带交易费用和负债的均值—方差投资策略选择

杨鹏　刘琦　王献锋

摘 要 研究了均值-方差准则下，带交易费用和负债的投资组合选择问题.研究目标是，在终值财富的均值等于d的限制下，使终值财富的方差最小，即均值-方差组合选择问题.通过使用线性二次控制的理论解决了该问题，获得了最优的投资策略和有效边界的显式解.并通过对所得结果进行进一步分析及实例，在经济上给出了合理的解释.通过本文的研究，可以指导投资者在具有负债时选择恰当的投资策略，使自身获得一定的财富而面临的风险最小.

关键词 均值-方差准则； 线性二次控制；交易费用；最优策略；有效边界

中图分类号 F830，O211.3 文献标识码 A 文章编号 1000-2537（2014）06-0073-06

Abstract Investment portfolio selection problem with transaction costs and liability is considered under mean-variance criterion. The main goal is to minimize the variance of the terminal wealth under the constraint that terminal wealth is equivalent to d， namely， the mean-variance portfolio selection problem. Applying linear-quadratic theory， optimal investment strategies as well as the mean-variance valid frontier are then analytically derived. Meanwhile， according to the further analysis and practical example， an explanation in economy is given. This research could be adopted by investors with liability to select the appropriate investment strategy for more wealth while minimizing the risk.

Key words mean-variance criterion； linear-quadratic control； transaction costs； optimal strategies； efficient frontier

自从文献[1]对于单时期均值-方差的有效投资组合开展研究以来，许多学者都研究了该问题.均值-方差问题的目标是，在终值财富的均值给定时使其方差最小.近年来，由于人们对经济问题的持续关注，均值-方差投资组合选择问题已成为数理金融研究的热点问题.文献[2]研究了动态多个时代的均值-方差组合问题， 文献[3]在随机LQ的框架下研究了连续时间均值-方差组合问题，通过随机LQ得到了最优策略和有效边界.文献[4]研究了马尔可夫调制市场上具有资产负债的均值-方差组合问题，获得了最优策略和有效边界.文献[5]研究了基于养老金的最优投资的均值-方差问题，应用随机控制理论求得了最优策略和值函数的显式解.类似的文献[6]也应用随机控制论研究了养老金投资问题.另外，随机控制理论也被广泛用来研究最优投资问题[7-11].

我们知道交易是需要费用的，尤其是频繁交易时，交易费用更大.因此在风险投资时，应考虑交易费用，考虑交易费用才更符合实际情况.文献[12]在保险市场上进行投资时，假设交易时带有交易费用.他们通过使用文献[13]中的结论，使用HJB方程的方法把问题适当转化，得到了最优策略和值函数的显式解.

基于上述文献的工作，本文致力于研究具有交易费用的均值-方差投资组合选择问题.本文考虑交易费用的形式和文献[12]一样，但是得到最优投资策略的方法不再使用HJB方程的方法，而是使用了线性二次控制，这一解决均值-方差组合选择问题的通用方法.另外，在研究中本文还考虑了投资者具有负债，最终得到了最优的投资策略和有效边界的显式解，并通过对所得结果进行进一步分析及实例，在经济上给出了合理的解释.同时分析了负债对最优投资策略和有效边界的影响.通过本文的研究，可以指导投资者在具有负债时选择恰当的投资策略，使自身获得一定的财富而面临的风险最小.

1 模型和均值-方差组合选择问题

1.1 模型

为了使数学上更为严格，假设所有的随机过程和随机变量都定义在完备的概率空间（Ω，F，P）上，并且有一满足通常条件的σ-流{Ft，t≥0}，即Ft右连续且P完备.考虑一个金融市场，由n+1个金融资产组成，其中一个是无风险资产（债券），时刻t的价格{Bt，t≥0}满足下面的方程

4 数值计算及经济分析

为了解释本文所得结论，本节给出一个数值计算的实例计算上一节得到的最优投资策略和有效边界，并分析负债对最优投资策略和有效边界影响.

实例 假设现有一投资者初始时刻有资金x0=10元，此人欲投资于一个无风险资产和两种股票，期限T=2年.假设无风险利率r=0.05，两种股票的利率为r1=0.09，r2=0.12，波动率矩阵为D=1001，买股票的交易费用为θb1=0.02，θb2=0.04，卖股票的交易费用为θs1=0.1，θs2=0.11，t=1年时该投资者的财富x=10元.投资过程中存在负债与股票价格的相关系数为ρ1=12，ρ2=13，终值财富X*2 的均值EX*2=12.2.把上述数值代入（13）、（14）、（15）式，分下面两种情况计算最优投资策略和有效边界.

结果分析：从表1 可以看出，最优投资策略π*b，π*s是关于参数u的单调递增函数；有效边界Var X*T是关于参数u的单调递增函数.

从表2可以看出，最优投资策略π*b，π*s是关于参数v的单调递减函数；有效边界Var X*T是关于参数v的单调递减函数.

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（编辑 胡文杰）