基于改进灰色模型的疲劳寿命预测及可靠性评估

张爱菊, 张金豹, 张改丽

（1.中国北方车辆研究所, 北京100072；2.哈尔滨工业大学 机电工程学院, 黑龙江 哈尔滨150001）

基于改进灰色模型的疲劳寿命预测及可靠性评估

张爱菊1, 张金豹2, 张改丽1

（1.中国北方车辆研究所, 北京100072；2.哈尔滨工业大学 机电工程学院, 黑龙江 哈尔滨150001）

针对试验件中对数疲劳寿命均值随应力水平具有线性关系，但方差却具有波动性的状况，引入改进灰色模型对两者进行仿真分析。采用粒子群优化算法对模型多个参数进行估计。结果显示对数疲劳寿命均值与试验数据吻合良好，具有很好的线性关系；波动方差的拟合曲线顺滑，不仅清晰地定性显示其发展趋势，还能够定量地对均值和方差进行预测，尤其是对疲劳极限以下的寿命均值和方差的预测，避免了经验公式的使用。利用改进灰色模型预测得到的疲劳寿命均值和方差，结合疲劳累积损伤模型对块谱作用下的试验件可靠性进行了评估；通过中位秩计算试验件的失效概率，验证了可靠性仿真结果的正确性。

改进灰色模型；粒子群优化；寿命预测；疲劳累积损伤模型；可靠性评估

1 前言

现代机械设备结构日趋复杂，且兼备高寿命和高可靠性的要求，因此常常需要在设计阶段进行可靠性预估来评价设备是否达到预期目标，并利用评估结果进一步指导设计的改进，推动设备的可靠性增长进程。在复杂设备的可靠性分析中，一般先采用有限元法进行危险面的受力分析，编制载荷谱，然后利用疲劳累积损伤模型进行疲劳寿命预测[1-3]。针对不同的载荷加载情况，国内外学者建立了各种类型的疲劳累积损伤模型，其中线性Miner准则以其简便准确而最为常用[4,5]。在使用线性Miner准则进行疲劳寿命预测和可靠性评估的过程中，疲劳累积损伤的概率分布需要通过疲劳寿命分布转换获得，因此有必要对疲劳寿命进行计算分析[6]。

疲劳寿命多采用三参数S-N曲线公式表示，并假设疲劳寿命均值及方差都与应力呈对数线性关系，该假设是在大量试验数据的基础上得到的[7]。当疲劳寿命数据比较散乱或只有小样本时，通常利用上述假设对模型进行拟合或预测[6,8]。但有些材料并不一定服从上述假设，李洪双[9]等在利用加权最小二乘和Bootstrap法对材料LY12CZ的对数疲劳寿命方差进行分析后发现，对数疲劳寿命的标准差与应力水平的对数线性关系假设是不合理的。由于疲劳试验件几何尺寸和形状、表面处理等的不同，失效样本的不足或其它未知的信息，都会导致统计信息出现不确定现象。

灰色系统理论[10]以其研究对象“外延明确，内涵不明确”的特点为疲劳寿命预测提供了新的思路。本文中“内涵不明确”指的是影响疲劳寿命不确定性的各类已知或未知的因素；“外延明确”则是指对疲劳寿命的预测，如小载荷下疲劳寿命的预测。灰色系统理论以“小样本”不确定性系统为研究对象，通过对原始数据序列的累加生成，弱化随机扰动因素的影响，利用累加后数据的指数增长规律进行预测，能够真实地反映了疲劳寿命随应力水平的变化规律。文献[3, 11]均采用灰色模型结合线性Miner准则对疲劳寿命进行了预测，且考虑了小载荷对疲劳寿命的影响，但两者在计算过程中并未涉及疲劳寿命的分散性问题，无法对机构零部件的可靠性进行评估。因此本文引入能同时考虑指数变化和线性变化的改进灰色模型，分别对随应力水平呈线性变化的疲劳寿命均值和随应力水平波动变化的方差进行预测，其中改进灰色预测模型的参数由粒子群优化算法进行估计；并利用疲劳累积损伤模型对块谱作用下的试验件进行了可靠性评估。

2 改进灰色模型

设非等间距非负序列

有 ∆ ki= ki− ki−1≠ c o n s t ，若

式（5）累减还原得到原始数据预测结果

式中, c1，c2，c3，v为待定参数。当c1=0时可实现线性变化序列的预测；当c2=0时为传统的灰色预测模型，因此该式可以适用于线性和指数规律变化的数据序列预测。

在灰色模型的参数估计中，相比最小二乘法，智能优化算法如遗传算法[13]、人工鱼群算法[14]等估计的参数能够使模型对数据的拟合精度更高。鉴于此，本文对改进灰色模型的参数采用粒子群优化算法进行同时估计。考虑拟合效果和适应函数的简洁性，选用最小均方根误差为适应度函数

3 粒子群优化算法

粒子群优化算法[15]是一种基于群智能的进化计算技术，源于对鸟群捕食行为的研究。通过在算法中初始化一组随机粒子，跟踪当前最优的粒子来搜索最优解。设在N维的目标搜索空间中，有M个粒子组成一个群体，其中在第t次迭代时粒子Pi的位置矢量表示为

表示的是群体信息的影响，体现粒子间的信息共享和合作。

在第t+1次迭代计算中，粒子P1可根据下式

更新自己的速度和位置，如图1所示。

式中，c1和c2为学习因子，一般取2； rand（）为介于[0,1]之间的随机数；ω为惯性权重，取大值时可使算法具有较强的全局搜索能力，取小值时则算法倾向于局部搜索。在本文计算中，惯性权重为随迭代次数逐渐变化的量，表达式为ω

其中， ， ； 表示最大的迭代次数； Miter表示当前迭代次数。

为防止粒子远离搜索空间，粒子的每一维速度vn都会限制在[-vnmax,vnmax]之间，即若vn＞vnmax，vn＝vnmax；vnmax＜-vnmax，vn＝-vnmax。边界进行反射处理。粒子群优化算法实现步骤如图2示。ω=max0.9ω=min0.1Mitermax

图1 粒子位置更新示意图

图2 粒子群优化实现步骤

4 疲劳累积损伤模型

对同一零部件，在不同应力水平下，一般假设疲劳寿命服从同一种分布类型。当疲劳寿命服从对数正态分布时，其概率密度函数为：

其中μN，σN分别为对数疲劳寿命的均值和方差。

线性Miner准则表达式

其中， n为载荷加载次数，N为疲劳寿命。

当n = N时，疲劳累积损伤和疲劳寿命之间关系如图3所示，有

将(19)和(20)式代入式(17)推导出疲劳累积损伤服从对数正态分布，其概率密度函数为

图3 疲劳累积损伤与寿命概率等效图

疲劳累积损伤的功能函数为

从而得到时变可靠性预测模型[16,17]

式中，累积损伤临界值μDc=1，k级载荷下累积损伤均值及方差随作用次数的表达式为

可靠性仿真结果的验证试验数据由中位秩计算得到的失效概率

转换获得，从而得到试验件的可靠性

其中i表示元件按从小到大排列的次序，m表示试验件数。

5 工程实例

算例分析的材料分别为45#钢焊接接头切口件（第一组）[18]和正火45#钢切口件（第二组）[19]，试验数据如表1所示，疲劳寿命单位为次。试验件应力集中系数均为ki=2，应力比r=-1。对数疲劳寿命预测与可靠性评估仿真过程如图4所示。

表1 试验数据

图4 对数疲劳寿命预测及可靠性评估仿真过程

5.1 疲劳寿命拟合

两组数据应力水平之间均为非等间距，为便于计算，对原始数据中应力水平间距进行处理，第一组等效间距应力水平

第二组等效间距应力水平

等效间距ki计算结果如表1所示，即应力水平随等效间距的增大而减小。在两个实例中，疲劳寿命均值均利用式（8）直接进行拟合，而方差则需进行一次累加，经粒子群优化算法估计的模型参数如表2所示，参数估计过程中迭代的均方根误差如图5所示，对数疲劳寿命均值和方差的拟合结果如图6所示。可以看出，均值随应力水平线性关系拟合良好；拟合后的方差不仅波动性减小，而且能够显示方差随应力水平的变化趋势。第一组中方差拟合曲线随应力水平的减小而增大，第二组中方差拟合曲线则随应力水平的减小趋于平缓。

表2 采用粒子群优化算法估计的改进灰色模型参数

图5 粒子群优化算法迭代误差

图6 疲劳寿命方差和均值拟合及试验数据对比

5.2 可靠性评估

两组数据的疲劳极限分别为409.2MPa（第一组）和331.6MPa（第二组）。在可靠性评估中，加载载荷形式如图7所示，方框内数字表示完成一次载荷谱加载各等级载荷作用次数，第一组中加载载荷都大于疲劳极限，而第二组则需要考虑小载荷对疲劳寿命的影响。利用改进灰色模型预测加载载荷谱对应疲劳寿命均值和方差如图8所示，两组预测数据中对数疲劳寿命均值随应力水平均呈现良好的线性关系；第一组对数寿命方差随应力水平的减小而逐渐变大，而第二组中方差则逐渐减小，但均无明显的线性关系。

图7 加载载荷谱

图8 对数疲劳寿命均值和方差

将预测得到疲劳寿命均值及方差代入疲劳累积损伤模型即可对可靠性进行评估，结果如图9所示。两组可靠性仿真结果在可靠度下降阶段均能够准确拟合。第二组考虑小载荷的作用后仿真结果在可靠度下降初始阶段更趋近于试验数据，从而使零部件能够更加安全地使用。

图9 可靠度仿真结果及试验对比

6 结论

结合粒子群优化算法进行参数估计，灰色模型对对数疲劳寿命均值的线性关系和波动方差的非线性关系均能够准确地进行光滑拟合和预测。在疲劳寿命准确预测的基础上，结合疲劳累积损伤模型对块谱下的试验件进行可靠性评估，经与试验数据对比，可靠度仿真结果良好。

验证结果进一步说明了灰色系统理论在疲劳寿命预测及可靠性评估的工程应用价值，能够不依赖于先验数据假设，而是从现有的小样本，且杂乱分散的数据中发现疲劳寿命的发展规律并进行预测。在接近整体系统的层次，如可靠性评估，则更能趋于零部件疲劳寿命变化的真实性和准确性。

[1]赵维涛, 安伟光, 吴香国, 等. 基于累积损伤的结构系统时变刚度可靠性分析[J]. 哈尔滨工程大学学报, 2006, 27(6): 812-815.

[2]S.H. Baek, S.S. Cho, W.S. Joo. Fatigue life prediction based on the rainflow cycle counting method for the end beam of a freight car bogie[J]. International Journal of Automotive Tech nology, 2008, 9(1): 95-101.

[3]童水光, 王相兵, 魏超, 等. 液压挖掘机臂杆结构疲劳寿命预测方法研究[J]. 中国机械工程, 2014, 25(16): -2172.

[4]A. Fatemi, L. Yang. Cumulative fatigue damage and life pred iction theories: a survey of the state of the art for homogeneous materials[J]. International Journal of Fatigue, 1998, 20(1): 9-34.

[5]A. Aid, A. Amrouche, B.B. Bouiadjra, et al. Fatigue life prediction under variable loading based on a new damage model [J]. Materials & Design, 2011, 32(1): 183-191.

[6]谢里阳, 刘建中, 吴宁祥, 等. 风电装备传动系统及零部件疲劳可靠性评估方法[J]. 机械工程学报, 2014, 50 (11): 1-8.

[7]申宏伟, 林吉忠, 穆恩生. 疲劳失效寿命概率分布的连续模型[J]. 中国铁道科学, 2001, 22(3): 86-90.

[8]J. Klemenc, M. Fajdiga. Estimating S-N curves and their scatter using a differential ant-stigmergy algorithm[J]. Intern ational Journal of Fatigue, 2012, 43: 90-97.

[9]李洪双, 吕震宙. 估计疲劳寿命三参数P-S-N曲线的新方法[J]. 机械强度, 2007, 29(2): 300-304.

[10]Liu Sifeng, Hu Mingli, Forrest Jeffrey, et al. Progress of grey system models[J]. Transaction of Nanjing University of Aeronautics & Astronautics, 2012, 29(2): 103-111.

[11]王旭亮, 聂宏. 基于灰色系统GM(1,1)模型的疲劳寿命预测方法[J]. 南京航空航天大学学报, 2008, 40(6): 845-848.

[12]许绍杰, 王晗中, 王年生, 等. 改进不等时距灰色GM(1,1)模型及其应用[J]. 数学的实践与认识, 2011, 41(8): 108-114.

[13]C.H. Wang, L.C. Hsu. Using genetic algorithms grey theory to forecast high technology industrial output[J]. Applied Mathematics and Computation, 2008, 195(1): 256-263.

[14]Z. Lin, Q. Zhang, H. Liu. Parameters optimization of GM(1, 1) model based on artificial fish swarm algorithm[J]. Grey Systems: Theory and Application, 2012, 2(2): 166-177.

[15]Marco A. Montes de Oca, T. Stutzle, M. Birattari, et al. Fra nken-stein's PSO: a composite particle swarm optimization algorithm[J]. Evolutionary Computation, IEEE Transactions on, 2009, 13(5): 1120-1132.

[16]V. Rathod, O.P. Yadav, A. Rathore, et al. Probabilistic mode ling of fatigue damage accumulation for reliability prediction[J]. International Journal of Quality, Statistics, and Reliability, 2011, 2011: 1-10.

[17]S.P. Zhu, H.Z. Huang, Y. Li, et al. Probabilistic modeling of damage accumulation for time-dependent fatigue reliabi lity analysis of railway axle steels[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part F: Journal of Rail and Rapid Transit, 2013, 0(0): 1-11.

[18]J.H. Yan, X.L. Zheng, K. Zhao. Prediction of fatigue life and its probability distribution of notched friction welded joints under variable-amplitude loading[J]. International Journal of Fatigue, 2000, 22(6): 481-494.

[19]X.L. Zheng, J.F. Wei. On the prediction of P-S-N curves of 45 steel notched elements and probability distribution of fatigue life under variable amplitude loading from tensile properties[J]. International Journal of Fatigue, 2005, 27(6): 601-609.

（编辑：钟 媛）

Fatigue life prediction and reliability evaluation based on modified grey model

Zhang Aiju1, Zhang Jinbao2, Zhang Gaili1
(1. China North Vehicle Research Institure, Beijing 100072,China;2. School of Mechatronics Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001,China)

The modified grey model was introduced to simulate the mean value of the logarithm fatigue life with linear relationship corresponding to the load level, and the variance with fluctuation. The multiple parameters of the model was estimated with particle swarm optimization. The result shows that the mean value fits well with the experiment data and has an excellent linear relationship; the fitting curve of the fluctuation variance is smoothed and demonstrates the growing trend clearly as well as quantificationally predicts the mean value and the variance, expecially for the ones under the fatigue limit, which avoids the employ of the empirical formula. With the mean value and the variance predicted by the modified grey model, the reliability was evluated under the block spectrum combining with the fatigue accumulated damage model. The simulation result of the reliability is verified with the failure probability computed by the median rank.

modified grey model; particle swarm optimization; life prediction; fatigue accumulated damage model; reliability evaluation

TG115.5+7

A

1672-4852（2015）04-0037-06

2015-11-12.

张爱菊（1964-），女，高级工程师.