平凡扩张代数上的ξ-Lie导子

王 力 梅

(天水师范学院数学与统计学院,甘肃 天水 741000)

平凡扩张代数上的ξ-Lie导子

王 力 梅

(天水师范学院数学与统计学院,甘肃 天水 741000)

ξ-Lie导子是导子以及Lie导子的推广，设f为平凡扩张代数(A⊕B)上的一个ξ-Lie导子，利用平凡扩张代数上的运算性质，给出了f为平凡扩张代数(A⊕B)上的ξ-Lie导子的充分必要条件。

平凡扩张代数；ξ-Lie导子；导子

0 引 言

设R是有单位元的交换环，A是定义在R上的有单位元的代数，M是代数A的双边模，Z(A)表示双边模的中心，f是代数A到M的线性映射，如果对于任意的a,b∈A，有f(ab)=f(a)b+af(b)，则称f是导子；如果对于任意的a,b∈A，有f([a,b]ξ)=[f(a),b]ξ+[a,f(b)]ξ，则称f是ξ -Lie导子，其中[a,b]ξ=ab-ξba为a与b的ξ -Lie积.显然，当ξ=0,1时，ξ -Lie导子分别是导子和lie-导子。

近年来，许多学者对环及各类代数上的导子、Lie-导子及ξ-Lie导子等作了大量的研究，已取得了丰硕的研究成果。例如文献[1]、[2]对环上的导子进行了刻画；文献[3-7]对三角环及三角代数上的映射进行了研究，文献[8]、[9]给出了巴拿赫代数上的导子、Jordan导子、线性Lie-导子的结构。有关平凡扩张代数的结构和相关性质可参看文献[10-12]。尤其文献[12]对平凡扩张代数上的Jordan导子作了刻画，受上述工作的启发，本文对平凡扩张代数上ξ-Lie导子进行新的刻画。

关于平凡扩张代数的一些基本概念如下：

(A⊕B)={(a,m):a∈A,m∈M}表示由代数A和双边模M构成的平凡扩张代数，其中加法和乘法运算定义如下：

(a,m)+(b,n)=(a+b,m+n),(a,m)(b,n)=(ab,an+mb)，∀(a,m),(b,n)∈(A⊕B)

本文将平凡扩张代数上线性映射写成如下形式，f(a,m)=(f11(a)+f21(m),f12(a)+f22(m)),其中f11∶A→A,f12∶A→M,f21∶M→A,f22∶M→M,即f11是代数A上的线性映射，f12是代数A到双边模M上的线性映射，f21是双边模M到代数A上的线性映射，f22是双边模M上的线性映射。

1 主要定理

设f是平凡扩张代数(A⊕B)上的一个线性映射，则f是(A⊕B)上的ξ-Lie导子当且仅当对于任意的a∈A和m,n∈M，有

(i)f11和f12是ξ-Lie导子

(ii)f21(ma-ξam)=[f21(m),a]ξf21(an-ξna)=[a,f21(n)]ξ

(iii)[f21(m),n)ξ+[m,f21(n)]ξ=0，

(iv)f22(ma-ξam)=[f22(m),a]ξ+[m,f11(a)]ξ

f22(an-ξna)=[f11(a),n]ξ+[a,f22(n)]ξ

证明 若f是平凡扩张代数的ξ-Lie导子，则对于∀(a,m),(b,n)∈(A⊕B)，

f([(a,m),(b,n)]ξ)=[f(a,m),(b,n)]ξ+[(a,m),f(b,n)]ξ

[f(a,m),(b,n)]ξ=[(f11(a)+f21(m),f12(a)+f22(m)),(b,n)]ξ

= (f11(a)+f21(m),f12(a)+f22(m))(b,n)-ξ(b,n)(f11(a)+f21(m),f12(a)+f22(m))

= ([f11(a)+f21(m),b]ξ,[f11(a)+f21(m),n]ξ+[f12(a)+f22(m),b]ξ)

[(a,m),f(b,n)]ξ

= (a,m)(f11)(b)+f21(n),f12(b)+f22(n))-ξ(f11(b)+f21(n),f12(b)+f22(n))(a,m)

= ([a,f11(b)+f21(n)]ξ,[m,f11(b)+f21(n)]ξ+[a,f12(b)+f22(n)]ξ)

故f([(a,m),(b,n)]ξ)=[f(a,m),(b,n)]ξ+[(a,m),f(b,n)]ξ

= ([f11(a)+f21(m),b)]ξ,[f11(a)+f21(m),n]ξ+[f12(a)+f22(m),b]ξ)

+ ([a,f11(b)+f21(n)]ξ,[m,f11(b)+f21(n)]ξ+[a,f12(b)+f22(n)]ξ)

= ([f11(a),b]ξ+[f21(m),b]ξ+[a,f11(b)]ξ+[a,f21(n)]ξ,

[f11(a),n]ξ+[f21(m),n]ξ+[f12(a),b]ξ+[f22(m),b]ξ+[m,f11(b)]ξ+[m,f21(n)]ξ+[a,f12(b)]ξ+[a,f22(n)]ξ)记x=[f11(a),b]ξ+[f21(m),b]ξ+[a,f11(b)]ξ+[a,f21(n)]ξ

y=[f11(a),n]ξ+[f21(m),n]ξ+[f12(a),b]ξ+[f22(m),b]ξ+[m,f11(b)]ξ+[m,f21(n)]ξ+[a,f12(b)]ξ+[a,f22(n)]ξ

又由于

f([(a,m),(b,n)]ξ)=f((a,m)(b,n)-ξ(b,n)(a,m))

=f((ab-ξba),(an+mb)-ξ(bm+na))

= (f11((ab-ξba))+f21(an-ξna+mb-ξbm),f12(ab-ξba)+f22(an-ξna+mb-ξbm))

(1)

由(a,m)和(b,n)的任意性，令m=n=0并代入(1)有

f11((ab-ξba))=[f11(a),b]ξ+[a,f11(b)]ξ

f12(ab-ξba)=[f12(a),b]ξ+[a,f12(b)]ξ

因此，f11，f12是ξ-Lie导子

将上述结果代入(1)有

f21(an-ξna+mb-ξbm)=[f21(m),b]ξ+[a,f21(n)]ξ

(2)

f22(an-ξna+mb-ξbm)=[f11(a),n]ξ+[f21(m),n]ξ

+[f22(m),b]ξ+[m,f11(b)]ξ+[m,f21(n)]ξ+[a,f22(n)]ξ

(3)

在(2)中令n=0,b=a有f21(ma-ξam)=[f21(m),a]ξ

(4)

在(2)中令m=0有f21(an-ξna)=[a,f21(n)]ξ

在(3)中令n=0有f22(mb-ξbm)=[f22(m),b]ξ+[m,f11(b)]ξ

在(3)中令m=0有f22(an-ξna)=[f11(a),n]ξ+[a,f22(n)]ξ

在(3)中令a=0有f22(mb-ξbm)=[f21(m),n]ξ+[f22(m),b]ξ+[m,f11(b)]ξ+[m,f21(n)]ξ

(5)

由(4)和(5)[f21(m),n]ξ+[m,f21(n)]ξ=0

下证充分性

f([(a,m),(b,n)]ξ)=f((a,m)(b,n)-ξ(b,n)(a,m)=(f11((ab-ξba))+f21(an-ξna+mb-ξbm),f12(ab-ξba)+f22(an-ξna+mb-ξbm))由已知条件知，上式=([f11(a),b]ξ+[a,f11(b)]ξ+[a,f21(n)]ξ+[f21(m),b]ξ,

[f12(a),b]ξ+[a,f12(b)]ξ+[f11(a),n]ξ+[a,f22(n)]ξ+[m,f11(b)]ξ+[f22(m),b]ξ)

现设

x1=[f11(a),b]ξ+[a,f11(b)]ξ+[a,f21(n)]ξ+[f21(m),b]ξ

y1=[f12(a),b]ξ+[a,f12(b)]ξ+[f11(a),n]ξ+[a,f22(n)]ξ+[m,f11(b)]ξ+[f22(m),b]ξ

由于[f21(m),n]ξ+[m,f21(n)]ξ=0

令y2=y1+[f21(m),n]ξ+[m,f21(n)]ξ

则f([(a,m),(b,n)]ξ)=f((a,m)(b,n)-ξ(b,n)(a,m))=(x1,y1)=(x1,y2)

=(f11(a)+f21(m),f12(a)+f22(m))(b,n)-ξ(b,n)(f11(a)+f21(m),f12(a)+f22(m))

+(a,m)(f11(b)+f21(n),f12(b)+f22(n))-ξ(f11(b)+f21(n),f12(b)+f22(n))(a,m)

=[f(a,m),(b,n)]ξ+[(a,m),f(b,n)]ξ。

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[责任编辑：郑秀亮 英文编辑：刘彦哲]

ξ-LieDerivation on Ordinary Extension Algebras

WANG Li-mei

(College of Mathematics and Statistics,Tianshui Normal University,Tianshui,Gansu 741000,China)

ξ-Liederivation is the extension of derivation andLie-derivation.Letfbe a linear mapping on the ordinary extension algebra(A⊕B),a sufficient and necessary condition which isξ-Liederivation is given in this paper.

ordinary extension algebra;ξ-Liederivation;derivation

王力梅(1980-)，女，甘肃兰州人，讲师，主要研究方向为环上的导子。

O 153.3

A

10.3969/j.issn.1673-1492.2015.06.002

来稿日期：2015-05-22