= ×4×5×9,

则12+22+…+n2=________(其中n∈N ).

破解思路 观察所列出的四个等式右边所具有的特点,归纳出其规律,推测12+22+…+n2的表达式.

答案详解 当n=1时,12= ×1×2×3= n(n+1)(2n+1),

当n=2时,12+22= ×2×3×5= n·(n+1)(2n+1),

当n=3时,12+22+32= ×3×4×7= n(n+1)(2n+1),

当n=4时,12+22+32+42= ×4×5×9= n(n+1)(2n+1),所以应填 n·(n+1)(2n+1).

1. 如图1所示,一组数排成倒三角形,其中第一行各数依次为1,2,3,…,2014,从第二行起,每一个数都等于它“肩上”的两个数之和,最后一行只有一个数M,则M=______.

1 2 3 … 2012 2013 2014

3 5 7 … 4025 4027

8 12 … 8025

… … …

… …

M

图1

2. 数学与文学之间存在着许多奇妙的联系. 诗中有回文诗,如:“云边月影沙边雁,水外天光山外树”,倒过来读,便是“树外山光天外水,雁边沙影月边云”,其意境和韵味读来真是一种享受!数学中也有回文数,如:88,454,7337,43534等都是回文数,无论从左往右读,还是从右往左读,都是同一个数,称这样的数为“回文数”,读起来还真有趣!

二位的回文数有11,22,33,44, 55,66,77,88,99,共9个;

三位的回文数有101,111,121, 131,…,969,979,989,999,共90个;

四位的回文数有1001,1111, 1221,…,9669,9779,9889,9999,共90个.

由此推测:2014位的回文数总共有___________个.endprint

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