基于数学实验提升工科数学课堂教学质量的研究

吴松林　陈体英　伍度志　肖光强

摘要：把数学实验融入工科数学的课堂中，会增强学生对概念、基本知识的理解和掌握，会提高学生分析、解决数学问题的能力，会促进学生思考，探索新问题。因此，把数学实验融入到工科数学的课堂中，会提升课堂的教学效果，提高人才培养的质量。本文在这些方面进行了探索，并举例进行了验证。

关键词：数学实验 工科数学课堂 教学质量 MATLAB

近年来，随着数学建模和数学实验的改革研究，特别是将其成果融入到数学主干课程中去探索实践，获得了巨大的成功，编著了许多经典的教材，撰写了许多应用相关数学知识去解决实际问题的范例，提供了提高学生解决问题能力的途径。

在数学实验方面，就取得了如下的共识：实验教学对学生掌握科学研究的方法、培养学生实事求是的科学态度、实践能力和创新精神有着其他教育方式不可替代的作用。数学实验能加深学生对数学理论和方法的理解和掌握；构建数学理论与数学实验的桥梁；培养学生理论联系实际实践技能；激发学生学习兴趣、创新潜能，培养创新意识；提高学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。

但是，如何将数学实验有效融入课堂，将其改革成果惠及所有学生，提高课堂授课艺术，激发学生思维，对提升课堂教学质量方面研究还有待深入，还需要不断实践、总结。

一、在工科数学课堂中融入实验能有效帮助学员理解基本概念

在线性代数中，线性变换是一个抽象的概念，学生难以掌握。为了能在课堂上帮助学员理解变换的概念，设计如下的实验：对正方形进行一系列线性变换，包括旋转变换、伸缩变换、以及任意一个线性变换。假设初始状况下正方形顶点坐标为P1（-1，-1），P2（1，-1），P3（1，1），P4（-1，1），令正方形围绕其中心旋转且放大，得到一组正方形，使得每个后面的正方形都包含前一个正方形，并观察变换结果。

对正方形进行变换，实际上只需要对正方形的四个顶点进行变换，且将四个顶点的象按顺序连接即可。设第i个顶点的坐标是Pi（xi，yi），则其象的坐标是（xi'，yi'）=（xi，yi）A。取不同的变换矩阵A，就可实现不同的变换。

1.对正方形进行旋转变换

取A=cosα-sinαsinαcosα，α=π6，将正方形连续旋转6次，程序略，结果如下图所示：

2.对正方形进行任意线性变换

取A=1.2i231.2i，i=1，2，…，20，对正方形进行20次变换，程序略。

3.对正方形进行旋转和伸缩变换

取矩阵A1=cosα-sinαsinαcosα，A2=s00s，A=A1A2，要使每个后继正方形正好包含前一个，经推导知，应取伸缩系数s=cosα+sinα，取α=π30，共变换20次，程序略，结果如下图所示

通过这样的操作，学生对线性变换就有了直观的认识。

二、在工科数学课堂中融入实验能有效帮助学员理解基础知识

在概率统计的学习中，中心极限定理（独立同分布的随机变量的和的极限分布服从正态分布）在随机数学的知识结构中具有重要的地位，但是，初学者要掌握好中心极限定理往往很困难，如果能在课堂上直接借助于数学软件进行统计模拟，将会给学生留下非常深刻的影响，容易理解、掌握好该定理。

譬如通过产生容量为m组poiss分布和指数分布的样本，研究其和的渐近分布。采取步骤：（1）产生容量为n的独立同分布的随机数，得均值和标准差；（2）将和标准化；（3）验证所得的m组标准化和的数据是否服从标准正态。

通过某一随机模拟，得到正态检验图：

从正态检验图可以看出，所产生的数据服从正态分布。另外，容易修改成其它分布，也可得相似的结论。故得出结论：不论随机变量的分布是什么，在大样本情况下，其和的渐近分布都是标准正态分布，因此正态分布可作为随机变量和的近似分布。

又如，在学习微分方程中，为了说明初值对微分方程的重要影响。理解什么是“蝴蝶效应”，在课堂上设计了解微分方程数值解的实验。求微分方程dxdt=-βx+yzdydt=-σ（y-z）dzdt=-xy+ρy-z 取β=8/3，σ=10，ρ=28，初始条件x（0）=0，y（0）=0，z（0）=0.01。t∈[0，80]的数值解。记向量[y1，y2，y3]=[x，y，z]，创建MATLAB函数文件如下：

通过上面的图形和教员的讲解，以及更改初始条件，得到相应的其它结果，学生对“蝴蝶效应”应该记忆非常深刻。

三、在工科数学课堂中融入实验能有效培养学生的探索意识

在课堂的讲授中，很多事实难以给学生解释清楚，如果让学生自己去做、去发现真相、探索结果，也会给他们留下深刻的影响。譬如，在讲级数的概念时，给学生作koch雪花的图像，让学生去计算该图像的周长和面积，得到结果一定会让学生惊讶，因为雪花的图像令人神奇不说，它的面积有限，但周长却是无限的，学生几乎没有遇到过这样的分形图像。

还譬如作函数y=sin（1/x）的图形，考察在x=0附近函数的振荡现象，探索该函数的其它特性。

首先，作出函数y=sin（1/x）在区间[-π，π]的函数图形，在区间[-0.5，0.5]上函数振荡得特别厉害，看不清楚曲线的轨迹。进而又在区间[-0.1，0.1]上放大。 考察x取0为极限的数列时，y=sin（1/x）有无变化规律。取x=1/n， y=sin（n），其中n为自然数。作出这些离散点（xn，yn）的图像。从图中可以得到有规律变化的离散曲线，每一条离散曲线是由哪些离散点形成的呢？让学生去思考，一定会激发学生的好奇心和探索精神。对有兴趣的学生，还可以进一步给他们介绍非线性科学，特别是混沌的科学知识。

四、课堂中融入实验能有效培养学生的应用数学解决问题的能力

近年来，在高等数学的每次课堂教学中，基本上都形成了以问题为驱动的教学模式，即通过问题引出数学知识，通过知识传授，再回来应用知识解决实际问题。形成了问题到知识，再从知识到问题的循环过程，体现了数学知识与实际问题紧密相关，数学知识就是用来解决实际问题的。久而久之，就增加了学生利用数学知识解决实际问题的许多范例。当遇到新的问题，课堂上对问题的分析思路，解决问题的办法等会起到潜移默化的作用。他们不自觉就会动手、利用计算机、利用软件等去解决问题，这就是把数学实验融入到课堂上应该起到的效果。这样的范例太多，不再一一列举。

总之，在近几年的教学改革中，特别是在授课质量的评比中，把数学实验融入到工科数学的课堂中，激发了学生的学习兴趣；增强了学生对概念、基本知识的理解；提高了学生分析、解决问题的能力；更重要的是学生会思考了，会想问题了，会动手解决问题了。通过把数学实验融入到工科数学的课堂中，大大提升了课堂的教学效果，提高了人才培养的质量。

参考文献：

[1]刘雄伟，王晓.高等数学实验化教学模式的理论研究与实践[J].高师理科学刊，2012，（6）75-78.

[2]农吉夫，吴建生.在概率统计教学中运用MATLAB渗透数学实验的探索[J].柳州师专学报，2008，（4）：127-132.

[3]王小才.将数学实验融入工科概率统计课程的教学[J].数学教学研究，2011，（8），47-49.

[4]王军霞，黄娟.将数学实验融入线性代数的教学[J].数学教学研究，2011，（2）：48-50.

[5]林小苹，吴文杰.用MATLAB模拟大数定律和中心极限定理[J].汕头大学学报，20O5，（2）.

[6]郑秀琴.Matlab在数学教学中的可视化研究[J].高师理科学刊，2006，（3）.

[7]吴松林.应用概率统计[M].重庆：重庆大学出版社，2008.

[8]赵静.数学建模与数学实验[M].北京：高等教育出版社（第三版），2008.