函数一致连续性的判别方法

钟志波

【摘 要】函数的一致连续性是函数最重要的分析性质之一，它与函数的连续性既有区别又有联系，本文从教材出发，在已有的研究成果上结合例子，对不同区间上函数一致连续性的判别方法加以总结并作一定的推广。本文对函数一致连续性的判别提供一个系统、完整的总结，具有一定的参考价值。

【关键词】函数;连续;一致连续;有界;收敛

1.引言

1.1函数的一致连续的定义及其否定叙述

定义1.1设f（x）为定义在区间I上的函数，若对任给的ε>0，存在δ=δ（ε）>0，使得对任何x′，x″∈I只要|x′-x″|<δ，就有|f（x′）-f（x″）|<ε，则称函数f（x）在区间I上一致连续。

1.2函数在区间上的连续性和一致连续性的区别与联系

连续是逐点考察的性质，一致连续是函数在整个区间上的性质。也就是说，从极限的角度考察连续，发现整个函数可以用同样的方式来趋近，称为“一致连续”。下面给出函数连续性的定义：

定义1.2设f（x）为定义在区间I上的函数，若对任给的ε>0，存在δ>0，使得对任何x，x0∈I且|x-x0|<δ时，有|f（x）-f（x0）|<ε，则称函数f（x）在区间I上连续.

比较函数在区间的连续性和一致连续性定义可知：前者的δ不仅与ε有关，而且还与点x0有关，即对于不同的x0，一般来说δ是不同的，这表明只要函数在区间内每一点连续的话，则函数在区间上连续;后者的δ仅与ε有关，与x无关，即对不同的x，δ是相同的，这表明函数在区间的一致连续性，不仅要求函数在这区间的每一点连续，而且要求函数在区间上的连续是“一致”的。

在区间I一致连续的函数在这区间一定连续，事实上，由一致连续性的定义将x1固定，令x2变化，即知函数f（x）在x1连续，又x1是I的任意一点，从而函数f（x）在I连续。但在区间I连续的函数在这区间上不一定一致连续，如f（x）= 在区间（0，1）连续但不一致连续。

总之，函数连续性反映了函数局部的性质，而函数的一致连续性则反映函数在整个区间的整体性质，二者之间既有区别又有联系。

1.3相关的定理：

定理1（一致连续性定理）若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上一致连续。

定理2函数f（x）在（a，b）上一致连续的充分必要条件是f（x）在（a，b）上连续且 f（x）与 f（x）都存在。

定理3函数f（x）在（-∞，+∞）上连续且 f（x）和 f（x）都存在，则f（x）在（-∞，+∞）上一致连续。

定理4函数f（x）在（-∞，+∞）上连续，g（x）在（-∞，+∞）上一致连续， |f（x）-g（x）|=0， |f（x）-g（x）|=0，则f（x）在（-∞，+∞）上一致连续。

2.不同类型区间上函数一致连续性的判别方法

在许多教材中，函数在区间上的连续性和一致连续性关系的叙述主要是一致连续性定理，即有界闭区间上的连续函数必定一致连续.但是当我们考虑的区间不是有界闭区间，而是开区间或者是无界区间时，区间连续性就不一定能转变为区间的一致连续性，这种转变需要一定的条件。这里主要探讨这种转变条件，从而更加深刻地理解在不同类型的区间上连续性和一致连续性的关系，同时也按不同类型区间总结判断函数一致连续性的一些方法。

2.1闭区间的情形

一般判别方法：在区间内取两点，将其函数值作差，并取其绝对值，即可根据以下原则判断，若存在任给的ε>0，存在δ=δ（ε）>0，使得满足|x1-x2|<δ的x1，x2，均可得出|f（x1）-f（x2）|<ε，即f（x）在该闭区间一致连续，反之则不一致连续。

例1 证明f（x）= （-1≤x≤1）的一致连续性

证明：|f（x1）-f（x2）|=| - |= |（x1-x2）|

由于| |< = <1，

故对于任给的ε>0，

取δ=ε，则

对满足|x1-x2|<δ的x1，x2（x1，x2属于[-1，1]值，均有|f（x1）-

f（x2）|<ε

因而f（x）在区间[-1，1]上一致连续。

推论1设f（x）是[a，b]上的增函数，其值域为[f（a），f（b）]，则f（x）在[a，b]上一致连续

2.2有限非闭区间的情形

一般判别方法：把函数与其一阶导数作差并取其绝对值，然后即可根据以下原则判断，若存在任给的ε>0，存在δ=δ（ε）>0，使得当n> 时，总有|xn-x′n|<δ，且|f（x）-f（x′n）|>ε，即f（x）在该区间上一致连续，反之则不一致连续。

例2 证明f（x）=excos 在（0，1）上非一致连续.

证明：取ε=1令xn=

x′n=  （n为正整数）

则xn及x′n均属于（0，1），对任意给定的δ>0，

当n> 时，

总有|xn-x′n|= < <δ

但是|f（x）-f（x′n）|=e cos（nπ+ ）-e cosnπ=e >1=ε0

因此，f（x）=excos 在（0，1）上非一致连续。

推论2函数f（x）在（a，b）上连续有界，则f（x）在（a，b）上一致连续。

推论3函数f（x）定义在有限区间（a，b）上，若对（a，b）上的任意收敛数列{xn}， f（xn）都存在，则f（x）在（a，b）上一致连续。

2.3无穷区间的情形

一般判别方法：取一简单函数g（x）使其满足在区间上一致连续，然后则只需要根据定义，证明g（x）在区间上一致连续即可。

例3证明f（x）=xln（e+ ）在[1，+∞）上一致连续。

证明：取g（x）=x+ ，则g（x）在[1，+∞）上一致连续，

因为 |f（x）-g（x）|=0，

由定理4可知 f（x）=xln（e+ ）在[1，+∞）上一致连续。

这证法虽在寻求g（x）上有一定的困难，但大大避免了用定义证明的繁琐。

推论4函数f（x）在（a，+∞）上一致连续的充分条件是f（x）在（a，+∞）上连续， f（x）和 f（x）都存在。

推论5函数f（x）在（-∞，b）上一致连续的充分条件是f（x）在（-∞，b）上连续，且 f（x）和 f（x）都存在。

注1：上述无限区间1中的定理及推论中 f（x）的存在是非必要的，如f（x）=ax+b（a≠0）在（-∞，+∞）上 f（x）不存在，但f（x）在（-∞，+∞）上一致连续。

2.4组合区间的情形

一般判别方法：由于f（x）在两个分区间上都一致连续，即在两个区间上分别都满足一致连续的定义，则不妨求出δ（ε）的最小值，可知当x1，x2∈（-∞，+∞），|x1-x2|<δ（ε）时，x1与x2必同时属于两个分区间中的其中一个，即f（x）在（-∞，+∞）上一致连续。

例4已知f（x）=arctgx在区间（-∞，1][0，+∞）上一致连续，判断其是否在（-∞，+∞）上一致连续。

解：已知f（x）=arctgx在区间（-∞，1][0，+∞）上均一致连续

于是，对于所给的ε>0，存在δ1（ε）>0，

当x1，x2∈（-∞，1]，|x1-x2|<δ1（ε）时，恒有|f（x1）-f（x2）|<ε成立，

又存在δ2（ε）>0，当x1，x2∈（0，+∞），|x1-x2|<δ2（ε）时，恒有|f（x1）-f（x2）|<ε成立，

今取δ（ε）=min{1，δ1（ε），δ2（ε）}则当x1，x2∈（-∞，+∞），|x1-x2|<δ（ε）时，x1与x2必或同时属于（-∞，1]，或同时属于[0，+∞），故恒有|f（x1）-f（x2）|<ε成立，

即f（x）在（-∞，+∞）上一致连续。

2.5任意区间的情形

一般判别方法：把函数一阶导和二阶导作差并取其绝对值，若对任给的ε>0，存在δ=δ（ε）>0，使得对任何x′，x″∈I，只要|x′-x″|<δ，就有|f（x′）-f（x″）|<ε，则称函数f（x）在区间I上一致连续。

例5 证明：无界函数f（x）=x+sinx在全轴-∞<x<+∞是一致连续的。

证明：因为|f（x′）-f（x″）|=|（x′-x″）+（sinx′-sinx″）|≤|x′-x″|+|sinx′-sinx″|≤2|x′-x″|

对于任给的ε>0，

取δ= >0，则当x′，x″∈（-∞，+∞），且|x′-x″|<δ时，

恒有|f（x′）-f（x″）|<ε

故f（x）在（-∞，+∞）上一致连续。

推论6函数f（x），g（x）在区间I上可导，|f′（x）|≥|g′（x）|>0，若f（x）在区间I上一致连续，则g（x）在I上一致连续;若g（x）在区间I上非一致连续，则f（x）在I上也非一致连续。

注3：推论6的f′（x）有界对于不同的区间是非必要的，如函数f（x）=xx在区间（0，1）上一致连续，但f′（x）=exlnx（lnx+1）→-∞（x→0+）.若区间为无限区间，则f′（x）有界则是必要的.例如f（x）=sinx2在（-∞，+∞）上不一致连续.因为f′（x）=2xcosx2在（-∞，+∞）上无界，故f（x）=sinx2在（-∞，+∞）上不一致连续。

3.结束语

本文章从课本出发，在前人的成果上，按不同的区间对判别函数一致连续性的方法进行分类，并举出相应的例子以及作了一定的推广，对于判别函数一致连续性的方法给出了系统、完整的总结，具有一定的参考价值。

【参考文献】

[1]张建建.函数一致连续性的几个证明方法[J].和田师范科学学校报（汉文综合版）.2005，25（1）

[2]杨中南.函数在无穷远处的一致连续性[J].集美大学学报.1997，2（1）：70-75

[3]陈惠汝，何春羚.再探函数在无穷远处的一致连续性[J].春学院学报.2006，（2）：45-46

（作者单位：广东创新科技职业学院）