对均值不等式教学的点滴体会

石刚

【关键词】 数学教学;均值不等式;体会

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 C

【文章编号】 1004—0463（2015）04—0123—01

均值不等式的应用非常广泛，也是求函数最值的一种常用方法.利用均值不等式求最值必须具备三个条件：一正，二定、三等号.“一正”就是各项必须为正数.“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的两项之积转化成定值;要求积的最大值，則必须把构成积的因式的和转化成定值“三等号”是利用均值不等式求最值时，必须验证等号成立的条件.若不能取等号，则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易出现错误的地方.但在教学过程中，笔者发现相当一部分学生在应用上还存在不少问题，学生在取“等号”上最容易出现错误.下面，笔者就学生利用均值不等式解题取“等号”时出现的问题，谈谈自己的一些教学体会.

1.均值不等式取“等号”和三角函数有联系时，一定要引起足够重视。因为三角函数中正、余弦函数都是有界函数，所以等号能否取到一定要加以验证.我们看下面这道题：

1. 求函数y=■+■（0

解：∵0

∴sinx>0.

∴y=■+■

≥2■=2

∴ymin=2.

点评：很显然，上面的解答过程是错误的.原因在于当sinx=2时上式中的等号才能成立，这显然不可能.而学生做题时往往会忽略等号成立的条件，从而导致出现错误.因此，在教学中，必须反复强调验证“等号”是否能取到的重要性.

2.均值不等式取“等号”的次数在两次或两次以上时是最容易出错的，此时我们一定要验证每一次“等号”成立的条件是否一致.只有每一次“等号”成立的条件一致了，最后的“等号”才可以取到.我们看下面这两道题.

2.已知x>0，y>0，且x+2y=1，求■+■的最小值.

解：∵x+2y=1

∴■+■

=（x+2y）■+■

≥2■·2■=4■

∴■+■的最小值为4■.

3.已知实数a、b、c、d满足a+b=7，c+d=5，求（a+c）2+（b+d）2的最小值.

解：∵（a+c）2+（b+d）2

=a2+c2+2ac+b2+d2+2bd

=（a2+c2）+（b2+c2）+2ac+2bd

≥2ad+2bc+2ac+2bd

=2a（c+d）+2b（c+d）

=2（a+b）（c+d）=70.

当且仅当a=d且b=c时取等号，

∴所求最小值为70.

点评：第一题出现错误的原因在于x+2y≥2■中“x=2y”时等号成立，而■+■≥2■中“x=y”时等号成立，因为两次取到等号的条件不一样，导致最后的等号不能取到.第二题解答错误在于当且仅当a=b且b=c时等号成立，因此得到a+b=b+c时，即“7=5”时等号成立，这显然错误.这种题型能否取到最值的关键就在于“等号”能否取到.以上两题都犯了这样的错误.为此，我们要求学生在使用均值不等式时，考虑每次“等号”成立的条件，并且尽量减少取“等号”的次数.教学中，一定要反复训练，培养学生正确的解题习惯.

利用均值不等式求最值是高考命题的热点，教学时要求在应用均值不等式时，注重技巧，强调“一正、二定、三等号”三者缺一不可，尤其是对本文提到的问题更要引起学生足够的重视.编辑：谢颖丽