无穷个无穷小量的积与和

刘金旺,关剑成,王卫兵,周飞跃,袁梓翰



无穷个无穷小量的积与和

刘金旺,关剑成,王卫兵,周飞跃,袁梓翰

(湖南科技大学数学与计算科学学院, 湖南湘潭, 411201)

通过2个无穷可数个无穷小量的积及2个无穷可数个无穷小量的和的实例, 证明了无穷可数个无穷小量的积或者和均不一定是无穷小量。

函数; 函数列;无穷小量

众所周知, 有限个在同一点的无穷小量的和与积还是一个无穷小量[1–2]。在函数的探索与研究中, 常会遇到“无穷个无穷小量的积与和是否仍是无穷小量”的问题。在讨论该问题之前, 先给出无穷(可列)个函数的积的定义[3]。

定义1 设{f()}是数集上的函数列, 若对任意的∈都有存在, 那么定义了一个数集上的函数, 把()叫做{f()}的积。

文献[4]讨论了无穷小量的积与和, 本文将通过一些具体的例子来讨论无穷(可列)个无穷小量的积与和。先讨论积的情形。

实际上, 如果把上面的{f()}改为(= 1, 2,…), 这里为任意一个实数, 那么类似地可得, 也就是说无穷个无穷小量的积可以是任意实数。

如果把上面的{f()}改为(= 1, 2,…),这里为任意一个实数, 则当→0+时,f()→0,= 1, 2,…对任意的0> 0, 令0= [1/0] + 1, 则1/0<0≤ 1/(0-1), 类似地可得, 所以。

下面的例2将说明无穷(可列)个无穷小量的积可以是无穷大量。

上面的2个例子是关于积的情形, 下面举2个反例来说明和的情形也不成立。

同样地, 无穷(可列)个无穷小量的和可以是无穷大量, 下面举1个例子说明。

参考文献：

[1] 欧阳光中. 数学分析[M]. 3版. 北京: 高等教育出版社, 2008: 70–73.

[2] 华东师范大学数学系. 数学分析[M]. 4版. 北京: 高等教育出版社, 2001: 61–66.

[3] Rudin W. Principles of Matnematical Analysis [M]. 3rd Edition. 北京: 机械工业出版社, 2004: 83–98.

[4] 孟健, 赵迁贵. 关于无穷小量乘积的讨论[J]. 数学的实践与认识, 2002, 32(3): 517–518.

(责任编校: 江河)

The product and sum of infinite infinitesimals

Liu Jinwang, Guan Jiancheng, Wang Weibing, Zhou Feiyue, Yuan Zihan

(School of Mathematics and Computational Science, Hunan University of Science and Technology, Xiangtan 411201, China)

For two examples of in either of which there are infinite infinitesimals whose product are not an infinitesimal, and two other examples in either of which there are infinite infinitesimals whose sum are not an infinitesimal, it is obtained that the product (sum) of infinite infinitesimals is not necessarily an infinitesimal.

function; series of functions; infinitesimals

10.3969/j.issn.1672–6146.2015.02.001

O 15

1672–6146(2015)02–0001–02

刘金旺, jwliu64@aliyun.com。

2014–10–30

湖南省研究生科研创新项目(CX2014B418)。